自適應天線 電子科大4.2

1、1 4.2 信號帶寬信號帶寬為了論述帶寬為了論述帶寬,首先定義解析信號的自相關函數和首先定義解析信號的自相關函數和功率譜密度功率譜密度.假設假設 為實平穩(wěn)的隨機過程為實平穩(wěn)的隨機過程,其其功率功率譜密度譜密度為為 .特別地特別地, 假設假設 有平坦的帶限功率有平坦的帶限功率譜密度譜密度,其帶寬為其帶寬為 ,高度為高度為 ,如圖如圖4.6所示所示. 4.2.1 解析信號的功率計算解析信號的功率計算圖圖4.6 功率譜密度功率譜密度( )n t( )n t0/2N( )nS( )nS2 的自相關函數的自相關函數 為為 的反傅立葉變換的反傅立葉變換:( )n t( )nS( )nR(4.40)1( )

2、 ( ) ()( )exp()2nnRE n t n tSjd00sin(/2)cos2/2N 的平均功率可按下式計算的平均功率可按下式計算:( )n t20( )(0)2nNE n tR(4.42)(4.41)201( )( )22nNE n tSd或是或是現在考慮與現在考慮與 有關的解析信號有關的解析信號 :( )n t( )n t( )( )( )n tn tjn t(4.43)3定義定義 的自相關函數為的自相關函數為:*( )( ) ()nRE nt n t( )n t函數函數 與與 的關系如下的關系如下:( )nR( )nR( ) ( )( ) ()()nREn tjn tn tjn

3、 t(4.45)(4.44) ( ) () ( ) ()E n t n tE n t n t ( ) () ( ) ()jE n t n tjE n t n t利用希爾伯特變換關系利用希爾伯特變換關系,可得可得:( )2 ( ) ()2 ( ) ()nRE n t n tj E n t n t(4.46)再利用另一個希爾伯特變換關系再利用另一個希爾伯特變換關系 ,可得可得:( ) ( ) ()nRE n t n t( )2( )( )nnnRRjR(4.48)4定義定義 的功率密度為的功率密度為:( )n t()( )exp()nnSRjd(4.49) 與與 的關系如下的關系如下:()nS()

4、nS4(),0()00,nnSS(4.50)因而具有圖因而具有圖4.6所示的功率譜密度所示的功率譜密度 的實信號的實信號 相應相應于具有圖于具有圖4.7所示的功率譜密度所示的功率譜密度 的解析信號的解析信號 .()nS( )n t()nS( )n t圖圖4.7 功率譜密度功率譜密度()nS因為因為:1( )()e2jnnRSd(4.51)故有故有:1(0)()2nnRSd(4.52)5所以所以, 的功率為的功率為:( )n t2111( )(0)Re(0)Re()222nnnE ntRRSd(4.53)但是但是 是實數是實數,因此有因此有:()nS21 11( )()(0)2 22nnE nt

5、SdR(4.54)最后最后,如果如果 是出于圖是出于圖3.7中的正交混合器的同相通道中的正交混合器的同相通道電壓電壓,那么正交混合器的輸入電壓將為那么正交混合器的輸入電壓將為 .因此混合因此混合器的總輸入噪音功率將為式器的總輸入噪音功率將為式(4.54)的二倍的二倍.( )n t2 ( )n t圖圖4.7 處理一個陣元的正交混合器處理一個陣元的正交混合器所以所以,總的陣元功率為總的陣元功率為:1( )(0)2nnSdR(4.55)6設入射信號在陣元設入射信號在陣元1 1和陣元和陣元2 2上上產生的信號分別為產生的信號分別為 和和 , ,則需要信號矢量為：則需要信號矢量為： (4.60)其中其中

6、 為陣元間的為陣元間的傳播時間延遲。傳播時間延遲。4.2.2 非零寬帶信號的陣列分析非零寬帶信號的陣列分析在自適應陣接受非零帶寬信號時，在自適應陣接受非零帶寬信號時，需要信號的帶寬對特需要信號的帶寬對特性影響不大，但干擾信號帶寬的影響很大。性影響不大，但干擾信號帶寬的影響很大。陣元間延時不同，陣元信號不再完全相關；陣元間延時不同，陣元信號不再完全相關；在信號帶寬范圍內完全匹配各陣元后的頻率響應很困難，在信號帶寬范圍內完全匹配各陣元后的頻率響應很困難，任何通道失配將進一步使陣元去相關。任何通道失配將進一步使陣元去相關。圖圖3.15 3.15 具有需要信號和干擾的二元陣具有需要信號和干擾的二元陣1

