圓錐曲線綜合問題

1、圓錐曲線的綜合問題1、已知中心在原點，焦點在x 軸上的橢圓與直線xy10 交于 A 、 B 兩點， M 為 AB中點， OM 的斜率為 0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程解： 由題意，設(shè)橢圓方程為x2y21 ，a2xy10120由2，得a2x22x，xy21aa2 xMx1x21 a 21 xM12 ， kOMyM1124 ，2a2， yM1 axMa2， a4 x2y21為所求4說明：（ 1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法； （ 2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題2、已知橢圓 x22y1 ， F1 、 F2 為兩焦點，問能否在橢圓43上

2、找一點 M ，使 M 到左準(zhǔn)線 l 的距離 MN 是 MF1與 MF2 的等比中項？若存在，則求出點M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解： 假設(shè) M 存在，設(shè) M x1，y1，由已知條件得 a2， b3， c1， e1 2左準(zhǔn)線 l 的方程是 x4 ，MN 4 x1又由焦半徑公式知：MF1aex121x1 ，2MF2 a ex1124211x1 2x1 MNMF1 MF2 ， x12x12222整理得 5x1232x1480 解之得 x1124 或 x15另一方面 2 x1 2 則與矛盾，所以滿足條件的點M 不存在說明：（ 1）利用焦半徑公式解?？珊喕忸}過程（ 2）本例是存在性問題，解決存在性

3、問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條件進行推理和運算進而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷（ 3）本例也可設(shè)M 2 cos ， 3 sin存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完成）3、已知雙曲線x 2y21 的離心率 e12 ，左、右焦點分別為F1 、 F2 ，左準(zhǔn)線為 l，能否在a2b2雙曲線的左支上找到一點P ，使得 PF1是 P 到 l 的距離 d 與 PF2的等比中項？解： 設(shè)在左半支上存在P 點，使 PF12PF2d ，由雙曲線的第二定義，知PF1PF2e ，即dPF1PF2e PF1 再由雙曲線的第一定義， 得 PF2PF12a， 由、，解得 PF12a，PF22aee 1e2a2aec1

4、PF1F2PF1PF22c ，利用 e在中，有e1e2c ，從式得1ae22e10 解得 12e12 由 e1，得 1e12 ，與已知 e12 矛盾符合條件的點P不存在2 是雙曲線 x2y22說明： 1e11左支上存在 P 點，使 PF1PF2d 成立的充要條件a2b24、如圖所示，已知梯形ABCD 中， AB2CD ，點 E 滿足 AEEC，雙曲線過 C、D、E三點，且以A、 B 為焦點，當(dāng) 23時，求雙曲線離心率的取值范圍34A 、 B 、 E 的坐標(biāo)及雙曲線的方程求解分析一： 依題意，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并通過解法一： 以直線 AB 為 x 軸，以 AB 的垂直平分線為y 軸，建立直角坐標(biāo)

5、系xOy ，則 CDy 軸，因雙曲線過點 C 、 D ，且以 A 、 B 為焦點，由雙曲線的對稱性可知C 、 D 關(guān)于 y 軸對稱設(shè) Ac，0、 Cc ， h 、 E x0， y0，其中 c1 AB 為雙曲線的半焦距，h 是梯形的高22由 AEEC ，即 x0c， y0cy0 ，得 x02 chx0， h2 1， y021設(shè)雙曲線方程為x2y21，則離心率為ca2b2ea由 點 C 、 E 在 雙 曲 線 上 ， 將 C 、 E 的 坐 標(biāo) 和 ec ， 代 入 雙 曲 線 方 程 得ae 2h 214b 222e 22h21411b 2由得 h2e21，將代入式中，整理得：e24412b24

6、4132，又23，21323 ，7e10e2343e24分析二： 建立直線 AC 方程，再與雙曲線方程聯(lián)立，借助一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系解題解法二：前面部分同解法一可求得直線AC 方程為y2hxc，將其代入雙曲線方程3c0 ，又 x0 、 c 為b2 x2a2 y2a2b2 中，得 9b2c24a2h2x28a2h2cx4a2 h29a 2b2 c22上述二次方程的兩根， cx04a2 h29a 2b2c2又 Cc ， h在雙曲線上， 4h2b2e2424a2h29b2 c22 x02 c，將代入中，得：2 c c a2 e24 b29a 2b22，2121 2 a22222ce 4 b9a

