離散型隨機(jī)變量及其分布列(一)

1、離散型隨機(jī)變量及其分布列（一）聊城二中 魏清泉一教材內(nèi)容分析- 地位與作用概率是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律演繹的研究，而統(tǒng)計(jì)是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律歸納的研究，兩者雖有明顯的不同，但它們都是相互滲透、相互聯(lián)系的。“離散型隨機(jī)變量的分布列”作為概率與統(tǒng)計(jì)的橋梁與紐帶，它既是概率的延伸，也是學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論基礎(chǔ)，能起到承上啟下的作用，是本章的關(guān)鍵知識(shí)之一。隨機(jī)變量是將隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果數(shù)量化，把對(duì)隨機(jī)事件及概率的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量及概率的研究2  重點(diǎn)、難點(diǎn)根據(jù)以上分析，本節(jié)課的重點(diǎn)是理解離散型隨機(jī)變量二教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：理解隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量的概念；能力目標(biāo)：通過(guò)教學(xué)滲透由特殊到一般

2、的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的抽象、概括能力；情感目標(biāo)：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程的參與，使學(xué)生進(jìn)一步感受到生活與數(shù)學(xué)“零距離”，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，使學(xué)生獲得良好的價(jià)值觀和情感態(tài)度。三教學(xué)方法選擇采用發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法為主，講授式教學(xué)法為輔的教學(xué)方法，讓學(xué)生充分參與知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與問(wèn)題的解決過(guò)程，整個(gè)過(guò)程設(shè)置了四個(gè)問(wèn)題情境，要求學(xué)生思考、討論、表述，自始至終處于活躍的思維狀態(tài)中，充分發(fā)揮學(xué)生的形象思維、抽象思維、邏輯思維和創(chuàng)造思維。四教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1、新課引入（1）擲色子（2）投擲硬幣2、隨機(jī)變量的概念在課本上的射擊的隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果都可以用一個(gè)數(shù)即“環(huán)數(shù)”來(lái)表示，這個(gè)數(shù)在隨機(jī)試驗(yàn)前是無(wú)法預(yù)

3、先確定的在不同的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，結(jié)果可能有變化，就是說(shuō)，這種隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果都可以用一個(gè)變量來(lái)表示在產(chǎn)品檢驗(yàn)的隨機(jī)試驗(yàn)中，結(jié)果也可以用“次品數(shù)”這個(gè)變量表示如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母、等表示兩點(diǎn)說(shuō)明：（1）課本在介紹隨機(jī)變量的概念時(shí)，不加定義地引入了“隨機(jī)試驗(yàn)”的概念一般地，一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下列條件：試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不只一個(gè)；每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果這種試驗(yàn)就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，為了方便起見(jiàn)，也簡(jiǎn)稱試驗(yàn)（2）所謂隨機(jī)變量，即是

4、隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是人為建立起來(lái)的，但又是客觀存在的這與函數(shù)概念的本質(zhì)是一樣的，只不過(guò)在函數(shù)概念中，函數(shù)f(x)的自變量x是實(shí)數(shù)，而在隨機(jī)變量的概念中，隨機(jī)變量的自變量是試驗(yàn)結(jié)果例如，任意擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上這兩種結(jié)果，雖然這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)，但仍可以用數(shù)量來(lái)表示它通常我們用來(lái)表示這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：=0，表示正面向上；=1，表示反面向上例1 如果用表示拋擲一枚硬幣的結(jié)果，出現(xiàn)“正面”記為1，出現(xiàn)“反面”記為0，則是一個(gè)可以取0和1兩個(gè)可能值的隨機(jī)變量。例2 如果用表示拋擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則是一個(gè)可以取1，2，6六個(gè)可能

