第七章 理想氣體的有旋流動和無旋流動

1、流體力學流體力學電子教案電子教案 微分形式的連續(xù)方程微分形式的連續(xù)方程 流體微團運動的分解流體微團運動的分解 有旋流動和無旋流動有旋流動和無旋流動 理想流體的運動微分方程理想流體的運動微分方程 歐拉積分式和伯努利積分式歐拉積分式和伯努利積分式 伯努利方程伯努利方程 理想流體的定解條件理想流體的定解條件 渦線渦線 渦管渦管 渦束渦束 渦通量渦通量 速度環(huán)量速度環(huán)量 斯托克斯定理斯托克斯定理 湯姆孫定理湯姆孫定理 亥姆霍茲旋渦定理亥姆霍茲旋渦定理有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動幾種簡單的平面無旋流動的疊加幾種簡

2、單的平面無旋流動的疊加平行流繞過圓柱體無環(huán)流的平面流動平行流繞過圓柱體無環(huán)流的平面流動平行流繞過圓柱體有環(huán)流的平面流動平行流繞過圓柱體有環(huán)流的平面流動 庫塔庫塔- -儒可夫斯基公式儒可夫斯基公式控制體的選取控制體的選取: :邊長為邊長為dx，dy，dz的微元平行六面體。的微元平行六面體。形心坐標：形心坐標： x, y, z三方向速度：三方向速度： vx , vy , vz密度：密度： yvxvzvyxzo),(zyx一、微分形式的連續(xù)方程一、微分形式的連續(xù)方程x軸方向流體質(zhì)量的流進和流出軸方向流體質(zhì)量的流進和流出左面微元面積流左面微元面積流入的流體質(zhì)量：入的流體質(zhì)量：右面微元面積流右面微元面積

3、流出的流體質(zhì)量：出的流體質(zhì)量：x軸方向流體軸方向流體的凈流出量：的凈流出量：)2(dxxyvxvzv)2(dxxvvxx)2(dxx)2(dxxvvxxdydzdxxvvdxxxx)2)(2(dydzdxxvvdxxxx)2)(2(dxdydzvxdydzdxxvdxxvdydzdxxvvdxxdydzdxxvvdxxxxxxxxx)()()2)(2()2)(2(y軸方向流體軸方向流體的凈流出量：的凈流出量：同理同理, y、z軸方向流體質(zhì)量的流進和流出軸方向流體質(zhì)量的流進和流出dxdydzvyy)(z軸方向流體軸方向流體的凈流出量：的凈流出量：dxdydzvzz)()2(dyy)2(dzz)2

4、(dzzvvzz)2(dyyvvyyyvxvzv)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dyy)2(dyyvvyy)2(dzzvvzz)2(dzzx軸方向流體軸方向流體的凈流出量：的凈流出量：dxdydzvxx)()2(dyy)2(dzz)2(dzzvvzz)2(dyyvvyyyvxvzv)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dyy)2(dyyvvyy)2(dzzvvzz)2(dzz每秒流出微元六面體的凈流體質(zhì)量每秒流出微元六面體的凈流體質(zhì)量微元六面體內(nèi)密度變化引起微元六面體內(nèi)密度變化引起的每秒的流體質(zhì)量的變化的每秒的流體質(zhì)量的變化

5、dxdydzxdvtCVdxdydzvzvyvxdAvzyxCSn)()()(微分形式的連續(xù)方程微分形式的連續(xù)方程CVCSndAvdvt00)()()(zyxvzvyvxt二、其它形式的連續(xù)方程二、其它形式的連續(xù)方程矢量形式：矢量形式：可壓縮流體的可壓縮流體的定常流動：定常流動：不可壓縮流體的定不可壓縮流體的定?；蚍嵌ǔＡ鲃樱撼；蚍嵌ǔＡ鲃樱?)(vdivt0)(vt0)()()()(zyxvzvyvxv0zvyvxvvzyx二、其它形式的連續(xù)方程（續(xù)）二、其它形式的連續(xù)方程（續(xù)）二維可壓縮流體二維可壓縮流體的定常流動：的定常流動：二維不可壓縮流二維不可壓縮流體的定?；蚍嵌w的定?；蚍嵌ǔＡ鲃?/p>

