近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以說是變量數(shù)學(xué).文藝復(fù)興以來資本主義生產(chǎn)力

1、 近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以說是變量數(shù)學(xué)。文藝復(fù)興以來資本主義生產(chǎn)力的發(fā)展，對(duì)科學(xué)技術(shù)提出了全新的要求：機(jī)械的普遍使用引起了對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究；世界貿(mào)易的高漲促使航海事業(yè)的空前發(fā)達(dá)，而測(cè)定船舶位置問題要求準(zhǔn)確地研究天體運(yùn)行的規(guī)律；武器的改進(jìn)刺激了彈道問題的探討，等等，總之，到了16世紀(jì)，對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問題。這就迫切地需要一種新的數(shù)學(xué)工具，從而導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)亦即近代數(shù)學(xué)的誕生。 變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑是解析幾何的發(fā)明。解析幾何的基本思想是在平面上引進(jìn)所謂“坐標(biāo)”的概念，并借助這種坐標(biāo)在平面上的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。每一對(duì)實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)于平面上的一個(gè)點(diǎn)；反之，每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)

2、應(yīng)于它的坐標(biāo)。以這種方式可以將一個(gè)代數(shù)方程與平面上一條曲線對(duì)應(yīng)起來，于是幾何問題便可歸結(jié)為代數(shù)問題，并反過來通過代數(shù)問題的研究發(fā)現(xiàn)新的幾何結(jié)果。 借助坐標(biāo)來確定點(diǎn)的位置的思想古代曾經(jīng)出現(xiàn)過，古希臘的阿波羅尼奧斯關(guān)于圓錐曲線性質(zhì)的推導(dǎo)，阿拉伯人通過圓錐曲線交點(diǎn)求解三次方程的研究，都蘊(yùn)涵著這種思想。解析幾何最重要的前驅(qū)是法國(guó)數(shù)學(xué)家奧雷斯姆（N。Oresme，13231382），他在論形態(tài)幅度這部著作中提出的形態(tài)幅度原理（或稱圖線原理），甚至已接觸到函數(shù)的圖象表示，在這里，奧雷斯姆借用了“經(jīng)度”、“緯度”這兩個(gè)地理學(xué)術(shù)語來描述他的圖線，相當(dāng)于橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)。不過他的圖線概念是模糊的，至多是一種圖表，

3、還未形成清晰的坐標(biāo)與函數(shù)圖象的概念。 解析幾何的真正發(fā)明還要?dú)w功于法國(guó)另外兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒（R。Descartes，15961650）與費(fèi)馬（P。de Fermat，16011665）。他們工作的出發(fā)點(diǎn)不同，但卻殊途同歸。 笛卡兒1637年發(fā)表了著名的哲學(xué)著作更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論，該書有三個(gè)附錄：幾何學(xué)、屈光學(xué)和氣象學(xué)，解析幾何的發(fā)明包含在幾何學(xué)這篇附錄中。笛卡兒的出發(fā)點(diǎn)是一個(gè)著名的希臘數(shù)學(xué)問題帕波斯問題。笛卡兒在幾何學(xué)第二卷中，證明了四線問題的帕波斯結(jié)論。在這個(gè)具體問題中，笛卡兒建立了歷史上第一個(gè)傾斜坐標(biāo)系。在幾何學(xué)第三卷中，我們還可以看到笛卡兒也給出了直角坐標(biāo)系的例子。 有

4、了坐標(biāo)系和曲線方程的思想，笛卡兒又提出了一系列新穎的想法，如：曲線的次數(shù)與坐標(biāo)軸選擇無關(guān)；坐標(biāo)軸選取應(yīng)使曲線方程盡量簡(jiǎn)單；利用曲線的方程表示來求兩條不同曲線的交點(diǎn)；曲線的分類等等。 幾何學(xué)作為笛卡兒哲學(xué)著作方法論的附錄，意味著他的幾何學(xué)發(fā)現(xiàn)乃至其他方面的發(fā)現(xiàn)都是在其方法論原理指導(dǎo)下獲得的。笛卡兒方法論原理的本旨是尋求發(fā)現(xiàn)真理的一般方法，他在另一部較早的哲學(xué)著作指導(dǎo)思維的法則中稱自己設(shè)想的一般方法為“通用數(shù)學(xué)”（mathesis universalis），并概述了這種通用數(shù)學(xué)的思路。在這里，笛卡兒提出了一種大膽的計(jì)劃，即：任何問題數(shù)學(xué)問題代數(shù)問題方程求解。為了實(shí)施這一計(jì)劃，笛卡兒首先通過“廣延”

