拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程（人民教育出版社第二冊(cè)（上）第八章8.5節(jié)）常州市武進(jìn)區(qū)橫林中學(xué)黎鳳仁2003/1/15一、 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)：1， 使學(xué)生理解拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程，并能初步利用它們解決有關(guān)問題；2， 通過教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、類比、猜測(cè)、歸納等合情推理的方法，提高學(xué)生抽象、概括、分析、綜合的能力；3， 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想理解有關(guān)問題。二、 教材內(nèi)容及重點(diǎn)、難點(diǎn)分析1， 重點(diǎn)：拋物線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的探索、發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)及有關(guān)應(yīng)用；策略：通過聯(lián)系、對(duì)比的方法；2， 難點(diǎn)：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程形式的推導(dǎo)及幾種形式的比較；策略：通過類比、比較、變式的方法三、 教學(xué)對(duì)象分析1， 圓

2、錐曲線是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)之一。拋物線是圓錐曲線中繼圓、橢圓、雙曲線之后的最后一種曲線，因此在教學(xué)中要充分利用知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系進(jìn)行教學(xué)；2， 拋物線的知識(shí)點(diǎn)與橢圓、雙曲線的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行比較時(shí)，要注意從定義、方程形式、焦點(diǎn)、對(duì)稱等方面進(jìn)行對(duì)比教學(xué)；3， 通過前面的橢圓與雙曲線的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)解析幾何既有興趣，又感到運(yùn)算繁雜，解決問題的關(guān)鍵是讓學(xué)生牢牢抓住教學(xué)中的基本圖形與基本知識(shí)點(diǎn)，以不變應(yīng)萬變；4， 利用多媒體幾何畫板可以充分發(fā)揮動(dòng)畫作用，讓知識(shí)點(diǎn)由靜到動(dòng)，互相聯(lián)系起來，形成一個(gè)完整的體系，也可使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣；四、 教學(xué)策略及教法設(shè)計(jì)1， 知識(shí)點(diǎn)教學(xué)過程并非強(qiáng)加灌輸?shù)倪^程，在教學(xué)中，

3、應(yīng)充分挖掘知識(shí)點(diǎn)的發(fā)生發(fā)展過程，讓學(xué)生在思考過程中漸漸接受。對(duì)于拋物線這節(jié)課，我們應(yīng)該視拋物線為圓錐曲線的一種特殊情況，讓學(xué)生與前面所學(xué)的橢圓、雙曲線對(duì)比起來學(xué)習(xí)，才能取得較好的教學(xué)效果。2， 采用啟發(fā)式、探究式、遞進(jìn)式的變式教學(xué)可以使學(xué)生低起點(diǎn)，高效益，通過延伸、拓展可使學(xué)生的思維得以拓展。五、 網(wǎng)絡(luò)教學(xué)環(huán)境設(shè)計(jì)1， 在Windows平臺(tái)； 2， Word 98； 3，幾何畫板。六、 教學(xué)過程設(shè)計(jì)與分析教學(xué)過程設(shè)計(jì)思路及媒體應(yīng)用分析（一） 復(fù)習(xí)引導(dǎo)1， 問：請(qǐng)同學(xué)們回憶橢圓和雙曲線的第二定義。答：與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。當(dāng)1時(shí)，是橢圓，當(dāng)1時(shí)，是雙曲線。通過復(fù)

4、習(xí)橢圓、雙曲線由舊知識(shí)導(dǎo)入新知識(shí)。2， 引導(dǎo)：如果1，那么相應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？3，幾何畫板動(dòng)畫演示：圓錐曲線的統(tǒng)一定義由舊知識(shí)提出新問題，過渡自然。（1） 讓學(xué)生思考曲線隨著的變化的變化規(guī)律；（2） 同時(shí)演示動(dòng)畫，讓學(xué)生體會(huì)這種變化規(guī)律；（3） 那么，當(dāng)1時(shí)，軌跡的位置和形狀是怎樣的？大家猜一猜！動(dòng)手畫出你們猜出的圖象（可用實(shí)物投影投影給全體同學(xué)看）（4） 動(dòng)畫演示給出拋物線的曲線，指出這種曲線就是今天我們所研究的拋物線。（5） 我們?cè)谝郧耙娺^這樣形狀的曲線嗎？（初中見過）對(duì)，今天這節(jié)課，我們來學(xué)習(xí)拋物線（板書課題：拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程）通過幾何畫板由的變化自然猜想特殊情況，由圖形的連

5、貫性猜想拋物線的圖形，知識(shí)點(diǎn)之間串聯(lián)起來，過渡自然，形成一體系。（二） 拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程1， 誰來給拋物線下個(gè)定義？（與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。）3， 定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線；4， 下面我們來看拋物線的方程，大家想一想拋物線的方程可能是怎樣的？拋物線的方程是否是與橢圓、雙曲線一樣既關(guān)于軸、軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱呢？5， 從圖象上看拋物線有無對(duì)稱軸？有幾條對(duì)稱軸？橢圓與雙曲線都有兩條對(duì)稱軸，而拋物線只有一條怎么辦？如何建系？通過圖形的比較猜測(cè)方程的形式，始終由舊知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)入新知識(shí)點(diǎn)，對(duì)比它們的差異中建立新知識(shí)。6， 通過分析學(xué)生建系可能得

