第三章 光學(xué)成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

1、l3.1 相干照明衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)相干照明衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)l3.2 相干照明下衍射受限系統(tǒng)的成像規(guī)律相干照明下衍射受限系統(tǒng)的成像規(guī)律l3.3 衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)l3.4 衍射受限非相干成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)衍射受限非相干成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)l3.5 有像差系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有像差系統(tǒng)的傳遞函數(shù)l3.6 相干與非相干成像系統(tǒng)的比較相干與非相干成像系統(tǒng)的比較l 光學(xué)成像系統(tǒng)是信息傳遞系統(tǒng)從物面到像面，輸出圖像的質(zhì)量完全取決于光學(xué)系統(tǒng)l的傳遞特性。l 幾何光學(xué)是在空域研究光學(xué)系統(tǒng)的成像規(guī)律。關(guān)于成像質(zhì)量的評(píng)價(jià)，主要有星點(diǎn)法和分辨率法。l l l 星點(diǎn)法指檢驗(yàn)點(diǎn)

2、光源經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)所產(chǎn)生的像斑，由于象差、玻璃材料不均勻以及加工和裝配缺陷等使像斑不規(guī)則很難對(duì)它作出定量計(jì)算和測(cè)量，檢驗(yàn)者的主觀判斷將帶人檢驗(yàn)結(jié)果中。l 分辨率法雖然能定量評(píng)價(jià)系統(tǒng)分辨景物細(xì)節(jié)的能力，但并不能對(duì)可分辨范圍內(nèi)的像質(zhì)好壞給予全面評(píng)價(jià)。l 與空域分析相平行，還可以在頻域中分析光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量l 光學(xué)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，而且在一定條件下還是線性空不變系統(tǒng)。因而可以用線性系統(tǒng)理論來(lái)研究它的性能l 把輸入信息分解成各種空間頻率分量，然后考察這些空間頻率分量在通過(guò)系統(tǒng)的傳遞過(guò)程中丟失、衰減、相位移動(dòng)等變化，也就是研究系統(tǒng)的空間頻率傳遞特性即傳遞函數(shù)這顯然是一種全面評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的方法l 傳

3、遞函數(shù)可由光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算得出雖然計(jì)算傳遞函數(shù)的步驟比較麻煩，檢驗(yàn)傳遞函數(shù)的儀器也比較復(fù)雜但是，大容量高速度電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)以及高精度光電測(cè)試技術(shù)的發(fā)展，使光學(xué)傳遞函數(shù)的計(jì)算和測(cè)量日趨完善，并逐漸得到實(shí)際應(yīng)用。l 任何平面物場(chǎng)分布都可以看做是無(wú)數(shù)小面元的組合，而每個(gè)小面元都可看做一個(gè)加權(quán)的 函數(shù)l 對(duì)于一個(gè)透鏡或一個(gè)成象系統(tǒng)，如果能清楚地了解物平面上任一小面元的光振動(dòng)通過(guò)成像系統(tǒng)后，在像平面上所造成的光振動(dòng)分布情況，通過(guò)線性疊加，原則上便能求得任何物面光場(chǎng)分布通過(guò)系統(tǒng)后所形成的像面光場(chǎng)分布，進(jìn)而求得像面強(qiáng)度分布。這就是相干照明下的成像過(guò)程，關(guān)鍵是求出任意小面元的光振動(dòng)所對(duì)應(yīng)的像場(chǎng)分布l

4、當(dāng)該面元的光振動(dòng)為單位脈沖即函數(shù)時(shí)，這個(gè)像場(chǎng)分布函數(shù)叫做點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)或脈沖響應(yīng)l 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)通常用 h(x0，y0；xi，yi)表示，它表示物平面上(x0，y0 )點(diǎn)的單位脈沖通過(guò)成像系統(tǒng)后在像平面上(xi，yi )點(diǎn)產(chǎn)生的光場(chǎng)分布l 研究在相干照明下，一個(gè)消像差的正l薄透鏡對(duì)透明物成實(shí)像的情況。l 如圖所示，物體放在透鏡前距離為d。的輸入平面(x0，y0 )上， 在透鏡后距離為di的共扼面(xi，yi ) 上觀察成像情況。l dU1dU1 hU0l 假定緊靠物體后的復(fù)振幅分布為U0(x0 ，y0 )， (x0 ，y0 )點(diǎn)處發(fā)出的單位脈沖為：l (x0 -x0 ，y0-y0 )l沿光波傳播方向

5、，逐面計(jì)算三個(gè)特定平面上的場(chǎng)分布：l 緊靠透鏡前平面上的場(chǎng)分布dU1，l 緊靠透鏡后平面上的場(chǎng)分布dU1， l 觀察平面上的場(chǎng)分布 h , (即點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù))l這樣就可最終導(dǎo)出一個(gè)點(diǎn)源的輸入輸出關(guān)系。l計(jì)算思路或物理過(guò)程：l (x0 -x0 ，y0-y0 ) 菲涅耳衍射 dU1ldU1 乘以透鏡的屏函數(shù)和孔徑函數(shù) dU1l dU1 菲涅耳衍射 h(x0，y0；xi，yi)l其間考慮：物象共軛關(guān)系、橫向放大率l 透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)表達(dá)式說(shuō)明：在近軸成像條件下，透鏡成像系統(tǒng)是空不變的而且，透鏡的脈沖響應(yīng)就等于透鏡孔徑的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，其中心位于理想像點(diǎn)( )處l 透鏡孔徑的衍射作用明顯與否，是由孔徑

