平面幾何定理公理總結(jié)

1、平面幾何定理公理總結(jié)總 6 頁- 本頁僅作為文檔封面，使用時請直接刪除即可 - 內(nèi)頁可以根據(jù)需求調(diào)整適宜字體及大小 -平面幾何定理公理總結(jié)線與角1. 兩點之間，線段最短。線段的長叫兩點間的距離。2. 直線外一點到直線，垂線段最短，垂線段的長叫該點到直線的距離。3. 一組平行線中'一條直線上一點到另一條直線的距離，叫兩條平行線間的距離。4. 經(jīng)過兩點有且只有一條直線， 即兩點確定一條直線。 不在同一直線上的三點確定一個5. 兩直線相交，對頂角相等。6. 同角(或等角 ) 的余角相等；同角 (或等角) 的補角相等。7. 經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與直線平行。8. 經(jīng)過直線外或直線上一

2、點，有且只有一條直線與直線垂直。9. 如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補。10. 如果一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補。11. 平行線(1) 平行線的判定公理： 兩條直線被第三條直線所截， 如果同位角相等，那么這兩條直線平(2) 平行線的判定方法：(3) 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。(5) : 如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行。(6) )如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行。(7) 平行線的性質(zhì)：(8) (D

3、 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。(9) (2) 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。(10) ?兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。(11) ? 如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么這條直線也和另一條平行。(12) 如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么這條直線也和另一條垂直。(13) 平行線間的距離處處相等 ； 夾在兩條平行線間的平行線段相等。12. 平行線等分線段定理：(1) 定理：如果】組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也 等。(2) 推論丄：經(jīng)過三角形一邊的中點，且與另一邊平行的直線必等分第三邊。(3) 推論 2 :經(jīng)過梯形一腰

4、的中點，且與底邊平行的直線必等分另一腰。13. 平行線分線段成比例定理：(1) 定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。(2) 推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊 (或兩邊的延長線 ) 成比例。14. 線段的垂直平分線：(1) 性質(zhì)：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。(2) 判定：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。15. 角平分線 ：(1) 性質(zhì)：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。(2) 判定：在角的內(nèi)部，且到此角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上三角形及多邊形1. 三角形的任何兩邊的和大于第三邊，任何兩邊的差小于第三邊2.

5、 三 角形 內(nèi)角 和定三角形三個內(nèi)角的和等于 180% 四邊形內(nèi)角和等于360% n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)xl80。任意多邊形的 外角和等于 360%理3. 四 (1) 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和(2) 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。7. 三角形中位線定理：三角形兩邊中點的連線叫做三角形的中位線。三角形的中位線平行于 第三邊，并且等于第三邊的一半。8. 等腰三角形的相關(guān)公理、定理：(1) 等腰三角形的兩個底角相等 ( “等邊對等角 )。(2) 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等 ( “等角對等邊 ) 。 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的

6、中線和底邊上的高互相重合(“三線合一 o9. 等邊三角形的公理、定理：(1) 三個邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形。(2) 有一個角為 60。的等腰三角形是等邊三角形；有兩個角為60。的三角形是等邊三角形(3) 等邊三角形的三邊相等；等邊三角形的三角相等，且都等于60。(4) 等邊三角形三條角平分線、三條中線、三條高均交于同一點，該點是等邊三角形的中心。10. 直角三角形的公理、定理：(1) 直角三角形的兩銳角互余。(2) 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半； (斜邊是其外接圓直徑，斜邊上的中點是其 外 接圓圓心 ) 。(3) 假設(shè)三角形一邊的中線等于這邊的一半

7、，那此三角形為直角三角形。直角三角形中， 30。銳角所對的直角邊等于斜邊的一半；(5) 直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那它所對的角等于30。勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。(7) 勾股定理的逆定理：如果一個三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這 個 三角形是直角三角形。11. 三角形全等：(1) 性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等 判定：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 (SSS);“1)兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS)； 兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 (ASA) ；(6) 兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 (

8、AAS) ； 直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(HL) o12. 相似三角形的判定：(1) 定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應(yīng)邊的 比 例叫做相似比 ( 或相似系數(shù) )。(2) 預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊 (或兩邊的延長線 ) 相交，所構(gòu)成的三 角形 于原三角形相似。判定： 兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。 三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。(7) 引理：如果一條直線截三角形的兩邊 (或兩邊的延長線 ) 所得的對應(yīng)線段成比例，那么 這條 直線平行于三角形的第三邊。(8) 直角三角形相

9、似的判定：(9) 如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，兩三角形相似。(10) 如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么兩三角形相似。(11) 如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊于另一個三角形的斜邊和一條直角邊成比 例， 那么兩三角形相似。13. 相似三角形的性質(zhì)定理：(1) 相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。 相似三角形周長的比等于相似比。 相似三角形面積比等于相似比的平方。(4) 相似三角形的外接圓、內(nèi)切圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓、內(nèi)切圓的面積比等于相似比的平方。14. 直角三角形的射影定理： 直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比