6、：常流動：0)()(yxvyvx0yvxvyx剛體運動剛體運動: :移動、轉(zhuǎn)動移動、轉(zhuǎn)動流體運動流體運動: :移動、轉(zhuǎn)動、移動、轉(zhuǎn)動、變形變形控制體的選取控制體的選取: :邊長為邊長為dx，dy，dz的微元平行六面體。的微元平行六面體。xvyvzvE222dzzvdyyvdxxvvvxxxxEx222dzzvdyyvdxxvvvyyyyEy222dzzvdyyvdxxvvvzzzzEz形心處速度：形心處速度： vx,vy,vzE E點處速度：點處速度：一、流體微團上各點速度的表示一、流體微團上各點速度的表示各角點處各角點處x x方向速度：方向速度：222dzzvdyyvdxxvvxxxx222

7、dzzvdyyvdxxvvxxxx222dzzvdyyvdxxvvxxxx222dzzvdyyvdxxvvxxxx222dzzvdyyvdxxvvxxxx222dzzvdyyvdxxvvxxxx222dzzvdyyvdxxvvxxxx222dzzvdyyvdxxvvxxxxxvyvzvE二、流體微團運動的分解二、流體微團運動的分解以平面運動為例以平面運動為例22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxv二、流體

8、微團運動的分解二、流體微團運動的分解( (續(xù)續(xù)) )1.1.移動移動22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxv 各角點的速度分量中都包各角點的速度分量中都包含含vx,vyx方向移動速度：方向移動速度：vxz方向移動速度：方向移動速度：vzy方向移動速度：方向移動速度：vyxdtvxdtvyABCDy二、流體微團運動的分解二、流體微團運動的分解( (續(xù)續(xù)) )2.2.線變形運動線變形運動22dyyvdxxvv

9、xxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxvA和和D、B和和C間的間的x向向速度分量差速度分量差:ADBCdxxvxdyyvyABCDydtdxxvx2dtdyyvy2xx方向線應變速度：方向線應變速度：z方向方向線應變線應變速度：速度：y方向方向線應變線應變速度：速度：xvxyvyzvzC和和D、B和和A間的間的y向向速度分量差速度分量差:二、流體微團運動的分解二、流體微團運動的分解( (續(xù)續(xù)) )3.3.角變形運動和旋轉(zhuǎn)角變形

10、運動和旋轉(zhuǎn)22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxvA和和D、B和和C間的間的y向向速度分量差速度分量差:ADBCdxxvydyyvxC和和D、B和和A間的間的x向向速度分量差速度分量差:ABCDydtdyyvx2dtdxxvy2ddx結(jié)果結(jié)果:(1)AD邊和邊和BC邊逆時針旋轉(zhuǎn)微元角度邊逆時針旋轉(zhuǎn)微元角度d(2)AB邊和邊和DC邊順時針旋轉(zhuǎn)微元角度邊順時針旋轉(zhuǎn)微元角度ddtxvdxdtdxxvdyy)2/

11、(2dtyvdydtdyyvdxx)2/(2二、流體微團運動的分解二、流體微團運動的分解( (續(xù)續(xù)) )3.3.角變形運動和旋轉(zhuǎn)角變形運動和旋轉(zhuǎn)( (續(xù)續(xù)) )22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxvADBCABCDydtdyyvx2dtdxxvy2ddxyvxvxydd(1)(1)角變形運動角變形運動角變形角變形角變形速度角變形速度: :每秒內(nèi)一個直角的角度變化量每秒內(nèi)一個直角的角度變化量)(21)(2

12、1yvxvdtddtdxyz)(21xvzvzxy)(21zvyvyzx二、流體微團運動的分解二、流體微團運動的分解( (續(xù)續(xù)) )3.3.角變形運動和旋轉(zhuǎn)角變形運動和旋轉(zhuǎn)( (續(xù)續(xù)) )22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxvADBCyvxvxydd(2)(2)旋轉(zhuǎn)運動旋轉(zhuǎn)運動旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)速度旋轉(zhuǎn)速度: :每秒內(nèi)繞同一轉(zhuǎn)軸的兩條互相垂每秒內(nèi)繞同一轉(zhuǎn)軸的兩條互相垂直的微元線段旋轉(zhuǎn)角度的平均值直的微元線段旋