5、（extension）（他對(duì)有形物廣延的一種推廣）的比較，將一切度量問題化為代數(shù)方程問題，為此需要確定比較的基礎(chǔ)，即定義“廣延”單位，以及建立“廣延”符號(hào)系統(tǒng)及其算術(shù)運(yùn)算，特別是要給出算術(shù)運(yùn)算與幾何圖形之間的對(duì)應(yīng)。這就是笛卡兒幾何學(xué)的方法論背景。 當(dāng)然，笛卡兒的方法論著作并沒有告訴人們，在將一切問題化歸為代數(shù)方程問題后將如何繼續(xù)，這正是幾何學(xué)需要完成的任務(wù)。幾何學(xué)開宗明義，在任意選取單位線段（廣延單位）的基礎(chǔ)上定義了線段的加、減、乘、除、乘方、開方等運(yùn)算。他以特殊的字母符號(hào)（廣延符號(hào)系統(tǒng)）來表示線段，由于他可用線段表示積、冪，這樣就突破了“齊次性”的束縛，而在幾何中自由運(yùn)用算術(shù)或代數(shù)術(shù)語。運(yùn)用

6、這些算術(shù)術(shù)語又可以將一切幾何問題化為關(guān)于一個(gè)未知線段的單個(gè)代數(shù)方程：幾何學(xué)的主要篇幅或者說主要目標(biāo)就是討論如何給出這些方程的標(biāo)準(zhǔn)解法（由線段作圖畫出）。笛卡兒依下列次序?qū)@一問題進(jìn)行分類解答：（1）一、二次方程；（2）三、四次方程；（3）五、六次方程；他在幾何學(xué)第一卷中從最簡(jiǎn)單的第（1）類方程出發(fā)，這相當(dāng)于只用尺規(guī)作圖的所謂“普通幾何”問題。討論了三種形式的二次方程：并分別給出作圖（解），本質(zhì)上它是利用了圓與直線的交點(diǎn)。 為了接著討論三次及三次以上方程的作圖，就需要研究曲線的性質(zhì)與分類，這就引出了作為幾何學(xué)第二卷與第三卷前半部分的一個(gè)很長(zhǎng)的過渡，其中包括了使他成為近代數(shù)學(xué)先驅(qū)的坐標(biāo)幾何。然而對(duì)

7、笛卡兒本人來說，所有這些都不過是為了達(dá)到他的最終目標(biāo)高次方程作圖所做的準(zhǔn)備。在這個(gè)很長(zhǎng)的過度之后，笛卡兒在幾何學(xué)第三卷的后半部分，又回到他的主題-高次方程的標(biāo)準(zhǔn)作圖，利用剛得到的坐標(biāo)幾何工具，解決了三、四次方程的作圖（利用圓與拋物線的交點(diǎn)）和五、六次方程的作圖（利用圓與比拋物線更高一次的所謂“笛卡兒拋物線”的交點(diǎn)），并指出，可以依此類推地解決更高次方程的作圖問題。 我們看到，笛卡兒幾何學(xué)的整個(gè)思路與傳統(tǒng)的方法大相徑庭，在這里表現(xiàn)出笛卡兒向傳統(tǒng)和權(quán)威挑戰(zhàn)的巨大勇氣。笛卡兒在方法論中尖銳地批判了經(jīng)院哲學(xué)特別是被奉為教條的亞里士多德“三段論”法則，認(rèn)為三段論法則“只是在交流已經(jīng)知道的事情時(shí)才有用，卻