6、線度相對(duì)于波長(zhǎng)l和像距di的比例決定的。l特例：理想成像，將孔徑視為無(wú)限大l 當(dāng)孔徑大小比ldi大得多時(shí)，在 坐標(biāo)中，在無(wú)限大的區(qū)域內(nèi) 值均為1于是點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)為：l顯然，這時(shí)點(diǎn)物成點(diǎn)像。即理想成像。l 衍射受限系統(tǒng)，是指不考慮系統(tǒng)的幾何像差，僅僅考慮系統(tǒng)的衍射限制l 如果忽略衍射效應(yīng)的話，點(diǎn)物通過(guò)系統(tǒng)后形成一個(gè)理想的點(diǎn)像l 一般的衍射受限系統(tǒng)可由若干共軸球面透鏡組成，這些透鏡既可以是正透鏡或負(fù)透鏡，而且透鏡也不一定是薄的。l 系統(tǒng)對(duì)光束大小的限制是由系統(tǒng)的孔徑光闌決定的，在考察衍射受限系統(tǒng)時(shí)，實(shí)際上主要是考察孔徑光闌的衍射作用l 孔徑光闡在物空間所成的像稱為入射光瞳，（入瞳）；孔徑光闌在像空間

7、所成的像稱為出射光瞳（出瞳）l 當(dāng)軸上物點(diǎn)的位置確定后孔徑光闌、入瞳、出瞳由系統(tǒng)元件參數(shù)及相對(duì)位置決定 l 對(duì)整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)而言，入瞳和出瞳保持l物像共扼關(guān)系由入射光瞳限制的物方光束必定能全部通過(guò)系統(tǒng)，成為被出射光瞳所限制的像方光束。l 下面我們?yōu)檫@樣的系統(tǒng)建立一個(gè)普適模型l 如圖所示，任意成像系統(tǒng)都可以分成三部分：從物平面到入瞳平面為第一部分；從入瞳平面到出瞳平面為第二部分；從出瞳平面到像平面為第三部分l 光波在一、三兩部分空間的傳播可按菲涅耳衍射處理l 對(duì)于第二部分的透鏡系統(tǒng)，在等暈條件下，可把它當(dāng)做一個(gè)“黑箱”來(lái)處理，這個(gè)黑箱的兩個(gè)邊端分別是人瞳和出瞳只要能夠確定這黑箱的兩個(gè)邊端的性質(zhì)，整

8、個(gè)透鏡組的性質(zhì)便可確定下來(lái)，而不必深究其內(nèi)部結(jié)構(gòu)l 假定在入瞳和出瞳之間的光的傳播可用幾何光學(xué)來(lái)描述，所謂邊端性質(zhì)是指成像光波在人瞳和出瞳平面上的物理性質(zhì)l 為了確定系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，需要知道這個(gè)黑箱對(duì)點(diǎn)光源發(fā)出的球面波的變換作用，即l當(dāng)入瞳平面上輸入發(fā)散球面波時(shí)，出瞳平面透射的波場(chǎng)特性l 對(duì)于實(shí)際光具組，這一邊端性質(zhì)千差萬(wàn)別，但總可以分成兩類：衍射受限系統(tǒng)和有像差的系統(tǒng)。l l 當(dāng)像差很小或者系統(tǒng)的孔徑和視場(chǎng)都不大，實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)就可近似看做衍射受限系統(tǒng)。這時(shí)的邊端性質(zhì)就比較簡(jiǎn)單，物面上任一點(diǎn)源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到人瞳上，被光組變換為出瞳上的會(huì)聚球面波。l 有像差系統(tǒng)的邊端條件是，點(diǎn)光源發(fā)出的

9、發(fā)散球面波投射到入瞳上，出瞳處的透射波場(chǎng)明顯偏離理想球面波，偏離程度由波像差決定。l 阿貝認(rèn)為衍射效應(yīng)是由于有限的入瞳大小引起的；1896年瑞利提出衍射效應(yīng)來(lái)自有l(wèi)限大小的出瞳l 由于一個(gè)光瞳只不過(guò)是另一個(gè)光瞳的幾何像，這兩種看法實(shí)際是等效的l 衍射效應(yīng)可以歸結(jié)為人瞳或出瞳對(duì)于成像光波的限制我們采用瑞利的說(shuō)法。l 由物點(diǎn)發(fā)出的球面波，在象方得到的將由物點(diǎn)發(fā)出的球面波，在象方得到的將是一個(gè)被出射光瞳所限制的球面波。這個(gè)球是一個(gè)被出射光瞳所限制的球面波。這個(gè)球面波是以理想像點(diǎn)為中心的。面波是以理想像點(diǎn)為中心的。l 由于出射光瞳的限制作用，在像平面上由于出射光瞳的限制作用，在像平面上將產(chǎn)生以理想像點(diǎn)