7、c ec13，以下同解法一，e22a分析三： 借助焦半徑公式AEEC ， x02 c， EA，由焦半徑公式，1CA12aex0ae2cc得 ：，將代入，得：1， e， e c12aaae c12213e225Py2x上的一點， F 為拋物線的焦點，定點31，則當(dāng) |PA|+|PF| 取最是拋物線A，、 已知點42小值時，點分析P 的坐標(biāo)是 _。本題主要考查拋物線的定義及其性質(zhì)，可將|PF|轉(zhuǎn)化為用幾何知識解。P 點到其準(zhǔn)線的距離|PH|，然后利解設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為1 作PH1 于H，則 |PA|+|PF|=|PA|+|PH|，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、H三點共線且 PH 1 時取最小值，點 P 是過點 A

8、 向準(zhǔn)線 1 所作垂線與拋物線的交點，令y1x1得，點 P 的坐標(biāo)是24114， 。2點評（ 1）拋物線的定義同時也給出了拋物線的一個重要性質(zhì)，即其上任一點的焦半徑等于它到準(zhǔn)線的距離；（2）本題采用了數(shù)形結(jié)合的思想方法來處理的，在橢圓與雙曲線中也有類似的問題；3, 1，結(jié)果又會怎樣呢？不難發(fā)現(xiàn)，這時點B 在拋物線的外部，所以，（3）若將題中點 A 改為 B4使|PB|+|PF|最小的點就是直線段BF 與拋物線的交點，易求 F1 ， 。40 kBF2 ， BF : y 2x12x，聯(lián)立可解得P3515，與 y8，44由此處可見，解這類題時首先應(yīng)判明定點A 與拋物線的相對位置。6、 拋物線 y 2

9、8x 上有一內(nèi)接 AOB （ O 為坐標(biāo)原點），其垂心恰為拋物線的焦點，求AOB外接圓的方程。分析本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)，圓的方程等，先根據(jù)條件求出頂點A 、B ，再求其外接圓的方程。解如圖，由 OF AB 知，AB x 軸，設(shè)y1) ，則由拋物線的對稱性可知，B( x1y1 )A x1，( ，而 F（2，0），由 AFBO，得y1y11，px1x12即 y12x1 ( x12) ，又 y128x1 ，解得x110,y14 5,即 A(10，45) ，由對稱性可知，所求圓的圓心必在x 軸上且過原點，可設(shè)其方程為( xa) 2y 2a 2 ，將點 A代入得 a=9， AOB 的外接圓方程

10、是( x9) 2y281 。點評此題充分運用了拋物線的對稱性，由對稱性設(shè)A 、B 的坐標(biāo)， 仍由對稱性來設(shè)圓的方程。7、 已知一條圓錐曲線的一個焦點是F（ 1， 0），對應(yīng)準(zhǔn)線是1： x= 1，且曲線過點M (3，2 3) ，求圓錐曲線的方程。分析本題主要考查圓錐曲線的統(tǒng)一定義，必須先由點M 到 F 和到 1 的距離的比 （即圓錐曲線的離心率）來確定曲線類型。解 | MF |(31) 2(2 30)24 ， M 到 1 的距離 d=|3（） |=4， |MF|=4 即圓錐曲線是拋物線，其頂點在原點，焦點F（1， 0），由 P4 得 p=2，即其方程是y24x 。2點評理解圓錐曲線的統(tǒng)一定義是解

11、本題的關(guān)鍵。8、 正方形 ABCD 的兩個頂點 A 、 B 在拋物線 y x 2 上，另兩個頂點 C、 D 在直線 y=x 4 上，求正方形的邊長。分析本題主要考查直線與直線，直線與拋物線的位置關(guān)系，由正方形的性質(zhì)，設(shè)出直線 AB 的方程，求出弦長 |AB| ，再根據(jù) |AB|等于兩平行直線間的距離確定出待定量。解 AB/CD ，可設(shè)直線AB ： y=x+b ，代入 yx 2 得 x2xb0 ，1，設(shè) A( x1，y1 )， B( x2，y2 ) ，則由 x1x21，由 =1+4b>0 得 b4x xb 得 | xx2|( xx)24x x21 4b，121121|AB|2 14b ，又 AB 、 CD 間的距離 d| b 4 |2，由 | AB | d2