13、轉(zhuǎn)角度的平均值)(21)(21yvxvdtddtdxyz)(21xvzvzxy)(21zvyvyzxABCDydtdyyvx2dtdxxvy2ddx二、流體微團運動的分解二、流體微團運動的分解( (續(xù)續(xù)) )222dzzvdyyvdxxvvvxxxxEx222dzzvdyyvdxxvvvyyyyEy222dzzvdyyvdxxvvvzzzzEz22222dydzdzdydxxvvvzyyzxxEx22222dzdxdxdzdxxvvvxzzxyyEy22222dxdydydxdxxvvvzxxyzzEz第一項：平移運動第一項：平移運動第二項：線變形運動第二項：線變形運動第三項：角變形運動第三項

14、：角變形運動第四項：旋轉(zhuǎn)運動第四項：旋轉(zhuǎn)運動三、有旋流動三、有旋流動 無旋流動無旋流動流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度不等于零的流動流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度不等于零的流動 流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度等于零的流動流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度等于零的流動有旋流動有旋流動: :無旋流動無旋流動: :yvxvxyxvzvzxzvyvyz無旋流動無旋流動有旋流動有旋流動一、歐拉運動微分方程式一、歐拉運動微分方程式控制體的選取控制體的選取: :邊長為邊長為dx，dy，dz的微元平行六面體。的微元平行六面體。形心坐標：形心坐標： x, y, z三方向質(zhì)量力：三方向質(zhì)量力：fx , fy , fz壓強：壓強：ppyfxfzfyxzo),(

15、zyx一、歐拉運動微分方程式一、歐拉運動微分方程式( (續(xù)續(xù)) )x軸方向的受力軸方向的受力2dxxpp2dxxpppyfxfzf左面中心受力：左面中心受力：dydzdxxpp)2(右面中心受力：右面中心受力：dydzdxxpp)2(質(zhì)量力：質(zhì)量力： x方向的運動微方向的運動微分方程：分方程：dydzdxxppdydzdxxppdxdydzfdxdydzdtdvxx)2()2(xfxpfdtdvxx1一、歐拉運動微分方程式一、歐拉運動微分方程式( (續(xù)續(xù)) )同理同理, y、z方向的運動微分方程。方向的運動微分方程。2dyypp2dzzpp2dxxpp2dxxpp2dzzpp2dyypppyf

16、xfzfzpfdtdvypfdtdvxpfdtdvzzyyxx111pfdtvd1歐拉運動微歐拉運動微分方程式分方程式矢量形式矢量形式一、歐拉運動微分方程式一、歐拉運動微分方程式( (續(xù)續(xù)) )zpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzvvyvvxvvtvzzzzyzxzyyzyyyxyxxzxyxxx111pfvvtv1)(zpfdtdvypfdtdvxpfdtdvzzyyxx111pfdtvd1二、蘭姆運動微分方程式二、蘭姆運動微分方程式xvzvvxvyvvxvvxvvxvvtvzxzyxyzzyyxxxzvvyvvxvvtvdtdvxzxyxxxxzyyzzyxxv

17、vvvvxtv22222)2(1)(22vxxpfvvtvxzyyzx二、蘭姆運動微分方程式二、蘭姆運動微分方程式( (續(xù)續(xù)) )2(1)(2)2(1)(2)2(1)(2222vzzpfvvtvvyypfvvtvvxxpfvvtvzyxxyzyxzzxyxzyyzx蘭姆運動微蘭姆運動微分方程式分方程式 蘭姆運動微分方程式直接反映了流體流動的特性蘭姆運動微分方程式直接反映了流體流動的特性. .即不僅包含線即不僅包含線速度速度, ,也包含角速度也包含角速度. .一、兩個積分式的前提條件一、兩個積分式的前提條件(1)(1)流動是定常的流動是定常的(2)(2)質(zhì)量力是有勢的質(zhì)量力是有勢的(3)(3)流

18、體不可壓縮，流體不可壓縮， 流體是正壓流體流體是正壓流體0tvtvtvtzyxzfyfxfzyxzpzpypypxpxpFFF111)(pdppF1.1.前提條件前提條件一、兩個積分式的前提條件一、兩個積分式的前提條件( (續(xù)續(xù)) )2.2.常見的正壓流體常見的正壓流體(1)(1)等溫流動的可壓縮完全氣體等溫流動的可壓縮完全氣體(2)(2)絕熱流動的可壓縮完全氣體絕熱流動的可壓縮完全氣體(3)(3)不可壓縮流體不可壓縮流體RTp/pRTpFln11CpppF1ConstppF一、兩個積分式的前提條件一、兩個積分式的前提條件( (續(xù)續(xù)) )3.3.前提條件下的蘭姆方程前提條件下的蘭姆方程)(2)