10、為中心的出瞳孔徑的夫瑯將產(chǎn)生以理想像點(diǎn)為中心的出瞳孔徑的夫瑯禾費(fèi)衍射花樣禾費(fèi)衍射花樣l 可以寫(xiě)出物面上以(x0，yo)點(diǎn)的單位脈沖通過(guò)衍射受限系統(tǒng)后在與物面共扼的像面上的復(fù)振分布，即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為:l 式中，K是與xo，yo和xi，yi無(wú)關(guān)的復(fù)常數(shù)；lP(x,y)是出瞳函數(shù)(常稱光瞳函數(shù))，在光瞳內(nèi)其值為1，在光瞳外其值為零；ldi是光瞳面到像面的距離，已不是通常意義下的像距。l 上式表明：如果略去積分號(hào)前的系數(shù)，如果略去積分號(hào)前的系數(shù)，脈沖響應(yīng)就是光瞳函數(shù)的傅里葉變換。即衍脈沖響應(yīng)就是光瞳函數(shù)的傅里葉變換。即衍射受限系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是光學(xué)系統(tǒng)出瞳的夫射受限系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是光學(xué)系統(tǒng)出瞳的夫瑯禾費(fèi)衍

11、射圖樣，其中心在幾何光學(xué)的理想瑯禾費(fèi)衍射圖樣，其中心在幾何光學(xué)的理想像點(diǎn)像點(diǎn)(Mx0, My0)處。處。l特例：幾何光學(xué)理想成像情況l 如果光瞳相對(duì)于ldi足夠大時(shí)，在 ， 坐標(biāo)中，在無(wú)限大區(qū)域內(nèi)P(ldi ； ldi ，A)都為1，此時(shí)，l上式表明：當(dāng)可以忽賂光瞳的衍射時(shí)，(xo，yo)點(diǎn)的脈沖通過(guò)衍射受限系統(tǒng)后在像面上得l到的仍然是點(diǎn)脈沖，其位置為l xi =Mx。；yi My。)l即幾何光學(xué)理想成像情況。xy0 x0yl 任務(wù)：確定某一給定的物分布，通過(guò)衍射受限系統(tǒng)后，在像平面上的像分布，包括復(fù)振幅分布和光強(qiáng)分布。l 一個(gè)確定的物分布總可以很方便地分解成無(wú)數(shù) 函數(shù)的線性組合，而每個(gè) 函數(shù)

12、可按(3110)式求出其響應(yīng)。l 然而，在像平面上將這些無(wú)數(shù)個(gè)脈沖響應(yīng)合成的結(jié)果是和物面照明情況有關(guān)的。l 如果物面上某兩個(gè)脈沖是相干的，則這兩個(gè)脈沖在像平面上的響應(yīng)便是相干疊加；若這兩個(gè)脈沖是非相干的，則這兩個(gè)脈沖在像平面上的響應(yīng)將是非相干疊加，即強(qiáng)度疊加l 所以衍射受限系統(tǒng)的成像特性，對(duì)于相干照明和非相干照明是不同的。l 本節(jié)先討論相干照明情況下節(jié)討論非相干照明情況。l目標(biāo)：l 1.求出任意復(fù)振幅分布輸入函數(shù)，經(jīng)過(guò)相干照明衍射受限系統(tǒng)后的像分布；l 2.相干照明衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)；l分析推導(dǎo)如下。 l分析推導(dǎo)l 設(shè)物的復(fù)振幅分布為U0(x0,y0) ，在相干照明下，物面上各點(diǎn)是完全相

13、干的。l 按公式l將物分布用函數(shù)表達(dá)為l 物面上每一個(gè)脈沖通過(guò)系統(tǒng)后都形成一個(gè)復(fù)振幅分布，所有這些分布的相干疊加，便是物通過(guò)系統(tǒng)后所得的像的復(fù)振幅分布Ui(xi,yi) ，即:l 分析上式的物理意義l 先討論 在 坐標(biāo)中的意義l 由于l代表理想成像的脈沖響應(yīng)，如果將它代入(321)式（即Ui(xi,yi)的表達(dá)式）的表達(dá)式）中，所得到的像Ui(xi,yi) 應(yīng)該是理想成像的像分布，用Ug(xi,yi)表示:l理想像Ug(xi,yi)的分布形式與物U0(x0,y0) 的分布形式是一樣的，只是在xi和yi方向放大了M倍.l 物U0(x0,y0)與 的圖形是一樣的，l 只是由于l所以該圖在 坐標(biāo)系中

14、的讀數(shù)比在(x0,y0) 坐標(biāo)中放大了M倍l l 所以 在 坐標(biāo)中與Ug(xi,yi)是一樣的l因此把 叫做U0(x0,y0) 的理想像得令l物理意義：物物U0(x0,y0)通過(guò)衍射受限系統(tǒng)通過(guò)衍射受限系統(tǒng)后的像分布后的像分布Ui(xi,yi)是是U0(x0,y0)的理想象的理想象Ug(xi,yi) 和點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)和點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù) 的卷積的卷積。l這就表明，不僅對(duì)于薄的單透鏡系統(tǒng)，而且對(duì)于更普遍的情形，衍射受限成像衍射受限成像系統(tǒng)仍可看成線性空不變系統(tǒng)。系統(tǒng)仍可看成線性空不變系統(tǒng)。l由Ui(xi,yi) 可以得到像的強(qiáng)度分布為:l也可進(jìn)而求得衍射受限成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與光瞳函數(shù)的關(guān)系：l點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)

