平面直角坐標(biāo)系(基礎(chǔ))知識(shí)講解

1、平面直角坐標(biāo)系(根底)知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解平面直角坐標(biāo)系概念，能正確畫出平面直角坐標(biāo)系2. 能在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)坐標(biāo)確定點(diǎn)，以及由點(diǎn)求出坐標(biāo)，掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的特征3. 由數(shù)軸到平面直角坐標(biāo)系，滲透類比的數(shù)學(xué)思想【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、有序數(shù)對(duì) 定義：把有順序的兩個(gè)數(shù) a與b組成的數(shù)對(duì)，叫做有序數(shù)對(duì)，記作(a， b).要點(diǎn)詮釋：有序，即兩個(gè)數(shù)的位置不能隨意交換，(a , b)與(b , a)順序不同，含義就不同，如電影院的座位是6排7號(hào)，可以寫成(6 , 7)的形式，而(7, 6)那么表示7排6號(hào). 要點(diǎn)二、平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)的概念1. 平面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原

2、點(diǎn)重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標(biāo)系水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，取向上方向?yàn)檎较?，兩坐?biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)(如圖1).丫軸©1-聲ih1，一-32_12 32-圖1要點(diǎn)詮釋：平面直角坐標(biāo)系是由兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成的2點(diǎn)的坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn) P,過點(diǎn)P分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)a, b 分別叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(duì)(a,b )叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)，記作：P(a,b)，如圖2.3-ZLtPUj b)- 11H1 1 1 111 1 1-3-2-101 2 x1-2-2要點(diǎn)詮釋：(1 )表示點(diǎn)

3、的坐標(biāo)時(shí)，約定橫坐標(biāo)寫在前，縱坐標(biāo)寫在后，中間用“，隔開.(2) 點(diǎn)P(a, b)中，|a|表示點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離；|b|表示點(diǎn)到x軸的距離.(3) 對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)都有唯一的一對(duì)有序數(shù)對(duì)(x ,y)和它對(duì)應(yīng)，反過來對(duì)于任意-對(duì)有序數(shù)對(duì)，在坐標(biāo)平面內(nèi)都有唯一的一點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，也就是說，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)是 對(duì)應(yīng)的.要點(diǎn)三、坐標(biāo)平面1. 象限建立了平面直角坐標(biāo)系以后，坐標(biāo)平面就被兩條坐標(biāo)軸分成如下圖的I、n、w四個(gè)局部，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如以下圖.U3第一象限31y第一象限3ITT2第三象韻32 iIV第叫零限要點(diǎn)詮釋：(1) 坐標(biāo)軸x軸與y軸上的點(diǎn)(包括原點(diǎn)

4、)不屬于任何象限.(2) 按方位來說：第一象限在坐標(biāo)平面的右上方，第二象限在左上方， 第三象限在左下方, 第四象限在右下方2. 坐標(biāo)平面的結(jié)構(gòu)坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)可以劃分為六個(gè)區(qū)域：x軸，y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限這六個(gè)區(qū)域中，除了 x軸與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)(原點(diǎn))外， 其他區(qū)域之間均沒有公 共點(diǎn)要點(diǎn)四、點(diǎn)坐標(biāo)的特征1. 各個(gè)象限內(nèi)和坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)規(guī)律點(diǎn)的位査第.氛限第三象限工紬橫坐標(biāo)符號(hào)任蠢數(shù)工Q0縱坐標(biāo)符號(hào)十+-0任意數(shù)y0點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)(+>-)Lr(D(0,0)要點(diǎn)詮釋：(1) 對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一個(gè)點(diǎn)，不在這四個(gè)象限內(nèi)，就在坐標(biāo)軸上(2) 坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：x

5、軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0; y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.(3 )根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)情況可以判斷點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的大概位置；反之，根據(jù)點(diǎn)在坐標(biāo) 平面上的位置也可以判斷點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)情況.2. 象限的角平分線上點(diǎn)坐標(biāo)的特征第一、三象限角平分線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等，可表示為(a , a);第二、四象限角平分線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可表示為(a , -a).3. 關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征P(a, b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 (a,-b);P(a, b)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 (-a,b);P(a, b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,-b).4. 平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)平行于x軸的直線上的點(diǎn)的縱

6、坐標(biāo)相同；平行于y軸的直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同 【典型例題】類型一、有序數(shù)對(duì) 1 如果將一張“ 13排10號(hào)的電影票簡(jiǎn)記為(13,10 ),那么(10,13 )表示的電影 票是_排_(tái)號(hào)【思路點(diǎn)撥】 在平面上，一個(gè)數(shù)據(jù)不能確定平面上點(diǎn)的位置.須用有序數(shù)對(duì)來表示平面內(nèi)點(diǎn)的位置.【答案】10,13.【解析】由條件可知：前面的數(shù)表示排數(shù)，后面的數(shù)表示號(hào)數(shù)【總結(jié)升華】 在表示時(shí)，先要“約定順序，一旦順序“約定，兩個(gè)數(shù)的位置就不能隨意交換，(a, b)與(b , a)順序不同，含義就不同.舉一反三：【變式】某地10:00時(shí)氣溫是6C,表示為(10 , 6)，那么(3 , -7)表示.【答案】3:00時(shí)該地氣

7、溫是零下 7C.類型二、平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)的概念j91114f111 3田* -"-1®=k1ih ! Al. 匕丨告d :-氧 1- 卜-tiny C * 1 - U 上1111上j1»1111ah11 1 1 T JV-亠亠 4 - 丄丄.；慶2工法區(qū)!4* 5Kill八八八八八l>111Li 11 L_T尋仁5r 11 g 2.如圖，寫出點(diǎn)A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)費(fèi)I【思路點(diǎn)撥】 要確定點(diǎn)的坐標(biāo)，要先確定點(diǎn)所在的象限，再看點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離.【答案與解析】解：由點(diǎn)A向x軸作垂線，得 A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,再由點(diǎn)A向y軸作垂線，得 A點(diǎn)的縱坐 標(biāo)是3,那

