近代數(shù)學本質(zhì)上可以說是變量數(shù)學.文藝復興以來資本主義生產(chǎn)力

1、 近代數(shù)學本質(zhì)上可以說是變量數(shù)學。文藝復興以來資本主義生產(chǎn)力的發(fā)展，對科學技術(shù)提出了全新的要求：機械的普遍使用引起了對機械運動的研究；世界貿(mào)易的高漲促使航海事業(yè)的空前發(fā)達，而測定船舶位置問題要求準確地研究天體運行的規(guī)律；武器的改進刺激了彈道問題的探討，等等，總之，到了16世紀，對運動與變化的研究已變成自然科學的中心問題。這就迫切地需要一種新的數(shù)學工具，從而導致了變量數(shù)學亦即近代數(shù)學的誕生。 變量數(shù)學的第一個里程碑是解析幾何的發(fā)明。解析幾何的基本思想是在平面上引進所謂“坐標”的概念，并借助這種坐標在平面上的點和有序?qū)崝?shù)對之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系。每一對實數(shù)都對應(yīng)于平面上的一個點；反之，每一個點都對

2、應(yīng)于它的坐標。以這種方式可以將一個代數(shù)方程與平面上一條曲線對應(yīng)起來，于是幾何問題便可歸結(jié)為代數(shù)問題，并反過來通過代數(shù)問題的研究發(fā)現(xiàn)新的幾何結(jié)果。 借助坐標來確定點的位置的思想古代曾經(jīng)出現(xiàn)過，古希臘的阿波羅尼奧斯關(guān)于圓錐曲線性質(zhì)的推導，阿拉伯人通過圓錐曲線交點求解三次方程的研究，都蘊涵著這種思想。解析幾何最重要的前驅(qū)是法國數(shù)學家奧雷斯姆（N。Oresme，13231382），他在論形態(tài)幅度這部著作中提出的形態(tài)幅度原理（或稱圖線原理），甚至已接觸到函數(shù)的圖象表示，在這里，奧雷斯姆借用了“經(jīng)度”、“緯度”這兩個地理學術(shù)語來描述他的圖線，相當于橫坐標與縱坐標。不過他的圖線概念是模糊的，至多是一種圖表，

3、還未形成清晰的坐標與函數(shù)圖象的概念。 解析幾何的真正發(fā)明還要歸功于法國另外兩位數(shù)學家笛卡兒（R。Descartes，15961650）與費馬（P。de Fermat，16011665）。他們工作的出發(fā)點不同，但卻殊途同歸。 笛卡兒1637年發(fā)表了著名的哲學著作更好地指導推理和尋求科學真理的方法論，該書有三個附錄：幾何學、屈光學和氣象學，解析幾何的發(fā)明包含在幾何學這篇附錄中。笛卡兒的出發(fā)點是一個著名的希臘數(shù)學問題帕波斯問題。笛卡兒在幾何學第二卷中，證明了四線問題的帕波斯結(jié)論。在這個具體問題中，笛卡兒建立了歷史上第一個傾斜坐標系。在幾何學第三卷中，我們還可以看到笛卡兒也給出了直角坐標系的例子。 有

4、了坐標系和曲線方程的思想，笛卡兒又提出了一系列新穎的想法，如：曲線的次數(shù)與坐標軸選擇無關(guān)；坐標軸選取應(yīng)使曲線方程盡量簡單；利用曲線的方程表示來求兩條不同曲線的交點；曲線的分類等等。 幾何學作為笛卡兒哲學著作方法論的附錄，意味著他的幾何學發(fā)現(xiàn)乃至其他方面的發(fā)現(xiàn)都是在其方法論原理指導下獲得的。笛卡兒方法論原理的本旨是尋求發(fā)現(xiàn)真理的一般方法，他在另一部較早的哲學著作指導思維的法則中稱自己設(shè)想的一般方法為“通用數(shù)學”（mathesis universalis），并概述了這種通用數(shù)學的思路。在這里，笛卡兒提出了一種大膽的計劃，即：任何問題數(shù)學問題代數(shù)問題方程求解。為了實施這一計劃，笛卡兒首先通過“廣延”