15、：l 由于是空不變的，我們可以用l 的脈沖響應(yīng)表示成像系統(tǒng)的特性，即：l 再次表明：相干照明衍射受限成像系統(tǒng)再次表明：相干照明衍射受限成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是空不變的，是光瞳函數(shù)的傅的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是空不變的，是光瞳函數(shù)的傅里葉變換。里葉變換。l 在相干照明條件下，對(duì)于衍射受限成像在相干照明條件下，對(duì)于衍射受限成像系統(tǒng)，表征成像系統(tǒng)特征的是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；系統(tǒng)，表征成像系統(tǒng)特征的是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；而點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)僅決定于系統(tǒng)的光瞳函數(shù)。可而點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)僅決定于系統(tǒng)的光瞳函數(shù)?？梢?jiàn)，光瞳函數(shù)對(duì)于衍射受限系統(tǒng)成像的重要。見(jiàn)，光瞳函數(shù)對(duì)于衍射受限系統(tǒng)成像的重要。l 在相干照明下的衍射受限系統(tǒng)，對(duì)復(fù)振幅的傳遞是線性空不變

16、的(上一節(jié)剛剛討論)。 l 公式(324)是物像關(guān)系在空域中的表達(dá)式系統(tǒng)的成像特性在空域中由點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)表征。l 空不變系統(tǒng)的變換持性在頻域中來(lái)描寫(xiě)更方便。在頻域中，用 的頻譜函數(shù)H( , )來(lái)描述系統(tǒng)的成像特性； H( , )稱為衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)(CTF)l由相干成象系統(tǒng)的物像關(guān)系(324)，并設(shè)l則有衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)(CTF)：l 上式表明：相干傳遞函數(shù) H( , ) 等于光瞳函數(shù)，僅在空域坐標(biāo)x，y和頻域坐標(biāo) , 之間存在著一定的坐標(biāo)縮放關(guān)系。l H( , ) 取值分析：取值分析： 光瞳函數(shù)總是取1和0兩個(gè)值，所以相干傳遞函數(shù)所以相干傳遞函數(shù)H( , )也是如此，只有也

17、是如此，只有1和和0兩個(gè)值兩個(gè)值。l 若由（ , ）決定的x= -ldi , y=- ldi 的值在光瞳內(nèi)，則這種頻率的指數(shù)基元按原樣在像分布中出現(xiàn)，既沒(méi)有振幅衰減也沒(méi)有相位變化，即傳遞函數(shù)對(duì)此頻率的值為1。l l 若由 , 決決定的x,y的值在光瞳之外，則系統(tǒng)將完全不能讓此種頻率的指數(shù)基元通過(guò)，也就是傳遞函數(shù)對(duì)這頻率的值為0l 綜合上述分析，這就是說(shuō)，在頻域中存在一個(gè)有限的通頻帶，在此通帶內(nèi)的頻率分量可以通過(guò)系統(tǒng)而沒(méi)有振幅和相位畸變；而通帶以外的頻率分量完全被衰減掉。l 衍射受限系統(tǒng)是一個(gè)低通濾波器，低于衍射受限系統(tǒng)是一個(gè)低通濾波器，低于某一頻率的指數(shù)基元成分將按原樣通過(guò)，高某一頻率的指數(shù)基

18、元成分將按原樣通過(guò)，高于該頻率的指數(shù)基元成分將被截止，這個(gè)特于該頻率的指數(shù)基元成分將被截止，這個(gè)特征頻率稱為系統(tǒng)的截止頻率，用征頻率稱為系統(tǒng)的截止頻率，用r rc表示表示。l幾何光學(xué)理想成像情形：幾何光學(xué)理想成像情形：l l 假如不考慮孔徑的有限大小，認(rèn)為恒有 P 1，則整個(gè)頻譜面上都有H( , )1這時(shí)像是物的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)，沒(méi)有任何信息丟失這正是幾何光學(xué)理想成像情況。l 如果我們?cè)谝粋€(gè)反演坐標(biāo)中來(lái)定義P，則可以去掉負(fù)號(hào)的累贅，把相干傳遞函數(shù)相干傳遞函數(shù)H( , )表達(dá)式寫(xiě)為：表達(dá)式寫(xiě)為：l尤其是一般光瞳函數(shù)都是對(duì)光軸呈中心對(duì)稱的，這樣處理的結(jié)果不會(huì)產(chǎn)生任何實(shí)值性的影響。l 直徑為D的圓形光瞳，其