19、2()(2)2()(2)2(222yxxyFxzzxFzyyzFvvvpzvvvpyvvvpx)2(1)(2)2(1)(2)2(1)(2222vzzpfvvtvvyypfvvtvvxxpfvvtvzyxxyzyxzzxyxzyyzx二、歐拉積分式二、歐拉積分式)(2)2()(2)2()(2)2(222yxxyFxzzxFzyyzFvvvpzvvvpyvvvpx無旋流動無旋流動0zyx0)2(0)2(0)2(222vpzvpyvpxFFF二、歐拉積分式二、歐拉積分式( (續(xù)續(xù)) )0)2()2()2(222dzvpzdyvpydxvpxFFF 方程組三式分別乘以任意微元線段的三個軸向分量方程組三

20、式分別乘以任意微元線段的三個軸向分量dx, dy, dz后再相加后再相加0)2(2vpdF常數(shù)22vpF歐拉積分式歐拉積分式物理意義：物理意義：非粘性的不可壓縮流體和非粘性的不可壓縮流體和可壓縮的正壓流體，在有勢的質(zhì)量力可壓縮的正壓流體，在有勢的質(zhì)量力作用下作作用下作無旋流動無旋流動，流場中，流場中任一點任一點的的單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢能、壓強單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢能、壓強勢能和動能的總和保持不變，且這三勢能和動能的總和保持不變，且這三種機械能可以相互轉(zhuǎn)換。種機械能可以相互轉(zhuǎn)換。三、伯努利積分式三、伯努利積分式)(2)2()(2)2()(2)2(222yxxyFxzzxFzyyzFvvvp

21、zvvvpyvvvpx有旋流動有旋流動0二、伯努利積分式二、伯努利積分式( (續(xù)續(xù)) )0)2()2()2(222dzvpzdyvpydxvpxFFF 方程組三式分別乘以某一條流線上任一微元線段方程組三式分別乘以某一條流線上任一微元線段的三個的三個軸向分量軸向分量dx, dy, dzdtvvvdzvvdzvpzdtvvvdyvvdyvpydtvvvdxvvdxvpxzyxxyyxxyFyxzzxxzzxFxzyyzzyyzF)(2)(2)2()(2)(2)2()(2)(2)2(222三式相加三式相加二、伯努利積分式二、伯努利積分式( (續(xù)續(xù)) )0)2()2()2(222dzvpzdyvpyd

22、xvpxFFF0)2(2vpdF常數(shù)22vpF伯努利積分式伯努利積分式物理意義：物理意義：非粘性的不可壓縮流體和可非粘性的不可壓縮流體和可壓縮的正壓流體，在壓縮的正壓流體，在 有勢的質(zhì)量力作有勢的質(zhì)量力作用下作用下作有旋流動有旋流動時，時，沿同一條流線沿同一條流線上各上各點單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢能、壓強點單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢能、壓強勢能和動能的總和保持不變，且這三種勢能和動能的總和保持不變，且這三種機械能可以相互轉(zhuǎn)換。機械能可以相互轉(zhuǎn)換。三、伯努利方程三、伯努利方程伯努利方程伯努利方程質(zhì)量力僅僅是重力質(zhì)量力僅僅是重力不可壓縮流體不可壓縮流體gz/ppF常數(shù)，常數(shù)22vpgz常數(shù)22vpF

23、物理意義物理意義：在重力作用下不可壓縮理想：在重力作用下不可壓縮理想流體作定常流動時，對于流體作定常流動時，對于有旋流動，沿有旋流動，沿同一條流線同一條流線單位質(zhì)量流體的位勢能、壓單位質(zhì)量流體的位勢能、壓強勢能和動能的總和保持不變；對于強勢能和動能的總和保持不變；對于無無旋流動，在整個流場旋流動，在整個流場中總機械能保持不中總機械能保持不變變. .表述流動的方程表述流動的方程(4(4個個) )zpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzvvyvvxvvtvzzzzyzxzyyzyyyxyxxzxyxxx1110)()()(zyxvzvyvxt方程中的未知量方程中的未知量(5