5、（extension）（他對有形物廣延的一種推廣）的比較，將一切度量問題化為代數(shù)方程問題，為此需要確定比較的基礎(chǔ)，即定義“廣延”單位，以及建立“廣延”符號系統(tǒng)及其算術(shù)運算，特別是要給出算術(shù)運算與幾何圖形之間的對應(yīng)。這就是笛卡兒幾何學的方法論背景。 當然，笛卡兒的方法論著作并沒有告訴人們，在將一切問題化歸為代數(shù)方程問題后將如何繼續(xù)，這正是幾何學需要完成的任務(wù)。幾何學開宗明義，在任意選取單位線段（廣延單位）的基礎(chǔ)上定義了線段的加、減、乘、除、乘方、開方等運算。他以特殊的字母符號（廣延符號系統(tǒng)）來表示線段，由于他可用線段表示積、冪，這樣就突破了“齊次性”的束縛，而在幾何中自由運用算術(shù)或代數(shù)術(shù)語。運用

6、這些算術(shù)術(shù)語又可以將一切幾何問題化為關(guān)于一個未知線段的單個代數(shù)方程：幾何學的主要篇幅或者說主要目標就是討論如何給出這些方程的標準解法（由線段作圖畫出）。笛卡兒依下列次序?qū)@一問題進行分類解答：（1）一、二次方程；（2）三、四次方程；（3）五、六次方程；他在幾何學第一卷中從最簡單的第（1）類方程出發(fā)，這相當于只用尺規(guī)作圖的所謂“普通幾何”問題。討論了三種形式的二次方程：并分別給出作圖（解），本質(zhì)上它是利用了圓與直線的交點。 為了接著討論三次及三次以上方程的作圖，就需要研究曲線的性質(zhì)與分類，這就引出了作為幾何學第二卷與第三卷前半部分的一個很長的過渡，其中包括了使他成為近代數(shù)學先驅(qū)的坐標幾何。然而對

7、笛卡兒本人來說，所有這些都不過是為了達到他的最終目標高次方程作圖所做的準備。在這個很長的過度之后，笛卡兒在幾何學第三卷的后半部分，又回到他的主題-高次方程的標準作圖，利用剛得到的坐標幾何工具，解決了三、四次方程的作圖（利用圓與拋物線的交點）和五、六次方程的作圖（利用圓與比拋物線更高一次的所謂“笛卡兒拋物線”的交點），并指出，可以依此類推地解決更高次方程的作圖問題。 我們看到，笛卡兒幾何學的整個思路與傳統(tǒng)的方法大相徑庭，在這里表現(xiàn)出笛卡兒向傳統(tǒng)和權(quán)威挑戰(zhàn)的巨大勇氣。笛卡兒在方法論中尖銳地批判了經(jīng)院哲學特別是被奉為教條的亞里士多德“三段論”法則，認為三段論法則“只是在交流已經(jīng)知道的事情時才有用，卻

8、不能幫助我們發(fā)現(xiàn)未知的事情”。他認為“古人的幾何學”所思考的只限于形相，而近代的代數(shù)學則“太受法則和公式的束縛”，因此他主張“采取幾何學和代數(shù)學中一切最好的東西，互相取長補短?！边@種懷疑傳統(tǒng)與權(quán)威、大膽思索創(chuàng)新的精神，反映了文藝復興時期的時代特征。笛卡兒的哲學名言是：“我思故我在”。他解釋說：“要想追求真理，我們必須在一生中盡可能地把所有的事物都來懷疑一次”，而世界上唯一先需懷疑的是“我在懷疑”，因為“我在懷疑”證明“我在思想”，說明我確實存在，這就是“我思故我在”，成為笛卡兒唯理主義的一面旗幟。它雖然在物質(zhì)與精神的關(guān)系上有所顛倒，但主張用懷疑的態(tài)度代替盲從和迷信，認為只有依靠理性才能獲得真理

9、。在當時不僅打擊了經(jīng)院哲學的教會權(quán)威，而且也為笛卡兒自己的科學發(fā)現(xiàn)開辟了一條嶄新的道路。 笛卡兒出生于法國都倫的拉哈耶，貴族家庭的后裔，父親是一個律師。他早年受教于拉福累歇的耶酥會學校。1612年赴巴黎從事研究，曾于1617年和1619年兩次從軍，離開軍營后，旅行于歐洲，他的學術(shù)研究是在軍旅和旅行中作出的。 關(guān)于笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有幾個傳說。一個傳說講，笛卡兒終身保持著在耶酥會學校讀書期間養(yǎng)成的“晨思”習慣，他在一次“晨思”時，看見一只蒼蠅正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了蒼蠅與相鄰兩個墻壁的距離之間的關(guān)系，就能描述它的路線，這使他頭腦中產(chǎn)生了關(guān)于解析幾何的最初閃念。另一個傳說是，1