19、孔徑函數(shù)、相干傳遞函數(shù)、截止頻率表達(dá)式分別為：l 測(cè)量傳遞函數(shù)的方法：l 法一：是計(jì)算或測(cè)量出系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，然后對(duì)它做傅里葉變換以確定傳遞函數(shù)但在有些情況中，得不到點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的精確表達(dá)式，這種方法不好使用；l 法二：是把大量頻率不同的本征函數(shù)逐個(gè)輸入系統(tǒng)，并確定每個(gè)本征函數(shù)所受到的衰減及其相移，從而得到傳遞函數(shù)這種方法較第一種方法直接，但測(cè)量數(shù)目大，實(shí)現(xiàn)起來(lái)相當(dāng)因難。l 由線擴(kuò)散函數(shù)確定傳遞函數(shù)是另一種方法l 1線擴(kuò)散函數(shù)與邊緣擴(kuò)散函數(shù)的概念l 對(duì)于相干照明成像系統(tǒng)，點(diǎn)物在像面上的響應(yīng)即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是一種復(fù)振幅分布，所有點(diǎn)物響應(yīng)的疊加即得像面上的復(fù)振幅分布這個(gè)分布的絕對(duì)值的平方即為像面強(qiáng)度分

20、布。l 對(duì)于非相干照明成像系統(tǒng)，點(diǎn)物在像面上的響應(yīng)即強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是一種強(qiáng)度分布，所有這些強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的疊加就得像面強(qiáng)度分布。l 但無(wú)論是復(fù)振幅點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)或是強(qiáng)度點(diǎn)l擴(kuò)散函數(shù)，但就疊加成線擴(kuò)散函數(shù)的方式都是一樣的l l 為直觀起見(jiàn)，下面以點(diǎn)物的強(qiáng)度響應(yīng)為例討論點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與線擴(kuò)散函數(shù)的關(guān)系l l 公式中的各函數(shù)表達(dá)式既可理解成強(qiáng)度，也可理解成復(fù)振幅l 一個(gè)點(diǎn)物在像面上造成的強(qiáng)度分布即為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(xi，yi)；l 實(shí)際上，一個(gè)“線物”（狹縫、亮線）在像面上造成的強(qiáng)度分布即為線擴(kuò)散函數(shù)L(xi)；l 因?yàn)橐桓林本€或一個(gè)亮狹縫，可以看成是由許多亮點(diǎn)的集合組成的，這許多沿直線排列的點(diǎn)源的像點(diǎn)的疊

21、加就構(gòu)成亮直線的光強(qiáng)分布l 顯然：線擴(kuò)散函數(shù)由點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)疊加而成線擴(kuò)散函數(shù)由點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)疊加而成，這就是兩者之間的關(guān)系。l (b)代表線擴(kuò)散函數(shù)l設(shè)系統(tǒng)輸入一線脈沖，例如平行于yo軸的線光源，l U0(x0,y0)=(x0)l線性空不變系統(tǒng)的線擴(kuò)散函數(shù)為l 線擴(kuò)散函數(shù)等于點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)線擴(kuò)散函數(shù)等于點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)y yi i方向的線積分方向的線積分。l 邊緣擴(kuò)散函數(shù)l 物為一狹縫，它在像面上造成的分布就是線擴(kuò)散函數(shù)l 現(xiàn)用一個(gè)與狹縫方向平行的刀片放置在像面上。開(kāi)始時(shí)刀片完全擋住狹縫像，刀片逐漸移動(dòng)，這樣一來(lái)，在刀片的整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中，進(jìn)入探測(cè)器的光通量隨刀口位置xi的變化構(gòu)成一個(gè)函數(shù)E(xi)，這個(gè)函數(shù)就

22、叫做邊緣擴(kuò)散函數(shù)。l邊緣擴(kuò)散函數(shù)E(xi)來(lái)源于線擴(kuò)散函數(shù)L (xi) ，它們的關(guān)系是l 邊緣擴(kuò)散函數(shù)也可用下面方式導(dǎo)出： l 對(duì)系統(tǒng)輸入一個(gè)階躍函數(shù)，例如均勻照明的直邊或刀口形成的光分布系統(tǒng)的輸出叫階躍響應(yīng)或邊緣擴(kuò)散函數(shù)，即l 2相干線擴(kuò)散函數(shù)和邊緣擴(kuò)散函數(shù)l 在相干照明下的狹縫在像面上產(chǎn)生的復(fù)在相干照明下的狹縫在像面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布就是相干線擴(kuò)散函數(shù)，它的一維傅振幅分布就是相干線擴(kuò)散函數(shù)，它的一維傅l里葉變換等于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)沿里葉變換等于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)沿 方向截面分方向截面分布布，即l相干傳遞函數(shù)的測(cè)量：相干傳遞函數(shù)的測(cè)量： l 由上式可知，改變相干照明的狹縫方向，改變相干照明的狹縫方

23、向，分別對(duì)每分別對(duì)每 一個(gè)方向測(cè)量線擴(kuò)散函數(shù)，然后做一個(gè)方向測(cè)量線擴(kuò)散函數(shù)，然后做一維博里葉變換，就可確定相應(yīng)各個(gè)方向的一維博里葉變換，就可確定相應(yīng)各個(gè)方向的傳遞函數(shù)截面。從而測(cè)出傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)截面。從而測(cè)出傳遞函數(shù)。l l 對(duì)于點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是圓對(duì)稱的情況，傳遞對(duì)于點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是圓對(duì)稱的情況，傳遞函數(shù)也是圓對(duì)稱的，它只需一個(gè)截面就可完函數(shù)也是圓對(duì)稱的，它只需一個(gè)截面就可完全確定全確定 l 假如點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)對(duì)假如點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)對(duì)x xi i，y yi i是可分離變量的，是可分離變量的，傳遞函數(shù)也是可以分離變量的。確定它只需要傳遞函數(shù)也是可以分離變量的。確定它只需要兩個(gè)截面兩個(gè)截面 H(,0),0)和