6、出如下兩種方式：（1）（2）讓學(xué)生自己建系，發(fā)散學(xué)生的思維7， 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線之間的距離為，我們希望得到的拋物線方程盡可能地簡(jiǎn)潔，對(duì)稱，我們分成兩組試一下，看哪一組建系得出的方程簡(jiǎn)潔？8， 通過兩組對(duì)比比較得出：取經(jīng)過定點(diǎn)F且垂直于定直線的直線為軸，設(shè)軸與相交于點(diǎn)K，以線段KF的垂直平分線為軸，設(shè)所求軌跡上一點(diǎn)坐標(biāo)為M（，），由距離公式，得其方程為。通過化簡(jiǎn)運(yùn)算，對(duì)比比較，讓學(xué)生明白建立坐標(biāo)系的重要性。弄清建系正確是標(biāo)準(zhǔn)方程的前提。9， 除了這樣建系之外，還有無其它建系的方法？（由于拋物線的開口方向的不同，拋物線共有4種的不同情況，因此它的標(biāo)準(zhǔn)方程也有4種形式。）如果采用下列方式建系，哪

7、么所得到的拋物線的方程又應(yīng)該是怎樣的？（讓學(xué)生通過輪換規(guī)律得到其它幾種方程形式。）（1）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸時(shí)，方程為：（2）焦點(diǎn)在軸正半軸時(shí)，方程為：（3）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸時(shí)，方程為：利用幾何畫板演示拋物線的四種方程形式通過類比、輪換得出四種不同的標(biāo)準(zhǔn)方程形式10， 比較這四種方程形式有什么共同點(diǎn)？（原點(diǎn)在拋物線點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)分別對(duì)稱于原點(diǎn)，它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的四分之一）11， 比較這四種方程形式什么不同點(diǎn)？怎樣區(qū)分它們？怎樣由方程的形式確定拋物線的開口方向，或怎樣由拋物線的開口方向確定拋物線的方程？（一次項(xiàng)決定拋物線的對(duì)稱軸，一次項(xiàng)的系數(shù)的正

8、負(fù)決定開口方向是向著正方向還是負(fù)方向）新知識(shí)點(diǎn)之間通過對(duì)比較才能找出它們的異同點(diǎn)，從而真正掌握它們（三）舉例鞏固1, 例1：（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（讓學(xué)生口答）（2）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（此題學(xué)生容易出錯(cuò)，先讓學(xué)生答，由錯(cuò)誤答案，集體爭(zhēng)論后再由老師說出具體結(jié)果。）通過簡(jiǎn)單的題組變式訓(xùn)練，提高學(xué)生識(shí)別新知識(shí)點(diǎn)的能力，加深對(duì)新知識(shí)點(diǎn)的理解2， （3）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線；（逆向求解，加深對(duì)的幾何意義的理解）3， （4）已知一拋物線過定點(diǎn)P（3，2），求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（用待定系數(shù)法或，或由點(diǎn)確

9、定拋物線的開口方向再設(shè)形式）逆向求解問題，訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維。4， 例2經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，作一條直線垂直于軸，和拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為、，求的值。（讓學(xué)生動(dòng)手解決此問題）利用幾何畫板中的度量，讓學(xué)生比較結(jié)果。由特殊入手，讓學(xué)生動(dòng)手，通過比較結(jié)果，使學(xué)生對(duì)結(jié)論深信不疑。5， 例3變形1：上例中若缺少“垂直于軸”的條件，結(jié)果怎樣？分析：（1）設(shè)直線方程形式為或（2）上種設(shè)法容易漏而忘記分類去，可統(tǒng)一設(shè)成；利用幾何畫板度量焦點(diǎn)弦變動(dòng)時(shí)，值是否在變。由靜止到運(yùn)動(dòng)，由特殊到一般，通過動(dòng)畫演示讓學(xué)生對(duì)知識(shí)之間產(chǎn)生聯(lián)系，培養(yǎng)用聯(lián)系的眼光看待問題。對(duì)比兩種設(shè)直線的方法的好處，可使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美得以培養(yǎng)。6， 變形2以AB為直經(jīng)的圓和準(zhǔn)線具有怎樣的位置關(guān)系？先由學(xué)生思考，猜出結(jié)論，再給出動(dòng)畫。利用幾何畫板進(jìn)一步延伸7， 變形3過點(diǎn)A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，則不論弦AB怎樣動(dòng)，角固定不變嗎？為多少度？先由學(xué)生思考，猜出結(jié)論，再給出動(dòng)畫。利用動(dòng)畫于變化中找不變，充分發(fā)揮多媒體作用，對(duì)知識(shí)進(jìn)行延伸拓展。（四）課堂小結(jié)（學(xué)生小結(jié)）1， 拋物線的定義2， 拋物線的幾種標(biāo)準(zhǔn)方程形式3， 過焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)讓學(xué)生自己小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)。（五）課后作業(yè)1， 課本第98頁習(xí)題八：1,2拋物線中過焦點(diǎn)的弦有許多性質(zhì)，課后大