10、例中項；兩直角邊分別是它在斜邊上的射影于斜邊的比例中項。15. 也可表述為： 直角三角形的直角頂點， 到斜邊端點和斜邊上高的垂足三點中其中一點的 距 離( 線段)，是該點到其它兩點的距離 ( 線段)的比例中項。16. 三角形垂直平分線的性質(zhì)： 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點， 且這點到三個頂點 距 離相等，這點為三角形外接圓的圓心 ( 簡稱“外心° )。17. 三角形角平分線的性質(zhì)：三角形三條角平分線相交于一點，且這點到三邊距離相等，這 點 為三角形內(nèi)切圓的圓心 ( 簡稱“內(nèi)心 ") 。18. 三角形中線的性質(zhì)：三角形的三條中線交于一點，該點叫做三角形的重心。19. 三

11、角形高的性質(zhì)：三角形的三條高交于一點，該點叫做三角形的垂心。三、多邊形20. 四邊形內(nèi)角和定理：四邊形內(nèi)角和等于 360%21. 多邊形內(nèi)角和定理： n 邊形的內(nèi)角和等于 (n-2)xl80 o°22. 多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于 360%平矩形邊對的線相相等23. 如果圖形關(guān)于某一直線對稱，那么連結(jié)對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分1. 平行四邊形的性質(zhì)：(1) 平行四邊形的對角相等。(3) 平行四邊形的對角線互相平分兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊 形。兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊對角線四.特殊四邊形相5.菱形的性質(zhì)：(1)菱形的四條邊相等。(2)菱形的對角線互相

12、垂直，并且每一組對角線平分一組對角6.菱形的判定：(1)四邊都相等的四邊形是菱形。( 2)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形。(3) 鄰邊相等的平行四邊形是菱形。( 4)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 ;(5) 兩條對角線分別平分兩組對角的四邊形是菱形。(6) 有一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形是菱形。7. 正方形的性質(zhì)：(1) 正方形的四個角都是直角，四條邊都相等(2) 鄰邊相等且垂直的是正方形；對角線垂直且相等的平(3) 正方形的兩條對角線相等，且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。8. 正方形的判定：對角(1)鄰邊相等的矩形是正方形。 線互相垂(3)有一個角是直角的菱形是正方形； (

13、4)(5)鄰邊相等且垂直的是平行四邊形正方形。 對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。9. 等腰梯形的性質(zhì)：(2) 等(1) 等腰梯形在同一底上的兩個角相等 ;腰梯10. 等腰梯形的判定：(1) 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯( 2)對角線相等的梯形是等腰梯形。形；11. 梯形的中位線定理：梯形兩腰中點的連線叫做梯形的中位線。梯形的中位線平行于梯形的 兩 底邊，并且等于兩底和的一半。五、圓1. 在同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的軌跡 ( 集合) ，是以定點為圓心，定長為半 徑 的圓。2. 不在同一條直線上的三個點確定一個圓。3. 有關(guān)圓周角、圓心角的定理和性質(zhì)：(1) 圓心角定

14、理：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。(2) 圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。(3) 定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心 距 相等。(4) 推論 4 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等， 都等于該弧所對的圓心角的一 半； 相等的圓周角所對的弧相等。(5) 統(tǒng)一推論：在同圓或等圓中，兩個圓心角 (圓周角 ) 、兩條弧、兩條弦、兩個弦的弦心 距， 只要有一組量相等，那么其余對應(yīng)的各組量均相等。(6) 推論 2：半圓( 或直徑 )所對的圓周角是直角； 90。的圓周角所對的弦是直徑，所對的弧 是 半圓。4. 垂徑定理：垂直于

15、弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。(1) 推論 4平分弦(不是直徑 )的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的兩段弧。(2) 推論 2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心 , 并且平分這條弦所對的弧。(3) 推論 3：平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦， 并且平分這條弦所對的另一條弧。 推 論：一條直線，只要滿足以下中的 2 條作為條件就可以推知其他 3 條，知二推三。 (1)平分弦所對的優(yōu)?。?( 2)平分弦所對的劣??； (即：平分弦所對的兩條弧 ) ； 平分不是直徑的弦； ( 4)垂直于弦； ( 5)經(jīng)過圓心。(4) 在同圓或者等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等。(5) 兩條相等的弧兩個外端

16、點的連線于兩個內(nèi)端點的連線平行。5. 關(guān)于兩圓及其連心線的性質(zhì)與定理：(1) 兩圓內(nèi)切時，兩圓連心線過切點且與公切線垂直。(2) 推論：兩圓相切時，以下 4 條，知二推二：過一圓圓心； ( 2)過另一圓圓心； ( 3)過兩圓切點； ( 4)公切線垂直。兩圓相交時，兩圓的連心線垂直平分公共弦。(5) 推論：兩圓相交時，以下 4 條，知二推二：過一圓圓心；(2)過另一圓圓心； 過公共弦中點；(4)垂直公共弦。(7) 兩圓相切時，兩圓的連心線過切點且與一條公切線垂直。(8) 推論：兩圓相切時，以下 4條，知二推二： 過一圓圓心； (2)過另一圓圓心； (3)過兩圓切點； 內(nèi)公切線垂直。(10) 兩圓相離時，兩圓的連心線過內(nèi)公切線交點，且平分內(nèi)公切線所成夾角。(11) 推論：兩圓相切時，以下 4 條，知二推二：(12) (1)過一圓圓心 ( 2)過另一圓圓心； ( 3)過內(nèi)公切線交點； ( 4)平分內(nèi)公切線所成夾角。(13) 注：滿足條件時，已經(jīng)滿足 條件，故知(2)其中兩條可推知其它兩條，知可 推知。(2) 任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等 (都是旋轉(zhuǎn)角