8、不能幫助我們發(fā)現(xiàn)未知的事情”。他認(rèn)為“古人的幾何學(xué)”所思考的只限于形相，而近代的代數(shù)學(xué)則“太受法則和公式的束縛”，因此他主張“采取幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)中一切最好的東西，互相取長(zhǎng)補(bǔ)短?！边@種懷疑傳統(tǒng)與權(quán)威、大膽思索創(chuàng)新的精神，反映了文藝復(fù)興時(shí)期的時(shí)代特征。笛卡兒的哲學(xué)名言是：“我思故我在”。他解釋說：“要想追求真理，我們必須在一生中盡可能地把所有的事物都來懷疑一次”，而世界上唯一先需懷疑的是“我在懷疑”，因?yàn)椤拔以趹岩伞弊C明“我在思想”，說明我確實(shí)存在，這就是“我思故我在”，成為笛卡兒唯理主義的一面旗幟。它雖然在物質(zhì)與精神的關(guān)系上有所顛倒，但主張用懷疑的態(tài)度代替盲從和迷信，認(rèn)為只有依靠理性才能獲得真理

9、。在當(dāng)時(shí)不僅打擊了經(jīng)院哲學(xué)的教會(huì)權(quán)威，而且也為笛卡兒自己的科學(xué)發(fā)現(xiàn)開辟了一條嶄新的道路。 笛卡兒出生于法國(guó)都倫的拉哈耶，貴族家庭的后裔，父親是一個(gè)律師。他早年受教于拉福累歇的耶酥會(huì)學(xué)校。1612年赴巴黎從事研究，曾于1617年和1619年兩次從軍，離開軍營(yíng)后，旅行于歐洲，他的學(xué)術(shù)研究是在軍旅和旅行中作出的。 關(guān)于笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有幾個(gè)傳說。一個(gè)傳說講，笛卡兒終身保持著在耶酥會(huì)學(xué)校讀書期間養(yǎng)成的“晨思”習(xí)慣，他在一次“晨思”時(shí)，看見一只蒼蠅正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了蒼蠅與相鄰兩個(gè)墻壁的距離之間的關(guān)系，就能描述它的路線，這使他頭腦中產(chǎn)生了關(guān)于解析幾何的最初閃念。另一個(gè)傳說是，1

10、619年冬天，笛卡兒隨軍隊(duì)駐扎在多瑙河畔的一個(gè)村莊，在圣馬丁節(jié)的前夕（11月10日），他做了三個(gè)連貫的夢(mèng)。笛卡兒后來說正是這三個(gè)夢(mèng)向他揭示了“一門奇特的科學(xué)”和“一項(xiàng)驚人的發(fā)現(xiàn)”，雖然他從未明說過這門奇特的科學(xué)和這項(xiàng)驚人的發(fā)現(xiàn)是什么，但這三個(gè)夢(mèng)從此成為后來每本介紹解析幾何的誕生的著作必提的佳話，它給解析幾何的誕生蒙尚了一層神秘色彩。人們?cè)诳嘈乃妓髦蟮乃瘔?mèng)中獲得靈感與啟示不是不可能的。但事實(shí)上笛卡兒之所以能創(chuàng)立解析幾何，主要是他艱苦探索、潛心思考，運(yùn)用科學(xué)的方法，同時(shí)批判地繼承前人的成就的結(jié)果。解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，它將變量引進(jìn)了數(shù)學(xué)，使運(yùn)動(dòng)與變化的定量表述成為可能，從而為微積分的

11、創(chuàng)立搭起了舞臺(tái)。微積分的思想萌芽，特別是積分學(xué)，部分可以追溯到古代。我們已經(jīng)知道，面積和體積的計(jì)算自古以來一直是數(shù)學(xué)家們感興趣的課題，在古代希臘、中國(guó)和印度數(shù)學(xué)家們的著述中，不乏用無窮小過程計(jì)算特殊形狀的面積、體積和曲線長(zhǎng)的例子。如阿基米德、劉徽和祖沖之父子等人的方法，他們的工作，確實(shí)是人們建立一般積分學(xué)的漫長(zhǎng)努力的先驅(qū)。與積分學(xué)相比而言，微分學(xué)的起源則要晚得多。刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問題是求曲線的切線、求瞬時(shí)變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問題。古希臘學(xué)者曾進(jìn)行過作曲線切線的嘗試，如阿基米德論螺線中給出過確定螺線在給定點(diǎn)處的切線的方法；阿波羅尼奧斯圓錐曲線論中討論過圓錐曲線的切線，等等。但所