24、H(0,),)。l l 因此，利用線擴(kuò)散函數(shù)的一維傅里葉變換來(lái)確定傳遞函數(shù)，有時(shí)比由點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)做二維傅里葉變換得到傳遞函數(shù)更為方便。l 由公式l可知，一個(gè)平行于yo軸的狹縫在像面上產(chǎn)生的相干線擴(kuò)散函數(shù)為l l它是相干傳遞函數(shù)沿 軸截面的一維傅里葉逆變換。l 在衍射受限系統(tǒng)中的相干傳遞函數(shù)，在在衍射受限系統(tǒng)中的相干傳遞函數(shù)，在通頻帶內(nèi)為常數(shù)，無(wú)論孔徑形狀如何，相干通頻帶內(nèi)為常數(shù)，無(wú)論孔徑形狀如何，相干傳遞函數(shù)的截面總是矩形函數(shù)，因而傳遞函數(shù)的截面總是矩形函數(shù)，因而相干線擴(kuò)散函數(shù)L(xi)將呈將呈sinc函數(shù)變化函數(shù)變化l 在非相干照明下，物面上各點(diǎn)的振幅和相位隨時(shí)間變化的方式是彼此獨(dú)立、統(tǒng)計(jì)無(wú)關(guān)

25、的 這樣一來(lái)雖然物面上每一點(diǎn)通過(guò)系統(tǒng)后仍可得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的復(fù)振幅分布，但由于物面的照明是非相干的，故不能通過(guò)對(duì)這些復(fù)振幅分布的相干疊加得到像的復(fù)振幅分布，而應(yīng)該先由這些復(fù)振幅分布分別求出對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度分布，然后將這些強(qiáng)度分布疊加(非相干疊加)而得到像面強(qiáng)度分布非相干成像系統(tǒng)是強(qiáng)度的非相干成像系統(tǒng)是強(qiáng)度的線性系統(tǒng)，若成像是空不變的，則非相干成線性系統(tǒng)，若成像是空不變的，則非相干成像系統(tǒng)是強(qiáng)度的線性空不變系統(tǒng)。像系統(tǒng)是強(qiáng)度的線性空不變系統(tǒng)。l 非相干線性空不變成像系統(tǒng)，物像關(guān)系滿足下述卷積積分lIg是幾何光學(xué)理想像的強(qiáng)度分布，lIi為像強(qiáng)度分布，lk是常數(shù)，不影響Ii 的分布形式不用給出具體表達(dá)式lh

26、hI I為強(qiáng)度脈沖響應(yīng)為強(qiáng)度脈沖響應(yīng)(或稱非相干脈沖響應(yīng)、強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù))它是點(diǎn)物產(chǎn)生的像斑的強(qiáng)度分布，它是點(diǎn)物產(chǎn)生的像斑的強(qiáng)度分布，它應(yīng)該是復(fù)振幅點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)絕對(duì)值的平方它應(yīng)該是復(fù)振幅點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)絕對(duì)值的平方，即l 前述公式表明：在非相干照明下，線性空不在非相干照明下，線性空不變成像系統(tǒng)的像強(qiáng)度分布是理想像的強(qiáng)度分布變成像系統(tǒng)的像強(qiáng)度分布是理想像的強(qiáng)度分布與強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積。與強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積。l在頻域中來(lái)描寫(xiě)非相干照明下的強(qiáng)度線性空不變系統(tǒng)物像關(guān)系，將更加方便l 設(shè)：l則：l 決定像的清晰與否，主要的不是包括零頻分量在內(nèi)的總光強(qiáng)有多大，而在于攜帶有信息那部分光強(qiáng)相對(duì)于零頻分量的比值有多

27、大。l 所以更有意義的是Gi(,)， Gg(,)， HI(,)相對(duì)于各自零頻分量的比值。這就是用零頻分量對(duì)它們歸一化，得歸一化頻譜，即：l這些歸一化頻譜滿足公式：l 稱為非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)(OTF)，它描述非相干成像系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)。l由于 一般都是復(fù)函數(shù)，都可以用它的模和輻角表示，于是有:l由此,可得調(diào)制傳遞函數(shù)和相位傳遞函數(shù):l M(,)為為調(diào)制傳遞函數(shù), j j(,)為為相位傳遞函數(shù)。l M(,)描寫(xiě)了系統(tǒng)對(duì)各頻率對(duì)比度的傳遞特性；l j j(,)描述了系統(tǒng)對(duì)各頻率分量施加的相移。l l 由于Ii，Ig和hI都是非負(fù)實(shí)函數(shù)，它們的歸一化頻譜 都是厄米