24、(5個個) )pvvvzyx,補充方程補充方程: :Const)(p或或一、起始條件一、起始條件起始瞬時所給定的流場中每一點的流動參數(shù)。起始瞬時所給定的流場中每一點的流動參數(shù)。),()0 ,(),()0 ,(),()0 ,(),()0 ,(),()0 ,(54321zyxfzyxzyxfzyxpzyxfzyxvzyxfzyxvzyxfzyxvzyx定常流動：定常流動： 無需起始條件。無需起始條件。非定常流動：非定常流動： 必須起始條件。必須起始條件。二、邊界條件二、邊界條件任一瞬時運動流體所占空間的邊界上所必須滿足的條件任一瞬時運動流體所占空間的邊界上所必須滿足的條件固體壁面上的運動學條件固體

25、壁面上的運動學條件: :不同流體交界面上的運動學條件：不同流體交界面上的運動學條件：不同流體交界面或固體壁面上的動力學條件：不同流體交界面或固體壁面上的動力學條件：wnnvv 0nvnnvv21ppamb固體壁面靜止固體壁面靜止渦線渦線 渦管渦管 渦束渦束 渦通量渦通量 一、渦線一、渦線 一條曲線，在給定瞬時，這條曲線上每一點的切線與位于該一條曲線，在給定瞬時，這條曲線上每一點的切線與位于該點的流體微團的角速度的方向相重合。點的流體微團的角速度的方向相重合。1234渦線的微分方程渦線的微分方程),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx渦線渦線 渦管渦管 渦束渦束 渦通量渦通量

26、 二、渦管二、渦管 在給定瞬時，在渦量場中任取一不是渦線的封閉曲線，通在給定瞬時，在渦量場中任取一不是渦線的封閉曲線，通過封閉曲線上每一點作渦線，這些渦線形成一個管狀表面。過封閉曲線上每一點作渦線，這些渦線形成一個管狀表面。三、渦束三、渦束 渦管中充滿著作旋轉(zhuǎn)運動的流體渦管中充滿著作旋轉(zhuǎn)運動的流體四、渦通量四、渦通量 旋轉(zhuǎn)角速度的值與垂直于角速度方旋轉(zhuǎn)角速度的值與垂直于角速度方向的微元渦管橫截面積的乘積的兩倍。向的微元渦管橫截面積的乘積的兩倍。dAdJ2AndAJ2 斯托克斯定理斯托克斯定理 一、速度環(huán)量一、速度環(huán)量 速度在某一封閉周線切線上的分量沿該粉筆周線的線。速度在某一封閉周線切線上的分

27、量沿該粉筆周線的線。)(dzvdyvdxvsdvzyx 速度環(huán)量是標量，其正負號不僅與速度的方向有關(guān)，速度環(huán)量是標量，其正負號不僅與速度的方向有關(guān)，而且與線積分的繞行方向有關(guān)規(guī)定沿封閉周線繞行的而且與線積分的繞行方向有關(guān)規(guī)定沿封閉周線繞行的正方正方向為逆時針方向向為逆時針方向。 斯托克斯定理斯托克斯定理 二、斯托克斯定理二、斯托克斯定理 1. 1.微元封閉周線的斯托克斯定理微元封閉周線的斯托克斯定理沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍的面積的渦通量。沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍的面積的渦通量。證明證明: :dyyvdxxvvxxx2dxxvvxx2dyyvvxxxvyv

28、2dyyvvyydyyvdxxvvyyy2dxxvvyydydxdABCDdJdAdxdyyvxvdyvdyyvvdxdyyvvdyyvdxxvvdydyyvdxxvvdxxvvdxdxxvvvdzxyyyyxxxxxyyyyyxxx2)()(21)()(21)()(21)(21dJd 斯托克斯定理斯托克斯定理 二、斯托克斯定理二、斯托克斯定理( (續(xù)續(xù)) ) 2. 2.平面上有限單連通區(qū)的斯托克斯定理平面上有限單連通區(qū)的斯托克斯定理 沿包圍平面上有限單連通區(qū)域的封閉周線的速度環(huán)量等于通沿包圍平面上有限單連通區(qū)域的封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍的面積的渦通量。過該周線所包圍的面積的渦通