12、有這些都是基于靜態(tài)的觀點(diǎn)，把切線看作是與曲線只在一點(diǎn)接觸且不穿過曲線的“切觸線”而與動(dòng)態(tài)變化無干。古代與中世紀(jì)中國(guó)學(xué)者在天文歷法研究中曾涉及到天體運(yùn)動(dòng)的不均勻性及有關(guān)的極大、極小值問題，如郭守敬授時(shí)歷中求“月離遲疾”（月亮運(yùn)行的最快點(diǎn)和最慢點(diǎn)）、求月亮白赤道交點(diǎn)與黃赤道交點(diǎn)距離的極值（郭守敬甚至稱之為“極數(shù)”）等問題，但東方學(xué)者以慣用的數(shù)值手段（“招差術(shù)”，即有限差分計(jì)算）來處理，從而回避了連續(xù)變化率?？傊?，在17世紀(jì)以前，真正意義上的微分學(xué)研究的例子可以說是很罕見的。近代微積分的醞釀，主要是在17世紀(jì)上半葉這半個(gè)世紀(jì)。為了理解這一醞釀的背景，我們首先來略微回顧一下這一時(shí)期自然科學(xué)的一般形勢(shì)和

13、天文、力學(xué)等領(lǐng)域發(fā)生的重大事件。首先是1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發(fā)明了望遠(yuǎn)鏡，不久伽利略將他制成的第一架天文望遠(yuǎn)鏡對(duì)準(zhǔn)星空而作出了令世人目不暇接、驚奇不已的天文發(fā)現(xiàn)。望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明不僅引起了天文學(xué)的新高漲，而且推動(dòng)了光學(xué)的研究。1619年，開普勒公布了他的最后一條行星運(yùn)動(dòng)定律。開普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律要意是：（1）行星運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；（2）由太陽到行星的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等；（3）行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方，與其橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的立方成正比。開普勒主要是通過觀測(cè)歸納出這三條定律。從數(shù)學(xué)上推證開普勒的經(jīng)驗(yàn)定律，成為當(dāng)時(shí)自然科學(xué)的中心課題之一。1638年，伽

14、利略（GALILEO Galilei，15641642）關(guān)于兩門新科學(xué)的對(duì)話出版。伽利略建立了自由落體定律、動(dòng)量定律等，為動(dòng)力學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他認(rèn)識(shí)到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮彈的最大射程應(yīng)在發(fā)射角為時(shí)達(dá)到，等等。伽利略本人竭力倡導(dǎo)自然科學(xué)的數(shù)學(xué)化，他的著作激起了人們對(duì)他所確立的動(dòng)力學(xué)概念與定律作精確的數(shù)學(xué)表述的巨大熱情。凡此一切，標(biāo)志著自文藝復(fù)興以來在資本主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學(xué)開始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學(xué)困難，使微分學(xué)的基本問題空前地成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)：確定非均勻運(yùn)動(dòng)物體的速度與加速度使瞬時(shí)變化率問題的研究成為當(dāng)務(wù)之急；望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計(jì)需要確定透鏡曲面上任一點(diǎn)的法線，這又使求任意曲線的切線問題變得不可回避；確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題也亟待解決。與此同時(shí)，行星沿軌道運(yùn)動(dòng)的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力的計(jì)算等又使積分學(xué)的基本問題面積、體積、曲線長(zhǎng)、重心和引力計(jì)算的興趣被重新激發(fā)起來。在17世紀(jì)上半葉，幾乎所有的科學(xué)大師都致力于尋求解決這些難題的新的數(shù)學(xué)工具，特別是描述運(yùn)動(dòng)與變化的無限小算法，并且在相當(dāng)短的時(shí)期內(nèi)，取得了迅速的進(jìn)展。解析幾何的兩位創(chuàng)始人笛卡兒