28、函數(shù)。l 余弦函數(shù)是這種系統(tǒng)的本征函數(shù)，即強(qiáng)度余弦分量在通過(guò)系統(tǒng)后仍為同頻率的余弦輸出，其對(duì)比度和相位的變化決定于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的模和輻角l 換句話說(shuō)，如果把輸入物看做強(qiáng)度透過(guò)率呈余弦變化的不同頻率的光柵的線性組合，在成像過(guò)程中，OTF唯一的影響是改變這些基元的對(duì)比度和相對(duì)相位。 l例子：余弦輸入的光強(qiáng) 余弦輸出光強(qiáng)l 可以證明其輸出是：l由此可見(jiàn)，余弦條紋通過(guò)（光強(qiáng)）線性空不余弦條紋通過(guò)（光強(qiáng)）線性空不變成像系統(tǒng)后，像仍然是同頻率的余弦條紋，變成像系統(tǒng)后，像仍然是同頻率的余弦條紋，只是振幅減小了，相位變化了振幅的減小只是振幅減小了，相位變化了振幅的減小和相位的變化都取決于系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)和相

29、位的變化都取決于系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)在該頻率處的取值。在該頻率處的取值。l對(duì)比度V與調(diào)制度M討論l對(duì)于呈余弦變化的強(qiáng)度分布輸入，可以導(dǎo)出(像的對(duì)比度Vi、物象間的相位差ji )分別為：l l Vg 為物的對(duì)比度l l 即像的對(duì)比度（Vi）等于物的對(duì)比度與相應(yīng)頻率的MTF的乘積，PTF給出了相應(yīng)的相移，空間余弦分布的相位差j j(,)，體現(xiàn)了余弦像分布 相對(duì)于其物分布 移動(dòng)了多少。當(dāng) j j(,) 為2p時(shí)，表示錯(cuò)開(kāi)一個(gè)條紋，當(dāng)j j(,) 為q弧度時(shí),說(shuō)明錯(cuò)開(kāi)了q/2p個(gè)條紋。l 由此可見(jiàn)，光學(xué)傳函數(shù)的模光學(xué)傳函數(shù)的模M(,)表示物表示物分布中頻率分布中頻率(,)的余弦基元通過(guò)系統(tǒng)后振幅的余弦基

30、元通過(guò)系統(tǒng)后振幅的衰減的衰減(M(,) 1)；或者說(shuō)；或者說(shuō)M(,)表示頻率為表示頻率為(,) 的余弦物通過(guò)系統(tǒng)后調(diào)制度的降低，因的余弦物通過(guò)系統(tǒng)后調(diào)制度的降低，因此，此， M(,) 叫調(diào)制傳遞函數(shù)（叫調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF)。l 光學(xué)傳函數(shù)的輻角光學(xué)傳函數(shù)的輻角j j(,) 則表示頻率為則表示頻率為(,)的余弦像分布相對(duì)于物的余弦像分布相對(duì)于物(理想像理想像)的橫向位的橫向位移量，所以也把移量，所以也把j j(,)叫做相位傳遞函數(shù)叫做相位傳遞函數(shù)(PTF)。l 光學(xué)傳遞函數(shù) (OTF)與相干傳遞函數(shù)H(,) (CTF)分別描述同一系統(tǒng)采用非相干與相干照明時(shí)的傳遞函數(shù)，它們都決定于系統(tǒng)本身的物理

31、性質(zhì)，應(yīng)當(dāng)有聯(lián)系。l 由歸一化光學(xué)傳遞函數(shù)表達(dá)式(3.4.5)、自相關(guān)定理和巴塞伐定理，可以得出光學(xué)傳遞函數(shù) (OTF)與相干傳遞函數(shù)H(,) (CTF) 間的關(guān)系式：l 對(duì)同一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，光學(xué)傳遞函數(shù)等于相干對(duì)同一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，光學(xué)傳遞函數(shù)等于相干傳遞函數(shù)的自相關(guān)歸一化函數(shù)。傳遞函數(shù)的自相關(guān)歸一化函數(shù)。 這這結(jié)論對(duì)于結(jié)論對(duì)于有像差和沒(méi)有像差系統(tǒng)都完全成立有像差和沒(méi)有像差系統(tǒng)都完全成立。l由 ，得到：l l l公式表明衍射受限系統(tǒng)的公式表明衍射受限系統(tǒng)的OTF是光瞳函數(shù)的是光瞳函數(shù)的自相關(guān)歸一化函數(shù)。自相關(guān)歸一化函數(shù)。l OTF的重要幾何解釋 ：分母是光瞳的總面積S0；分子代表中心位于(-ldi，-

32、ldi)的經(jīng)過(guò)平移的光瞳與原光瞳的重疊面積S(,)。l 因此，求衍射受限系統(tǒng)的OTF,只不過(guò)是計(jì)算歸一化重疊面積。l 從幾何解釋看衍射受限系統(tǒng)OTF的一些性質(zhì)l (1) 是實(shí)的非負(fù)函數(shù)。l因此衍射受限的非相干成像系統(tǒng)只改變各頻率余弦分量的對(duì)比，而不改變它們的相位。即只需考慮MTF,而不必考慮PTFl (2) 當(dāng)=0時(shí)，兩個(gè)光瞳完全重疊，歸一化重疊面積為1，這正是OTF歸一化的結(jié)果l (3). 這一結(jié)論很容易從兩個(gè)光瞳錯(cuò)開(kāi)后重疊的面積小于完全重疊面積得出。 l(4)截止頻率當(dāng)，足夠大，兩光瞳完全分離時(shí)，重疊面積為零。l 此時(shí)， 即在截止頻率所規(guī)定的范圍之外，光學(xué)傳遞函數(shù)為零，像面上不出現(xiàn)這些頻率

