導(dǎo)熱微分方程

1、第三講 導(dǎo)熱微分方程前言o 運(yùn)用物理數(shù)學(xué)方法物理數(shù)學(xué)方法研究表示特定現(xiàn)象各物理量的關(guān)系。確定物理過(guò)程的量隨空間時(shí)間的變化。o 在鑄造凝固過(guò)程中我們要得到溫度隨時(shí)間空間位置變化的情況。 數(shù)學(xué)物理方法： 限制在一定時(shí)間間隔內(nèi)（微元時(shí)間間隔dt ），并在整個(gè)空間內(nèi)只研究一個(gè)微元體（選取微元體的體積為 dv）。 從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，這些量是無(wú)窮?。晃锢碛^點(diǎn)看，這些量足夠大，以致在所研究的范圍內(nèi)能忽略介質(zhì)的不連續(xù)性，而作為連續(xù)介質(zhì)處理。1. 直角坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程o 對(duì)所選取的微元體應(yīng)用能量守恒定律： 在 dt 時(shí)間內(nèi)，由于導(dǎo)熱從外部進(jìn)入微元體的熱量以及微元體內(nèi)熱源所產(chǎn)生的熱量等于微元體所包含的內(nèi)能或焓的

2、變化。o 焓（enthalpy）：H，系統(tǒng)熱力學(xué)參數(shù)。定義：H=U+PV。是狀態(tài)函數(shù)，即系統(tǒng)的狀態(tài)一定，焓就是定值了。 1. 直角坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程 按照能量守恒定律，微元體的熱平衡式可以表示為下列形式： 導(dǎo)入微元體的總熱流量+微元體內(nèi)熱源的生成熱=微元體內(nèi)能的增量+導(dǎo)出微元體的總熱流量導(dǎo)入微元體的總熱量：o 由Fourier導(dǎo)熱定律，在 dt 時(shí)間內(nèi) x 方向通過(guò)x=x表面流入微元體的熱流量為:()xxTdQq dydz dtdydz dtx ()yyTdQq dxdz dtdxdz dty同理：()zzTdQq dxdy dtdxdy dtzxyzdQdQdQ微元體內(nèi)熱源的生成熱：o

3、若單位時(shí)間單位體積物體中內(nèi)熱源的發(fā)熱率為 則在dt 時(shí)間內(nèi)，微元體的發(fā)熱量為：QQdxdydz dt導(dǎo)出微元體的總熱量：o 在dt 時(shí)間內(nèi)，x方向通過(guò)x = x+dx 表面流出微元體的熱流量dQx+dx，可按Taylor級(jí)數(shù)展開如下：x dxy dyz dzdQdQdQxx dxxdQdQdQdxx同理：yy dyydQdQdQdyyzz dzzdQdQdQdzz微元體內(nèi)能的增量： 微元體內(nèi)能的增量:pTdQcdxdydz dtt微元體的熱平衡式:x dxy dyz dzdQdQdQdQQ dxdydz dtx dxy dyz dzdQdQdQ+化簡(jiǎn)后的熱平衡式：pTTTTcQtxxyyzzp

4、TTQct為拉普拉斯(laplance)算子2. 其他坐標(biāo)系的導(dǎo)熱微分方程 在工程實(shí)際中往往涉及柱面或球面對(duì)稱的導(dǎo)熱問(wèn)題，邊界條件給定在一個(gè)表面上，此表面具有坐標(biāo)保持不變的性質(zhì)。 通過(guò)坐標(biāo)變換，可以將直角坐標(biāo)下的導(dǎo)熱微分方程變換成相應(yīng)坐標(biāo)系的導(dǎo)熱微分方程。圓柱坐標(biāo)系：o 設(shè)圓柱坐標(biāo)系下任一點(diǎn)P（r，z），該點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的投影關(guān)系得出直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)的變換關(guān)系如下： x= r cos r=(x2+y2)1/2 y= r sin = tan-1(y/x) z= z柱坐標(biāo)系下導(dǎo)熱微分方程的一般形式：211pTTTTTcQtrrrrrzz球坐標(biāo)系：222111sinsinsinpTTTTcrtrr

5、rQ3.直角坐標(biāo)系下一般方程的特殊形式： 原因： 由于導(dǎo)熱微分方程的一般形式存在非線性，往往難以直接進(jìn)行數(shù)值求解。但在某些特殊條件下，可將上述問(wèn)題簡(jiǎn)化為同問(wèn)題所建立的條件相一致的最簡(jiǎn)單形式，以便進(jìn)行數(shù)值求解。3.直角坐標(biāo)系下一般方程的特殊形式： 無(wú)內(nèi)熱源、常物性條件下導(dǎo)熱微分方程的簡(jiǎn)化形式： 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱： 一維： 二維： 三維：220Tx22220TTxy2222220TTTxyz3.直角坐標(biāo)系下一般方程的特殊形式： 無(wú)內(nèi)熱源、常物性條件下導(dǎo)熱微分方程的簡(jiǎn)化形式： 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱： 一維： 二維： 三維：2222221TTTTxyzt22221TTTxyt221TTxto 導(dǎo)溫系數(shù)或熱擴(kuò)散系數(shù)（Th

