4.3曲線的凸性及拐點 函數(shù)作圖

1、表JX-2教 案 紙 第 頁教案（首頁）授課日期授課班級課 題4.3 曲線的凸性及拐點 函數(shù)作圖計劃學(xué)時2 課時教學(xué)目標(biāo)1.熟練掌握函數(shù)拐點以及凹凸區(qū)間的定義；2.掌握函數(shù)凹凸性的判定方法及拐點定理；3.熟練掌握函數(shù)草圖的做法并了解一般的作圖步驟；教學(xué)重點解決措施教學(xué)重點：函數(shù)凹凸性的判定方法及拐點定理解決措施：講授、演示教學(xué)難點解決措施教學(xué)難點：函數(shù)草圖的做法解決措施：講授、演示教學(xué)設(shè)計教學(xué)手段教學(xué)方法多媒體教學(xué)、板書演示板書設(shè)計授課提綱一、復(fù)習(xí)二、新授4.3 曲線的凸性及拐點 函數(shù)作圖（一）函數(shù)拐點以及凹凸區(qū)間的定義（二）函數(shù)凹凸性的判定方法及拐點定理（三）函數(shù)草圖的做法并了解一般的作圖步

2、驟三、練習(xí)四、小結(jié)五、作業(yè)教 學(xué) 過 程 設(shè) 計時間分配教師活動學(xué)生活動【復(fù)習(xí)提問】1. 柯西中值定理；2. 羅必塔法則及其應(yīng)用；3.應(yīng)用羅必塔法則需要注意的問題.【新課引入】.凸性及拐點在第一章我們討論過函數(shù)的作圖問題。但能使用的手段不多。本章第一節(jié)用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的增減性及極值點，無疑是增加了作圖的有效手段，但僅此有時不能掌握圖形的形狀。圖4.13中中弧都是上升的，但上升的情況不同?；∈窍蛏贤苟仙?，弧是向下凸而上升。因此有必要區(qū)分圖形是向上凸還是向下凹。xOxyOACDBy 在圖4.14的左圖中，我們看到，如果圖形是向上凸時，則當(dāng)x增大時，切線的斜線率是減小的。而圖4.14的右圖卻正

3、好相反，即當(dāng)x增大時，切線率是增大的。因此用導(dǎo)數(shù)增減性可完全反映出圖形的凸性。【新課講授】定義一 設(shè)函數(shù)在世遞減的，則稱曲線內(nèi)是凸的；如果是遞增的，則稱曲線在內(nèi)事凹的。定義二 設(shè)函數(shù)在所考慮的區(qū)間可導(dǎo)，則曲線的凸凹分界點稱為曲線的拐點。如何判斷曲線的凸凹及拐點呢？曲線的凹凸是由得增減性來定義的，又因為的導(dǎo)數(shù)，所以的增減可由的正負(fù)號來判斷。于是可得到下列幾個定理。定理一 若，則曲線在內(nèi)是凹的，反之，若則曲線在內(nèi)事凸的。定理二（拐點的必要條件）若點是曲線的拐點。且處二階導(dǎo)數(shù)存在。則。定理三 若兩側(cè)變號，則點是曲線的拐點。例1 求曲線的拐點。并判斷曲線在什么區(qū)間上是凸的，在什么區(qū)間上是凹的？解 函數(shù)

4、的定義域是。 ， 令。討論如下：當(dāng)曲線是凸的，當(dāng)曲線是凹的，當(dāng)由此知拐點為為凹區(qū)間。例2 ，解 算出 ， ，函數(shù)的定義域為，討論如下： 當(dāng)x<0時，曲線是凸的， 當(dāng)想x>時，曲線是凸的，因為x=0不在定義域內(nèi)，所以曲線無拐點。.函數(shù)作圖作函數(shù)的圖形，大致可以分為以下步驟：（1） 初步研究：如何討論定義域，對稱性，周期性等等；（2） 討論增減區(qū)間.極值點及極值；（3） 討論凹凸區(qū)間及拐點；（4） 討論一些特殊情形，如有點，說明曲線與直線無限接近（如圖4.15），直線稱為曲線的水平漸近線。若（常數(shù)），說明曲線與直線無限接近.直線稱為曲線的水平漸近線（如圖4.16）.（5） 根據(jù)需要再增

5、算幾個點 注意，作圖時限討論（1）（2）（4）與（5）.因為往往有這樣情形（1），（2），（4）與足以畫出其圖形.當(dāng)還不足以畫出圖形時，在討論（3）.yox0x圖 4.15yox圖 4.16 例3 作函數(shù)的圖形. 解 函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，所以圖形對稱于原點. ，是駐點，它把定義域分為三段.圖形變化見下表。xx=-1(-1,1)x=1-0+0-圖形極小值點極大值點極小值為討論漸近線：。故有水平漸近線有以上材料就可大致畫出圖形。y=x1+x2x0y例4 作函數(shù)的圖形。解：函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，圖形對稱y軸，且y>0,所以圖形在x軸的上方。令xx=0+0-圖形極大值點極大值為令(-,

6、-12)-12（-12 ，12 ）12(12 , )yn+00+圖形凹拐點凸拐點凹拐點為（-12 ，e-12 ）, （12 ，e12 ）.limxe-x2=0,有水平漸近線y=0.根據(jù)以上討論的情況，可大致地作出圖形（圖4.18）。例5 作函y=ln(x2 -1) 的圖形.解 定義域為(- ，-1）（1 +),圖形對稱y軸。y'=2xx2-1 .在定義域內(nèi)無駐點，也沒有極值點。x(- ,-1)-1 ,1 (1 , + )y'-+圖形無定義yn=-2(1+x2)(x2 -1)2 . 無y''= 0的點，無拐點。在(- ，-1）及（1 +) 內(nèi)y''

7、< 0 ,圖形是凸的。又limx-1-lnx2-1=-,limx1+ln(x2-1)=-, limxlnx2-1=+ .所以有垂直漸近線x=-1 (左側(cè))，x=1（右側(cè)）當(dāng)x=±2 時，y=0 。根據(jù)以上討論可大致作出其圖形（圖4.19）。-2202xy=lnx2-1x=1x=-1【課堂小結(jié)】1.函數(shù)的凹凸性及其判別方法,拐點及其求法； 2.曲線的漸近線；3.函數(shù)圖形的作法.【作業(yè)布置】課內(nèi)練習(xí)：1、求曲線y=3x4-4x3+1 的拐點及凹凸區(qū)間。2、求曲線y=x+xx-1的拐點及凹凸區(qū)間。3、作y=x4+14x4的圖形.4、作y=x21+x2 的圖形。5、作y=ln(1+x2) 的圖形課外作業(yè)：試確定一個x的六次多項式P（x），已和曲線y=P(x)切x軸于原點，且在拐點（-1，1），在（1，1）處切線水平?！窘虒W(xué)反思】5分鐘5分鐘50分鐘5分