8、么點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2 , 3)，同理可得點(diǎn) B、C、D的坐標(biāo).所以，各點(diǎn)的坐標(biāo)： A(2, 3) , B(3 , 2) , C(-2 , 1) , D(-1 , -2).【總結(jié)升華】平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)到x軸的距離是這點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，到y(tǒng)軸的距離是這點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值.舉一反三：【變式】在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)A既在x軸的上方，又在 y軸的左邊，且距離 x軸,y軸分別為5個(gè)單位長度和4個(gè)單位長度，那么點(diǎn) A的坐標(biāo)為().A . (5, -4) B . (4 , -5) C . (-5 , 4) D . (-4 , 5)【答案】D.3. 在平面直角坐標(biāo)系中，描出以下各點(diǎn)A(4 , 3) ,

9、B(-2 , 3) , C(-4 , 1) , D(2 , -2).【答案與解析】解：因?yàn)辄c(diǎn) A的坐標(biāo)是(4 , 3),所以先在x軸上找到坐標(biāo)是 4的點(diǎn)M再在y軸上找到坐標(biāo)是3的點(diǎn)N.然后由點(diǎn)M作x軸的垂線，由點(diǎn) N作y軸的垂線，過兩條垂線的交點(diǎn)就是點(diǎn) A,同理可描出點(diǎn) B C D.所以，點(diǎn)A B、C、D在直角坐標(biāo)系的位置如下圖.1 111i:坷3nit:心11Ti11乙N1'1t* <LL -4-3巳 -ri1:-3:-4 ) 2 3 4'J.I t JL =L .To :4I->>II 1【總結(jié)升華】對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，都有唯一的一對(duì)有序數(shù)對(duì)和它對(duì)應(yīng)；

10、對(duì)于任意一對(duì)有序數(shù)對(duì)，在坐標(biāo)平面內(nèi)都有唯一的一點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，也就是說，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是 對(duì)應(yīng)的.舉一反三：【變式】在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，： A ( 3, 2), B ( 5, 0),那么厶AOB的面積為.【答案】5.類型三、坐標(biāo)平面及點(diǎn)的特征(2021春?夏津縣校級(jí)期中)根據(jù)要求解答以下問題:設(shè)M(a, b)為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn).(1) 當(dāng)a> 0, b v 0時(shí)，點(diǎn)M位于第幾象限？(2) 當(dāng)ab> 0時(shí)，點(diǎn)M位于第幾象限？(3) 當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)，且bv 0時(shí)，點(diǎn)M位于何處？【思路點(diǎn)撥】(1)禾U用第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出答案；(2) 禾U用第二、四象限點(diǎn)的

11、坐標(biāo)性質(zhì)得出答案；(3) 禾U用第三、四象限和縱軸點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出答案.【答案與解析】解： M( a, b)為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn).(1) 當(dāng)a> 0, b v 0時(shí)，點(diǎn)M位于第四象限；(2) 當(dāng)ab> 0時(shí)，即a, b同號(hào)，故點(diǎn) M位于第一、三象限；(3) 當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)，且bv 0時(shí)，點(diǎn)M位于第三、四象限和縱軸的負(fù)半軸. 【總結(jié)升華】此題考查點(diǎn)的坐標(biāo)確實(shí)定，正確掌握各象限對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的符號(hào)是解題關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】(2021?威海)假設(shè)點(diǎn)A (a+1, b- 2)在第二象限，那么點(diǎn)B (- a, b+1)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】解：由

12、A (a+1, b - 2)在第二象限，得a+1 v 0, b- 2>0.解得 av- 1, b>2.由不等式的性質(zhì)，得-a> 1, b+1 >3,點(diǎn)B - a, b+1在第一象限， 應(yīng)選：A.【高清課堂：第一講平面直角坐標(biāo)系1 369934 練習(xí)3】【變式2】假設(shè)點(diǎn)P a ,b在第二象限，那么：1 點(diǎn)P1 a，-b在第象限；2點(diǎn)P2-a ,b在第象限；3點(diǎn)P3-a，-b 在第象限；4點(diǎn)P4 b ,a 在第象限.【答案】1三；2 一; 3四；4四.C5.點(diǎn)A-3，2與點(diǎn)Bx，y在同一條平行于y軸的直線上，且點(diǎn) B到x軸的距離 等于3,求點(diǎn)B的坐標(biāo).A 43* 21J1i

13、|.3 -2 -O-1-2-3Ill【思路點(diǎn)撥】 由“點(diǎn)A-3 , 2與點(diǎn)Bx, y在同一條平行于y軸的直線上可得點(diǎn) B的橫坐 標(biāo)；由“點(diǎn)B到x軸的距離等于3可得B的縱坐標(biāo)為3或-3，即可確定B的坐標(biāo).【答案與解析】解：如圖，JA1 2L11 1JL 一 Jl -3 -2 -1012工1-2-iF-3-點(diǎn)B與點(diǎn)A在同一條平行于y軸的直線上，點(diǎn)B與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，x = -3 .點(diǎn)B到x軸的距離為3， y = 3 或 y= -3 . 點(diǎn)B的坐標(biāo)是-3，3或-3，-3.【總結(jié)升華】在點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-3的條件下，點(diǎn)B到x軸的距離等于3，那么點(diǎn)B可能在第二 象限，也可能在第三象限，所以要分類討論，防止漏解.舉一反三：【變式1】假設(shè)