29、量。證明證明: :AnKKdAsdv2 斯托克斯定理斯托克斯定理 二、斯托克斯定理二、斯托克斯定理( (續(xù)續(xù)) ) 3. 3.空間表面上的斯托克斯定理空間表面上的斯托克斯定理 沿空間任一封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線上的空間表沿空間任一封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線上的空間表面的渦通量。面的渦通量。AnKKdAsdv2湯姆孫定理湯姆孫定理 亥姆霍茲旋渦定理亥姆霍茲旋渦定理一、湯姆孫定理一、湯姆孫定理 正壓性的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下沿任何由流體質(zhì)正壓性的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下沿任何由流體質(zhì)點組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時間而變化。點組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時間而變化。)()2

30、()1()1()1()()()()()(2Fzyxzzyyxxzyxzyxzyxdpdvddzzpfdyypfdxxpfdvvdvvdvvdzdtdvdydtdvdxdtdvdzdtdvdydtdvdxdtdvdzvdyvdxvdtddtd0)2()2(22FFpvddpdvddtd湯姆孫定理湯姆孫定理 亥姆霍茲旋渦定理亥姆霍茲旋渦定理二、亥姆霍茲旋渦定理二、亥姆霍茲旋渦定理 1. 1.亥姆霍茲第一定理亥姆霍茲第一定理 在同一瞬間渦管各截面上的渦通量都相同在同一瞬間渦管各截面上的渦通量都相同2.2.亥姆霍茲第二定理亥姆霍茲第二定理 正壓性的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下，渦管永遠保持正壓性的理想

31、流體在有勢的質(zhì)量力作用下，渦管永遠保持為由相同流體質(zhì)點組成的渦管。為由相同流體質(zhì)點組成的渦管。3.3.亥姆霍茲第三定理亥姆霍茲第三定理 在有勢的質(zhì)量力作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的在有勢的質(zhì)量力作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的強度不隨時間而變化，永遠保持定值。強度不隨時間而變化，永遠保持定值。有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)一、有勢流動一、有勢流動 速度勢速度勢 不可壓縮流體或可壓縮流體作無旋流動時，總有速度勢存在，不可壓縮流體或可壓縮流體作無旋流動時，總有速度勢存在，故無旋流動也稱有勢流動。故無旋流動也稱有勢流動。yvxvxvzvzvyvxyzxyz0上式是

32、上式是 成為某一函數(shù)成為某一函數(shù) 的全微分的全微分的必要且充分的條件，函數(shù)的必要且充分的條件，函數(shù) 稱為速度勢函數(shù)。稱為速度勢函數(shù)。 dzvdyvdxvzyx),(tzyx),(tzyx1.1.有勢流動有勢流動有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)一、有勢流動一、有勢流動 速度勢速度勢( (續(xù)續(xù)) )2.2.速度勢速度勢dzvdyvdxvdzzdyydxxdzyxzvyvxvzyx勢函數(shù)勢函數(shù) 的微分方程的微分方程),(tzyx有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)一、有勢流動一、有勢流動 速度勢速度勢( (續(xù)續(xù)) )3.3.速度勢的性質(zhì)速度勢的性質(zhì)（1 1

33、）速度沿三個坐標軸的分量等于速度勢對于相應坐標的偏導數(shù)）速度沿三個坐標軸的分量等于速度勢對于相應坐標的偏導數(shù)（2 2）在有勢流動中，沿一曲線的速度環(huán)量等于曲線終點與起點）在有勢流動中，沿一曲線的速度環(huán)量等于曲線終點與起點的速度勢之差。的速度勢之差。（3 3）在有勢流動中，速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程。）在有勢流動中，速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程。zvyvxvzyxzvrvrvzr1ABBABABAzyxABddzzdyydxxdzvdyvdxv02222222zyx有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)二、流函數(shù)二、流函數(shù)1.1.流函數(shù)存在的條件流函數(shù)存在的條件不可壓縮流體的平面

34、流動不可壓縮流體的平面流動yvxvyx上式是上式是 成為某一函數(shù)成為某一函數(shù) 的全微分的必要的全微分的必要且充分的條件，函數(shù)且充分的條件，函數(shù) 稱為流函數(shù)。稱為流函數(shù)。 0yvxvyxdxvdyvyx),(yx),(yx有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)二、流函數(shù)二、流函數(shù)( (續(xù)續(xù)) )2.2.流函數(shù)流函數(shù)dyvdxvdyydxxdxyxvyvyx流函數(shù)流函數(shù) 的微分方程的微分方程),(tzyx有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)3.3.流函數(shù)的性質(zhì)流函數(shù)的性質(zhì)（1 1）速度與流函數(shù)的關(guān)系）速度與流函數(shù)的關(guān)系（2 2）在平面流動中，兩條流線間單位厚度