6、ermal diffusivity）: 2/pmsc說(shuō)明:（1）表征溫度變化的速度，即表征物體內(nèi)部溫度趨于一致的能力。是物體熱慣性的度量。（2）與物質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)。例如：液體和氣體具有較大的熱慣性，它們的導(dǎo)溫系數(shù)就小。金屬的熱擴(kuò)散系數(shù)比型砂大幾十倍，鑄件在金屬型中要比砂型中冷卻的快。4.導(dǎo)熱過(guò)程的定解條件 定解條件：定解條件： 使微分方程得到特解的附加條件。使微分方程得到特解的附加條件。 對(duì)于導(dǎo)熱微分方程，通過(guò)數(shù)學(xué)方法原則上可以獲得方程的通解。然而，對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題而言，還要求得出既滿足導(dǎo)熱微分方程式，又滿足根據(jù)具體問(wèn)題規(guī)定的一些附加條件下的特解。o 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的定解條件： 初始條件： 初始

7、時(shí)刻溫度分布。 邊界條件： 物體邊界上的溫度或換熱情況。o 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的定解條件： 沒有初始條件，僅有邊界條件。邊界條件：（1）第一類邊界條件： 給定了邊界上的溫度值。 最簡(jiǎn)單的形式：給定邊界溫度保持不變，即 Tw = 常數(shù)。 對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，這類邊界條件給定溫度為邊界上空間位置與時(shí)間的函數(shù)，即：, , ,wTf x y z t邊界條件：（2）第二類邊界條件： 給定邊界上的熱流密度值。 最簡(jiǎn)單的形式：給定邊界上的熱流密度保持定值，即 qw= 常數(shù)。當(dāng)qw= 0，絕熱邊界條件。 對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，這類邊界條件給定溫度為邊界上空間位置與時(shí)間的函數(shù)，即：, , ,wwTqf x y z tn

8、 邊界條件：（3）第三類邊界條件： 給定邊界上物體與周圍流體間的表面換熱系數(shù) hc ，及周圍流體的溫度 Tf 。 此類邊界條件可表示為：cwfwTh TTn邊界條件：（4）輻射換熱邊界條件： 當(dāng)考慮物體表面的熱輻射時(shí)，輻射換熱邊界條件：44wfwTTTnTf為已知環(huán)境溫度Tw為物體表面溫度邊界條件：o 線性化處理，使得該類邊界條件具有與對(duì)流換熱邊界條件類似的形式，即rwfwThTTn22rwfwfhTTTThr稱為輻射換熱系數(shù)邊界條件：o 在實(shí)際導(dǎo)熱問(wèn)題中，物體表面經(jīng)常同時(shí)存在著對(duì)流和輻射兩種換熱，其邊界條件為：crwfwThhTTn邊界條件：（5）金屬/鑄型界面換熱條件：1121iwwwTh

9、TTn1：為鑄件材料的導(dǎo)熱系數(shù)w1，w2：分別代表鑄件與鑄型表面Tw1，Tw2：分別代表鑄件和鑄型的表面溫度hi：為金屬/鑄型界面換熱系數(shù)，可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)數(shù)值或假設(shè)一定的分布函數(shù)形式處理o 最簡(jiǎn)單的處理方式為： 假設(shè)金屬/鑄型界面處于理想接觸狀態(tài)，此時(shí)其邊界條件的表達(dá)式為：1212wwTTnn 同樣適合于不同鑄型材料間接觸界面換熱條件的處理。初始條件：o 非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題的初始條件： （1）為 t =0時(shí)刻所研究的空間上所有位置的溫度分布，可以是一個(gè)常數(shù)，也可以是空間的函數(shù)。 （2）給定液態(tài)金屬的初始溫度為澆注溫度初始溫度為澆注溫度：假設(shè)鑄型瞬時(shí)充滿并在充型過(guò)程中無(wú)熱交換。 （3）通過(guò)求解充型過(guò)程并考

10、慮充型過(guò)程中的傳熱而得到鑄件充型結(jié)束后的初始溫度分布充型結(jié)束后的初始溫度分布。5.凝固過(guò)程結(jié)晶潛熱的處理o 在金屬凝固過(guò)程中，伴隨著結(jié)晶潛熱的釋放。對(duì)結(jié)晶潛熱的處理，可將其視為具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問(wèn)題。o 金屬在單位時(shí)間內(nèi)釋放的結(jié)晶潛熱：ssffTLLtTtQL金屬的結(jié)晶潛熱；金屬的密度；fs溫度為T時(shí)的質(zhì)量固相率，是溫度的函數(shù)o 將上式帶入直角坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程，得到：spfTTTTcLTtxxyyzz 處理結(jié)晶潛熱項(xiàng)的關(guān)鍵：處理固相率隨溫度變化的函數(shù)。取決于合金的種類及其凝固特性。o 合金的固相率用非平衡條件下的杠桿定律（Scheil方程）來(lái)確定：011( )1kmsmLTTf TTT Tm合金熔點(diǎn)；TL合金的液相線；k0合金的平衡溶質(zhì)分配系數(shù)。 由于合金的固相率式溫度的非線性函數(shù)，給數(shù)值計(jì)算帶來(lái)困難，在凝固過(guò)程數(shù)值模擬中，采用一下方法處理凝固結(jié)晶潛熱的析出： 1. 熱焓法：采用熱焓變換處理方程。 2. 溫度回升法：把金屬凝固時(shí)釋放的潛熱用于補(bǔ)償由于熱傳導(dǎo)所帶走的熱量，即補(bǔ)償了由傳熱所引起的溫度的降低，從而使單元自身溫度作相應(yīng)的回升。3.