5、值的隨機(jī)變量。 例3如果用表示在件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)，或在次射擊時(shí)命中目標(biāo)的次數(shù)，則是一個(gè)可以取個(gè)可能值0，1，2，的隨機(jī)變量。3、隨機(jī)變量和函數(shù)的關(guān)系4、離散型隨機(jī)變量的概念如果隨機(jī)變量的所有可能值只有有限多個(gè)或可列多個(gè)（所有值可以一一列出）則稱之為離散型隨機(jī)變量。說(shuō)明：（1）離散型隨機(jī)變量可能取的值為有限個(gè)或至多可列個(gè)這里的“可列”不易理解，所以課本用比較淺顯的語(yǔ)言“按一定次序一一列出”來(lái)描述比如取1，2，n，（2）教材中為了控制難度，所涉及到的離散型隨機(jī)變量可能取的值的個(gè)數(shù)多數(shù)是有限的5、電燈泡例子的分析6、練習(xí)與鞏固（1）課本52頁(yè)（2）指導(dǎo)書(shū)3031頁(yè)7  課堂小結(jié)引導(dǎo)學(xué)

6、生總結(jié)，教師加以整理離散型隨機(jī)變量的概念的理解。五、作業(yè)布置預(yù)習(xí)第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列（二）聊城二中 魏清泉教材內(nèi)容分析1  地位與作用概率是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律演繹的研究，而統(tǒng)計(jì)是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律歸納的研究，兩者雖有明顯的不同，但它們都是相互滲透、相互聯(lián)系的。“離散型隨機(jī)變量的分布列”作為概率與統(tǒng)計(jì)的橋梁與紐帶，它既是概率的延伸，也是學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論基礎(chǔ)，能起到承上啟下的作用，是本章的關(guān)鍵知識(shí)之一。隨機(jī)變量是將隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果數(shù)量化，把對(duì)隨機(jī)事件及概率的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量及概率的研究；離散型隨機(jī)變量的分布列反映了隨機(jī)變量的概率分布，將實(shí)驗(yàn)的各個(gè)孤立事件聯(lián)系起來(lái)，從整體上研究

7、隨機(jī)現(xiàn)象。并為定義離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差奠定基礎(chǔ)，揭示了離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。2  重點(diǎn)、難點(diǎn)根據(jù)以上分析，本節(jié)課的重點(diǎn)是求離散型隨機(jī)變量的分布列。難點(diǎn)是二項(xiàng)分布，這是因?yàn)槿绾闻袛嚯S機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布及二項(xiàng)分布綜合運(yùn)用n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)恰好發(fā)生k次的概率公式及二項(xiàng)式定理公式的運(yùn)用存在困難，其次計(jì)算比較煩瑣。教學(xué)目標(biāo)1  知識(shí)、能力、情感目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：了解離散型隨機(jī)變量的分布列，會(huì)求某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列；能力目標(biāo)：通過(guò)教學(xué)滲透由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的抽象、概括能力；情感目標(biāo)：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程的參與，使學(xué)生進(jìn)一步感受到生活與數(shù)學(xué)“

8、零距離”，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，使學(xué)生獲得良好的價(jià)值觀和情感態(tài)度。2  學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平知識(shí)結(jié)構(gòu)方面，學(xué)生已學(xué)習(xí)了排列、組合、二項(xiàng)式定理、概率和隨機(jī)變量，已具備了本節(jié)課所需的預(yù)備知識(shí)。能力方面，經(jīng)過(guò)兩年學(xué)習(xí)，學(xué)生具有了一定的發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題的能力，抽象、概括能力，邏輯思維能力，通過(guò)設(shè)立問(wèn)題情境，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，能力目標(biāo)不難達(dá)到。情感方面，學(xué)生對(duì)新鮮事物充滿好奇，參與意識(shí)強(qiáng)，通過(guò)與生活緊密相連的問(wèn)題設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，情感目標(biāo)可以達(dá)到。教學(xué)方法選擇采用發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法為主，講授式教學(xué)法為輔的教學(xué)方法，讓學(xué)生充分參與知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與問(wèn)題的解決過(guò)程，整個(gè)過(guò)程設(shè)置了四個(gè)問(wèn)題情境，要