35、通過的體積流量等于）在平面流動中，兩條流線間單位厚度通過的體積流量等于兩兩 條流線上的流函數(shù)之差。條流線上的流函數(shù)之差。（3 3）在平面流動中，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程。）在平面流動中，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程。二、流函數(shù)二、流函數(shù)( (續(xù)續(xù)) )ABBABABAyxyxyxBAnVdxvdyvdldldxvdldyvdlynvxnvdlvq)()(),cos(),cos(02222222zyxxvyvyxrvrvr1有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)三、流網(wǎng)三、流網(wǎng)1.1.速度勢速度勢 和流函數(shù)和流函數(shù) 的關(guān)系的關(guān)系xyvyxvyx0)(yyxx等勢線簇等勢線簇 和流線簇和

36、流線簇 相互垂直。相互垂直。常數(shù)),(yx常數(shù)),(yx有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)三、流網(wǎng)三、流網(wǎng)( (續(xù)續(xù)) )2.2.流網(wǎng)流網(wǎng)在平面上，等勢線簇和流線簇構(gòu)成的正交網(wǎng)絡(luò)，稱為流網(wǎng)。在平面上，等勢線簇和流線簇構(gòu)成的正交網(wǎng)絡(luò)，稱為流網(wǎng)。幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動一、平行流一、平行流1.1.流動描述流動描述流體作等速直線流動，流場中各點速的大小和方向都相同。流體作等速直線流動，流場中各點速的大小和方向都相同。0 xxvv 0yyvv 2.2.勢函數(shù)的確定勢函數(shù)的確定dyvdxvdyydxxdyx000 xxvvx0yyvvyyvx

37、vyx003.3.流函數(shù)的確定流函數(shù)的確定dyvdxvdyydxxdxy000 xxvvy0yyvvxyvxvxy00幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動一、平行流一、平行流( (續(xù)續(xù)) )4.4.等勢線和流線方程等勢線和流線方程等勢線等勢線流線流線xvvyyx00 xvvyxy005.5.流網(wǎng)流網(wǎng)xyo幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動二、點源和點匯二、點源和點匯1.1.流動描述流動描述點源點源在無限平面上流體從一點沿徑向直線均勻地向各方流出。在無限平面上流體從一點沿徑向直線均勻地向各方流出。點匯點匯在無限平面上流體沿徑向直線均勻地從

38、各方流入一點。在無限平面上流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點。rqvvr20v幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動二、點源和點匯二、點源和點匯( (續(xù)）續(xù)）2.2.勢函數(shù)的確定勢函數(shù)的確定3.3.流函數(shù)的確定流函數(shù)的確定rvrrv1rdrqdrvdrvddrrdvr2rqvln2rvr1rvdqrdvdrvrdrdrdvr22vq幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動4.4.等勢線和流線方程等勢線和流線方程等勢線等勢線流線流線5.5.流網(wǎng)流網(wǎng)二、點源和點匯二、點源和點匯( (續(xù)）續(xù)）1Cr 2Cxyoyoxxyoyox幾種簡單的不可壓縮流體

39、的平面流動幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動三、渦流和點渦三、渦流和點渦1.1.流動描述流動描述渦流渦流有一直線渦束，該渦束好象剛體一樣地以等角速度繞有一直線渦束，該渦束好象剛體一樣地以等角速度繞自身軸旋轉(zhuǎn)，渦束周圍的流體也將自身軸旋轉(zhuǎn)，渦束周圍的流體也將 繞渦束軸產(chǎn)生環(huán)流，這種以繞渦束軸產(chǎn)生環(huán)流，這種以渦束所誘導出的平面流動，稱為渦流。渦束所誘導出的平面流動，稱為渦流。點渦點渦渦束半徑渦束半徑rb趨于趨于0 0，則成為一條渦線，這樣的渦流稱為點渦，則成為一條渦線，這樣的渦流稱為點渦0rvrv2幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動2.2.勢函數(shù)的確定勢函數(shù)的確定3.3