7、( )d t2( )dt12( )( )()( )ddd td tXd tTdtsinddLTc 傳播延遲傳播延遲7設需要信號具有如右圖所示的功率設需要信號具有如右圖所示的功率譜密度，在譜密度，在 帶寬內具有帶寬內具有 的功率譜密度。的功率譜密度。設設 為平穩(wěn)隨即過程，并定義其自相關函數為：為平穩(wěn)隨即過程，并定義其自相關函數為：協方差矩陣協方差矩陣 中的需要信號部分為：中的需要信號部分為：*( ) ( )( ) ()() ( )() ()dTdddddddt d tdt d tTE X XEdtTd tdtTd tTd2/ddpd(4.61)( )d t*( )( ) ()dRE dt d t

8、(4.62)則協方差矩陣則協方差矩陣 可以寫作：可以寫作： d(0)()()(0)dddddddRRTRTR(4.63)8其中其中 為相對帶寬：為相對帶寬： 由由(4.55)可知可知 為陣元的總的需要信號功率。由為陣元的總的需要信號功率。由(4.64)還可得：還可得：由于：由于：(4.64)1( )( )exp()2sinc(/ 2)exp()dddddRSjdpj (4.65)故有：故有： dp(4.66)(0)ddRpdB11()()222ddddddddTTB 正好為載頻上陣元間的相移，用正好為載頻上陣元間的相移，用 表示為：表示為： ()sinc(/2)exp()dddddddRTpT

9、jTddT據此可以將式據此可以將式(4.66)中的相關量寫為中的相關量寫為： ddddT(4.67)(4.68)dddB(4.69)9假設假設 ，則式，則式(4.70) 變?yōu)樽優(yōu)椋杭僭O需要信號為連續(xù)波，且假設需要信號為連續(xù)波，且 ，從上述的結果可以看出，從上述的結果可以看出將信號看作窄帶的必要條件是將信號看作窄帶的必要條件是 足夠小。對于陣元足夠小。對于陣元間距為半波長的間距為半波長的N元陣，窄帶條件為：元陣，窄帶條件為：將式將式(4.68) 代入式代入式(4.63)得到得到 ：(4.70)11()exp()21()exp()12ddddddddsincBjpsincBj0dB (4.71)2

10、ddpA1exp()TddUj其中：其中： (4.72)ddddTB或*1exp()exp()1dTddddddjpp U Uj dd1sinc(N-1)T 1210代入式代入式(4.64)中的中的 ，并利用，并利用(4.67) 和和(4.68) 可以得到：可以得到： 對于對于(4.75)給出的參考信號，其參考相關矢量為：給出的參考信號，其參考相關矢量為：(4.75)假設陣元假設陣元1和和2的需要信號輸出分別為的需要信號輸出分別為 ，故假設故假設 ( )()ddRr td tTp*( )( )()()()(1)ddddddddddtRSE X r tEd tTpdtTRTRRTp(4.76)d

11、R(4.77) 參考相關矢量參考相關矢量12( )()dw d tw d tT和/ 2exp()(1)/ 2exp(1)dddddddsincBjSRpsincBj 11定義定義 的自相關函數為：的自相關函數為： 其中其中 為在陣元間的延遲為在陣元間的延遲：(4.78)(4.80)12( )( )()( )iii ti tXi tTi t由此可以寫出干擾對協方差矩陣的貢獻：由此可以寫出干擾對協方差矩陣的貢獻：siniiLTc*( ) ( )( ) ()()() ( )() ()iTiiiiiiit i tit i tTE X XEitT i titT i tT (4.81)( )i t(4.8

12、2) 干擾信號干擾信號干擾信號矢量為：干擾信號矢量為： iT*( )( ) ()iRE it i t12與前面一樣，定義干擾在中心頻率處陣元間的相移和相與前面一樣，定義干擾在中心頻率處陣元間的相移和相對帶寬分別為對帶寬分別為：假設干擾具有與圖假設干擾具有與圖4.8 類似的平坦帶限功率譜密度則類似的平坦帶限功率譜密度則的自相關函數為：的自相關函數為：(4.84)( )()exp()2iidiRp sincj /iidB (4.85)由此式由此式(4.81)可以寫為可以寫為： (4.89)idiT( )i t(4.86)11()exp()21()exp()12iiiiiiiisincBjpsinc