10、619年冬天，笛卡兒隨軍隊駐扎在多瑙河畔的一個村莊，在圣馬丁節(jié)的前夕（11月10日），他做了三個連貫的夢。笛卡兒后來說正是這三個夢向他揭示了“一門奇特的科學”和“一項驚人的發(fā)現(xiàn)”，雖然他從未明說過這門奇特的科學和這項驚人的發(fā)現(xiàn)是什么，但這三個夢從此成為后來每本介紹解析幾何的誕生的著作必提的佳話，它給解析幾何的誕生蒙尚了一層神秘色彩。人們在苦心思索之后的睡夢中獲得靈感與啟示不是不可能的。但事實上笛卡兒之所以能創(chuàng)立解析幾何，主要是他艱苦探索、潛心思考，運用科學的方法，同時批判地繼承前人的成就的結(jié)果。解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，它將變量引進了數(shù)學，使運動與變化的定量表述成為可能，從而為微積分的

11、創(chuàng)立搭起了舞臺。微積分的思想萌芽，特別是積分學，部分可以追溯到古代。我們已經(jīng)知道，面積和體積的計算自古以來一直是數(shù)學家們感興趣的課題，在古代希臘、中國和印度數(shù)學家們的著述中，不乏用無窮小過程計算特殊形狀的面積、體積和曲線長的例子。如阿基米德、劉徽和祖沖之父子等人的方法，他們的工作，確實是人們建立一般積分學的漫長努力的先驅(qū)。與積分學相比而言，微分學的起源則要晚得多。刺激微分學發(fā)展的主要科學問題是求曲線的切線、求瞬時變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問題。古希臘學者曾進行過作曲線切線的嘗試，如阿基米德論螺線中給出過確定螺線在給定點處的切線的方法；阿波羅尼奧斯圓錐曲線論中討論過圓錐曲線的切線，等等。但所

12、有這些都是基于靜態(tài)的觀點，把切線看作是與曲線只在一點接觸且不穿過曲線的“切觸線”而與動態(tài)變化無干。古代與中世紀中國學者在天文歷法研究中曾涉及到天體運動的不均勻性及有關(guān)的極大、極小值問題，如郭守敬授時歷中求“月離遲疾”（月亮運行的最快點和最慢點）、求月亮白赤道交點與黃赤道交點距離的極值（郭守敬甚至稱之為“極數(shù)”）等問題，但東方學者以慣用的數(shù)值手段（“招差術(shù)”，即有限差分計算）來處理，從而回避了連續(xù)變化率。總之，在17世紀以前，真正意義上的微分學研究的例子可以說是很罕見的。近代微積分的醞釀，主要是在17世紀上半葉這半個世紀。為了理解這一醞釀的背景，我們首先來略微回顧一下這一時期自然科學的一般形勢和

13、天文、力學等領(lǐng)域發(fā)生的重大事件。首先是1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發(fā)明了望遠鏡，不久伽利略將他制成的第一架天文望遠鏡對準星空而作出了令世人目不暇接、驚奇不已的天文發(fā)現(xiàn)。望遠鏡的發(fā)明不僅引起了天文學的新高漲，而且推動了光學的研究。1619年，開普勒公布了他的最后一條行星運動定律。開普勒行星運動三大定律要意是：（1）行星運動的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點；（2）由太陽到行星的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等；（3）行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方，與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。開普勒主要是通過觀測歸納出這三條定律。從數(shù)學上推證開普勒的經(jīng)驗定律，成為當時自然科學的中心課題之一。1638年，伽

14、利略（GALILEO Galilei，15641642）關(guān)于兩門新科學的對話出版。伽利略建立了自由落體定律、動量定律等，為動力學奠定了基礎(chǔ)；他認識到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮彈的最大射程應(yīng)在發(fā)射角為時達到，等等。伽利略本人竭力倡導自然科學的數(shù)學化，他的著作激起了人們對他所確立的動力學概念與定律作精確的數(shù)學表述的巨大熱情。凡此一切，標志著自文藝復興以來在資本主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學開始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學困難，使微分學的基本問題空前地成為人們關(guān)注的焦點：確定非均勻運動物體的速度與加速度使瞬時變化率問題的研究成為當務(wù)之急；望遠鏡的光程設(shè)計需要確定透鏡曲面上任一點的法線，這又使求任意曲線的切線問題變得不可回避；確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點與遠日點等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題也亟待解決。與此同時，行星沿軌道運動的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力的計算等又使積分學的基本問題面積、體積、曲線長、重心和引力計算的興趣被重新激發(fā)起來。在17世紀上半葉，幾乎所有的科學大師都致力于尋求解決這些難題的新的數(shù)學工具，特別是描述運動與變化的無限小算法，并且在相當短的時期內(nèi)，取得了迅速的進展。解析幾何的兩位創(chuàng)始人笛卡兒