40、.流函數(shù)的確定流函數(shù)的確定三、渦流和點渦（續(xù)）三、渦流和點渦（續(xù)）0rvrrrv21ddrvdrvddrrdr22rvr1rvdrrrdvdrvrdrdrdr2rln2幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動幾種簡單的不可壓縮流體的平面流動4.4.等勢線和流線方程等勢線和流線方程等勢線等勢線流線流線5.5.流網(wǎng)流網(wǎng)三、渦流和點渦（續(xù)）三、渦流和點渦（續(xù)）1C2Cr xyo幾種簡單的平面無旋流動的疊加幾種簡單的平面無旋流動的疊加一、疊加原理一、疊加原理 疊加公式疊加公式1.1.疊加原理疊加原理(1)(1)幾個無旋流動疊加后仍然是無旋流動。幾個無旋流動疊加后仍然是無旋流動。(2)(2)幾個無旋流動的速度勢

41、函數(shù)及流函數(shù)的代數(shù)和等于新無旋幾個無旋流動的速度勢函數(shù)及流函數(shù)的代數(shù)和等于新無旋流動的速度勢函數(shù)和流函數(shù)。流動的速度勢函數(shù)和流函數(shù)。(3)(3)新無旋流動的速度是無旋流動速度的矢量和。新無旋流動的速度是無旋流動速度的矢量和。2.2.疊加公式疊加公式.321.321幾種簡單的平面無旋流動的疊加幾種簡單的平面無旋流動的疊加二、螺旋流二、螺旋流1.1.流動描述流動描述同一點上點匯和點渦的疊加同一點上點匯和點渦的疊加2.2.勢函數(shù)和流函數(shù)的確定勢函數(shù)和流函數(shù)的確定點匯的勢函數(shù)和流函數(shù)點匯的勢函數(shù)和流函數(shù)點渦的勢函數(shù)和流函數(shù)點渦的勢函數(shù)和流函數(shù)螺旋流的勢函數(shù)和流函數(shù)螺旋流的勢函數(shù)和流函數(shù)rqvln22v

42、qrln22)ln(21rqv)ln(21rqv幾種簡單的平面無旋流動的疊加幾種簡單的平面無旋流動的疊加二、螺旋流二、螺旋流( (續(xù)續(xù)) )3.3.等勢線和流線方程等勢線和流線方程4.4.流網(wǎng)流網(wǎng)等勢線等勢線流線流線vqeCr1vqeCr25.5.速度的確定速度的確定rrv21rqrvvr2幾種簡單的平面無旋流動的疊加幾種簡單的平面無旋流動的疊加三、偶極流三、偶極流1.1.流動描述流動描述同一點上同一點上A(-a , 0)的點源和位于點的點源和位于點B(a , 0)的的點匯的疊加點匯的疊加2.2.點源和點匯的疊加點源和點匯的疊加位于點位于點A(-a , 0)的點源和位于點的點源和位于點B(a

43、, 0)的的點匯的疊加點匯的疊加BAvrrqln2)(2BAvq幾種簡單的平面無旋流動的疊加幾種簡單的平面無旋流動的疊加三、偶極流三、偶極流( (續(xù)續(xù)) )3.3.偶極流的勢函數(shù)和流函數(shù)偶極流的勢函數(shù)和流函數(shù)點源和點匯無限接近，即點源和點匯無限接近，即a0 0，便得到一個無旋的偶極流。，便得到一個無旋的偶極流。2aqv M 保持一個有限常數(shù)，保持一個有限常數(shù)，M稱為稱為偶極矩。偶極矩。22222yxxMrxM22222yxyMryM幾種簡單的平面無旋流動的疊加幾種簡單的平面無旋流動的疊加3.3.等勢線和流線方程等勢線和流線方程4.4.流網(wǎng)流網(wǎng)等勢線等勢線流線流線三、偶極流三、偶極流( (續(xù)續(xù)) )21221)4()4(CMyCMx22222)4()4(CMCMyx平行流繞過圓柱體無環(huán)流的平面流動平行流繞過圓柱體無環(huán)流的平面流動1.1.流動描述流動描述 一個速度為一個速度為V的均勻平行來流，對半徑的均勻平行來流，對半徑r0的無限長圓柱體的無限長圓柱體作橫向繞流，該流動可認為是由平行流和偶極流疊加而成。作橫向繞流，該流動可認為是由平行流和偶極流疊加而成。2.2.勢函數(shù)和流函數(shù)的確定勢函數(shù)和流函數(shù)的確定平行流的勢函數(shù)和流函數(shù)平行流的勢