9、求學(xué)生思考、討論、表述，自始至終處于活躍的思維狀態(tài)中，充分發(fā)揮學(xué)生的形象思維、抽象思維、邏輯思維和創(chuàng)造思維。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、  設(shè)立問(wèn)題情境，設(shè)置懸念斷案兔子是誰(shuí)打死的？在還未禁獵的年代，有一天，兩位獵人同時(shí)發(fā)射一槍，打死一只正在奔馳的野兔，二人直奔獵物，都想得到這個(gè)戰(zhàn)利品，于是爭(zhēng)論起來(lái)。一智者路過(guò)此地，問(wèn)明事由，出面調(diào)解，獵人甲稱：“我的槍法百發(fā)百中，兔子是我打死的。”獵人乙爭(zhēng)辯道：“我的槍法比他準(zhǔn)，兔子分明是我打中的?！敝钦叩溃骸澳銈儾槐貭?zhēng)吵了，聽(tīng)我安排。”智者命二人向同一目標(biāo)各打五槍，甲的命中率為0.4，乙的命中率為0.6。甲以為這下完了，兔子必判給乙，很喪氣，扭頭便走，智者喊

10、到：“且慢，聽(tīng)我慢慢道來(lái)。”智者經(jīng)計(jì)算，告訴二人：“既然兔子已被你們打死，那么甲單獨(dú)擊中的機(jī)會(huì)是，乙單獨(dú)擊中的機(jī)會(huì)是 ，二人共同擊中的機(jī)會(huì)是 。”他建議：“如果此獵物價(jià)值若干，你們可按 七比十二分配?！苯Y(jié)果兔子賣了五十七元，甲分得二十一元，乙分得三十六元，兩人皆大歡喜，欣然而歸。 請(qǐng)同學(xué)們想一想，這個(gè)分配方案是否合理？智者是如何做出這個(gè)分配方案的？涉及意圖：設(shè)置懸念，營(yíng)造一種神秘氣氛，容易吸引學(xué)生注意力，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使他們有一種強(qiáng)烈的求知欲望，同時(shí)揭示隨機(jī)變量的分布列的客觀存在性和研究它的必要性。二、  提出問(wèn)題，引入主題     拋擲一

11、枚骰子，求所得點(diǎn)數(shù) 及 取各值的概率；     拋擲三枚硬幣，求正面向上的個(gè)數(shù) 及 取各值的概率；學(xué)生思考、討論，教師巡視、傾聽(tīng)，獲取反饋信息，適時(shí)引導(dǎo)，共同探究，畫(huà)出表格，表格從概率角度指出 的可能取值及取各值的概率，我們稱此表為 的分布列。由學(xué)生觀察表格，歸納其特征，試著表述分布列的概念，教師及時(shí)糾正，引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述得到：三、離散型隨機(jī)變量概率分布 （一）概率分布 定義1 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它可能取值為 ，對(duì)這些不同的值，其概率為 (k=1,2,)稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列（或分布律）1.表達(dá)式法 通常，稱上式為離散型

12、隨機(jī)變量的概率函數(shù)。2.表格法通常，稱上表為離散型隨機(jī)變量的概率分布表。3.圖示法有時(shí)為直觀起見(jiàn)，也可以用圖示的方法表示離散型隨機(jī)變量的概率分布，如圖4.3所示。的概率分布還可用圖示法表示,圖4.3是離散型隨機(jī)變量的概率分布圖。 圖4.3 命中次數(shù)的概率分布圖進(jìn)一步思考：離散型隨機(jī)變量的分布列有何性質(zhì)？設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。這一過(guò)程遵循由特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知規(guī)律，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生歸納、抽象能力。（二）概率分布的基本性質(zhì) 1. . 2. .（三）兩種分布1、兩點(diǎn)分布：只有兩個(gè)可能取值的隨機(jī)變量所服從的分布，稱為兩點(diǎn)分布。其概率函數(shù)為例1 一批產(chǎn)品的廢品為5%，從