13、Bj 13噪音矢量為：噪音矢量為：當當 時，時， 逼近矩陣：逼近矩陣：(4.90)0iB (4.91)1exp()TiiUj其中：其中： (4.92)i*1exp()exp()1iTiiiiiijppU Uj 熱噪音熱噪音12( )( )nn tXnt其對協方差矩陣的貢獻為：其對協方差矩陣的貢獻為：2nI (4.93)14將式將式(4.94)中的協方差矩陣和中的協方差矩陣和式式(4.77)中的參考相關矢量用中的參考相關矢量用規(guī)一化后，可以得到加權矢量的計算式：規(guī)一化后，可以得到加權矢量的計算式： 陣輸出的需要信號分量為：陣輸出的需要信號分量為：綜合式綜合式(4.70),(4.89),和和(4.

14、93)得到總的得到總的協方差矩陣為：協方差矩陣為：(4.94)(4.97)2(4.98)din 輸出信號功率輸出信號功率1122/WSS 下面由該需要信號分量計算需要信號的功率：下面由該需要信號分量計算需要信號的功率：12( )()TdddsX Ww d tw d tT15用同樣方法可以得到規(guī)一化的輸出干擾功率和熱噪音功用同樣方法可以得到規(guī)一化的輸出干擾功率和熱噪音功率：率： (4.100)(4.101)2*121222*11221222*1212111( ) 2221( )()( )()21(0)()()(0)212Re(/ 2)exp()2TdddddddddddddddddPE stW

15、E X XWWWEw dtw dtTw d tw d tTwRw w RTw w RTwRpwww w sinc Bj 以以 對式對式(4.100)進行規(guī)一化得：進行規(guī)一化得：2222*12121/2Re(/2)exp()2dddddPwww w sinc Bj222*12121/2Re(/2)exp()2iiiiiPwwww sinc Bj(4.102)16因帶寬因帶寬 出現在因子出現在因子 中，故中，故 越大，越大， 將會有更大影將會有更大影響。圖響。圖4.10繪出了繪出了 和和 時信號干擾噪音比與輸時信號干擾噪音比與輸入信噪的關系曲線，可以看出，帶寬引起的特性惡化只入信噪的關系曲線，可以

16、看出，帶寬引起的特性惡化只出現在出現在 和信號干擾噪音比大的情況。和信號干擾噪音比大的情況。結論：需要信號帶寬引起的性能惡化影響很小。結論：需要信號帶寬引起的性能惡化影響很小。(4.103)最后可以得到輸出的信號干擾噪音比為：最后可以得到輸出的信號干擾噪音比為：222/dinPSINRPP222121/2nPww(4.104)4.2.3 空間延遲引起的帶寬性能惡化空間延遲引起的帶寬性能惡化 無干擾情況無干擾情況dBddBddB0dB 0.5dB d17圖圖4.11表示對表示對： 和和 的典型情況繪出的一的典型情況繪出的一系列曲線。系列曲線。 從圖從圖4.11(a)可以看出，陣對干擾的可以看出，

17、陣對干擾的帶寬比對需要信號的帶寬更靈敏。帶寬比對需要信號的帶寬更靈敏。圖圖4.11(c)說明只要說明只要干擾帶寬有一點干擾帶寬有一點小的變化就會引起輸出干擾功率小的變化就會引起輸出干擾功率數量級的變化。數量級的變化。從圖從圖4.11(b) 和和4.11(d)可以看出，可以看出，對于小的對于小的 ，Pd和和Pn都隨都隨Bi的增加的增加而下降。原因：只要而下降。原因：只要輸出的干擾輸出的干擾功率增加，為了保持小的均方誤功率增加，為了保持小的均方誤差信號，就迫使陣的反饋降低加差信號，就迫使陣的反饋降低加權。權。 圖圖4.10需要信號帶寬的影響（無干擾）需要信號帶寬的影響（無干擾）0 ,0,0,ddB

18、 有干擾情況有干擾情況40idBd18dBdB圖圖4.11干擾信號帶寬的影響干擾信號帶寬的影響(a)(b)(c)(d)19圖圖4.12表示了信號干擾噪音比與表示了信號干擾噪音比與 的關系，該圖說明干擾信號越強，的關系，該圖說明干擾信號越強，隨帶寬性能惡化越嚴重。隨帶寬性能惡化越嚴重。 圖圖4.12d4.2.4 帶寬性能惡化的原因帶寬性能惡化的原因干擾信號帶寬對自適應陣性能影干擾信號帶寬對自適應陣性能影響更大的原因：響更大的原因：需要信號在陣的需要信號在陣的輸出端相加，干擾信號在陣的輸輸出端相加，干擾信號在陣的輸出端相減，因此對于干擾信號的出端相減，因此對于干擾信號的任何差別都很敏感。任何差別都