33、成分l 在非相干照明下，平行于yo軸狹縫光源在像面上產(chǎn)生的線響應(yīng)稱為線擴(kuò)散函數(shù)。它是光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF）沿軸截面分布的一維傅里葉變換。l l相干線擴(kuò)散函數(shù)與非相干線擴(kuò)散函數(shù)的比較相干線擴(kuò)散函數(shù)與非相干線擴(kuò)散函數(shù)的比較l 雖然線擴(kuò)散函數(shù)與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，在相干與非相干照明時(shí)都是相同的，但由于OTF與CTF的明顯不同， 相應(yīng)的線擴(kuò)散函數(shù)的性質(zhì)也有很大差別。l 由于相干傳遞函數(shù)在通頻帶內(nèi)為常數(shù)，其截面總是矩形函數(shù)，因此相干線擴(kuò)散函數(shù)與孔徑形狀無(wú)關(guān)，總是sinc函數(shù)。l OTF是光瞳自相關(guān)的結(jié)果，因此非相干線擴(kuò)散函數(shù)就與孔徑的形狀有關(guān)。l相干線擴(kuò)散函數(shù)與非相干線擴(kuò)散函數(shù)的比較相干線擴(kuò)散函數(shù)與非相

34、干線擴(kuò)散函數(shù)的比較l l直徑為直徑為D的圓形的圓形光瞳光瞳的的 相干線相干線擴(kuò)散函數(shù)（上：擴(kuò)散函數(shù)（上：sinc函數(shù)）函數(shù)）與與 非非相干線擴(kuò)散函相干線擴(kuò)散函數(shù)（下圖）數(shù)（下圖）的的比較比較l l非相干邊緣擴(kuò)散函數(shù)非相干邊緣擴(kuò)散函數(shù)l 在沒(méi)有像差的理想情況情況下，我們得出： l l 對(duì)于衍射受限系統(tǒng)，在相干照明下傳遞函數(shù)H只有1和0兩個(gè)值，各種空間成分或者無(wú)畸變地通過(guò)系統(tǒng)，或者被完全擋掉 l 在非相干照明下的光學(xué)傳遞函數(shù)是非負(fù)實(shí)函數(shù)，即系統(tǒng)只改變各頻率成分的對(duì)比，不產(chǎn)生相移 l 任何一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)總是有像差的。l 像差可能來(lái)自于：l 構(gòu)成系統(tǒng)的元件；l 成像平面的位置誤差；l 理想球面透鏡所固有

35、的（如球面像差）等。l 所有這些像差都會(huì)對(duì)傳遞函數(shù)發(fā)生影響，在相干或非相干照明下，往往都是復(fù)函數(shù)系統(tǒng)將對(duì)各頻率成分的相位發(fā)生影響。l l 在討論衍射受限系統(tǒng)時(shí)，通過(guò)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)lh(xi,yi)與光瞳函數(shù)的傅里葉變換，最終用光瞳函數(shù)來(lái)描述傳遞函數(shù)。l 對(duì)于有像差的系統(tǒng)，仍然采用這種方法。只是對(duì)光瞳函數(shù)的概念加以推廣，然后用廣義廣義l光光瞳函數(shù)函數(shù)來(lái)描述有像差系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。l 引入波像差W(x,y) （實(shí)際波面與理想波面光程差）,定義廣義光瞳函數(shù)：廣義光瞳函數(shù)：l 根據(jù)廣義光瞳函數(shù)，可以按照與衍射受限類似的關(guān)系，得出有像差系統(tǒng)的相干點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和相干傳遞函數(shù)；l 再根據(jù)相干傳遞函數(shù)與非相干傳遞函數(shù)

36、的關(guān)系，得出得出有像差系統(tǒng)的非相干歸一化傳遞函數(shù)。l有像差系統(tǒng)的相干點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)l 有像差時(shí)，相干脈沖響應(yīng)不再單純是孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，必須考慮波像差的影響l 若像差是對(duì)稱的，如球差和離焦，點(diǎn)物的像斑仍具有對(duì)稱性l 若像差是非對(duì)稱的，如彗差、像散等，點(diǎn)物的像斑也不具有圓對(duì)稱性l有像差系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)有像差系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)l 有像差系統(tǒng)的通頻帶的范圍仍由光瞳的大小決定，l 截止頻率和無(wú)像差的情況相同。l 像差的惟一影響是在通帶內(nèi)引人了與頻率有關(guān)的相位畸變，像質(zhì)變壞。l有像差系統(tǒng)的有像差系統(tǒng)的非非相干傳遞函數(shù)（相干傳遞函數(shù)（OTF）l l 當(dāng)波像差為零，所得結(jié)果與無(wú)像差一致，當(dāng)波像差為零，所得結(jié)果與無(wú)像差一致，是衍射受限的是衍射受限的OTF對(duì)于像差不為零的情況，對(duì)于像