13、中任意抽取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，用隨機(jī)變量來(lái)描述廢品出現(xiàn)的情況。即寫(xiě)出的分布。解  這個(gè)試驗(yàn)中，用表示廢品的個(gè)數(shù)，顯然只可能取0及1兩個(gè)值。表示“產(chǎn)品為合格品”，其概率為這批產(chǎn)品的合格率，即      ，而表示“產(chǎn)品是廢品”，即，列成概率分布表如表2-2所示。表2-2095%15%也可以用下述等式表示：    2、超幾何分布超幾何(Hypergeometric)分布這是如下的概率分布：P(=)=， ， = 0，1，2，(,)。 (16)在產(chǎn)品質(zhì)量的不放回抽檢中，若件產(chǎn)品中有件次品，則抽檢件時(shí)所得次品數(shù)就服從超幾何

14、分布。因?yàn)?，所以我們證明了一個(gè)很有用的組合公式：二項(xiàng)分布與超幾何分布有密切的聯(lián)系。在(16)式中，若,不變， 則 ()。 (17)因此，當(dāng)很大時(shí)，超幾何分布就可以用二項(xiàng)分布來(lái)近似計(jì)算。四、 例題評(píng)講，鞏固深化例1 在擲一枚骰子的試驗(yàn)中，試寫(xiě)出可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的概率分布列.X1 2 3 4 5 6 P1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 解 設(shè)X表示擲一枚骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).顯然，X的所有可能取值為：1，2，3，4，5，6.由古典概型知X取每一個(gè)值的概率均為 .X的概率分布表為: 例2     某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布如下：X0 1 2 3 4 5

15、 6 7 8 9 10 P0 0 0.01 0.01 0.01 0.02 0.10 0.30 0.35 0.15 0.05 求此射手射擊一次命中環(huán)數(shù)7的概率。離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和。設(shè)計(jì)意圖：例題本身是利用離散型隨機(jī)變量的分布列求概率，目的是加強(qiáng)對(duì)分布列的認(rèn)識(shí)與記憶，幫助學(xué)生明確解題步驟，規(guī)范解題格式，提高運(yùn)算能力。例3 某人打靶，命中環(huán)數(shù)X的概率分布表為：45678910P002004006009028029022求（1）至少命中9環(huán)的概率；（2）命中少于6環(huán)的概率.解：X為此人命中的環(huán)數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量，X的取值為0，1，10.（1）“至少命

16、中9環(huán)”是指命中9環(huán)或命中10環(huán)，并且這兩個(gè)事件互不相容， X取值為9和10，概率為P(X9)=P(X=9)+P(X=10)=0.15+0.05=0.20. （2）“命中少于6環(huán)”是指命中環(huán)數(shù)為0環(huán)、1環(huán)、2環(huán)、3環(huán)、4環(huán)、5環(huán)，并且兩兩事件互不相容，X取值為0，1，2，3，4及5，概率為 =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =0+0+0.01+0.01+0.01+0.02=0.05. 五  課堂小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，教師加以整理離散型隨機(jī)變量的分布列的概念二項(xiàng)分布設(shè)計(jì)意圖：有利于鞏固所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)歸納、概括能力，進(jìn)一步完成知識(shí)目標(biāo)和能力目標(biāo)。六、  練習(xí)與作業(yè)通過(guò)課內(nèi)練習(xí)和課外作業(yè)，鞏固加深對(duì)知識(shí)的理解。解決引入部分提出的問(wèn)題，并提出課后思考題：分布列全面反映統(tǒng)計(jì)規(guī)律，但有些實(shí)際問(wèn)題這樣的全面描述并不使人感到方便，例如：已知在同一品種的母雞中，一只母雞的年產(chǎn)蛋量是一個(gè)隨機(jī)變量，試比較兩個(gè)品種的母雞年產(chǎn)蛋量，這個(gè)問(wèn)題如何解決？通過(guò)最后設(shè)題，將學(xué)生的思維向外延伸，激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，為下節(jié)課學(xué)習(xí)作好鋪墊。七、評(píng)價(jià)與分析 學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程應(yīng)該是：具體抽象具體。即由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，形成抽象思維，這是一個(gè)歸納過(guò)程，然后用歸納的結(jié)論去指導(dǎo)具體問(wèn)題的解決，這是一個(gè)演繹過(guò)程，學(xué)生應(yīng)遵