19、很敏感。現研究圖現研究圖4.13所示的陣，該陣被干擾信號視作濾波器。所示的陣，該陣被干擾信號視作濾波器。該濾波器該濾波器的傳輸函數為：的傳輸函數為：12( )exp()iHwwj T(4.105)20為了對消干擾，選擇適當的為了對消干擾，選擇適當的w1和和w2， 使傳輸函數在中心頻率上為使傳輸函數在中心頻率上為零：零： 圖圖4.13 陣被干擾當成濾波器陣被干擾當成濾波器()0dH因此因此，w1和和w2滿足：滿足：(4.106)12exp()diwwjT (4.107)故傳輸函數可以寫為：故傳輸函數可以寫為：2( )exp()exp()idiHwj TjT(4.108)傳輸干擾頻譜如圖傳輸干擾頻

20、譜如圖4.15所示。傳輸干擾功率為：所示。傳輸干擾功率為：21( )( )2iiPHSd(4.110)當當 時，時， 急劇上升。因此：干擾帶寬增加時，輸出干擾急劇上升。因此：干擾帶寬增加時，輸出干擾功率迅速增大。功率迅速增大。d( )H21時域理解：干擾信號到達兩不同陣元的時間各不相同，時域理解：干擾信號到達兩不同陣元的時間各不相同，引起了干擾信號輕微的去相關，該特點表現在引起了干擾信號輕微的去相關，該特點表現在 的非的非對角元素比對角元素小。在物理上此種去相關表現為不對角元素比對角元素小。在物理上此種去相關表現為不同陣元上干擾信號不相等，而且不能完全對消，因此干同陣元上干擾信號不相等，而且不

21、能完全對消，因此干擾帶寬越寬，兩陣元信號的差別就越大，相減之后的剩擾帶寬越寬，兩陣元信號的差別就越大，相減之后的剩余也越大。余也越大。4.2.5 通道失配引起的帶寬惡化通道失配引起的帶寬惡化在不同陣元后面匹配頻率響應困難；在不同陣元后面匹配頻率響應困難；兩陣元通道頻率響應之間的任何差別都將降低兩陣元通道頻率響應之間的任何差別都將降低兩通道兩通道上干擾間的相關，從而限制實現信號相減的能力；上干擾間的相關，從而限制實現信號相減的能力；實際中，精確地匹配兩陣元通道很困難，同軸線長度，實際中，精確地匹配兩陣元通道很困難，同軸線長度，接頭阻抗失配，雜散電容，放大器通帶特性變化等因素接頭阻抗失配，雜散電容

22、，放大器通帶特性變化等因素限制了陣的寬帶特性；限制了陣的寬帶特性；i22圖圖4.16 4.16 含通道失配濾波器的二元陣含通道失配濾波器的二元陣研究圖研究圖4.164.16所示二元陣。所示二元陣。( )jH：通道失配效應等通道失配效應等效濾波器的傳遞函效濾波器的傳遞函數。數。( )( )( )jjjztytnt- (4.111)1zzW S(4.112)*TzE Z Z *( )zEr tSZ2312( ),( )Tz tztZ(4.115)計算計算 和和 ：zzS定義：定義：*( )( )()ijx xijRE xt xt (4.116)若若i i= =j j，R R為自相關函數；若為自相關

23、函數；若i i j j，R R為互相關函數。為互相關函數。定義：定義：( )( )ijijjx xx xSRed (4.117)若若i i= =j j，S S為功率譜密度；若為功率譜密度；若i i j j，R R為交叉譜密度。為交叉譜密度。*1( )( )( )( )( )2ijijijx xE yt ytHHSd - (4.118)24*2( )( )( )( )ijijijE zt ztE yt yt (4.119)dinZZZZ(4.120) 若若 與與 相同，則相同，則 與與 將完全相同，將完全相同，干擾信號將被完全對消；反之，則對消性能惡化。干擾信號將被完全對消；反之，則對消性能惡化

24、。1( )H2( )H1( )y t2( )y t1( )1H2( )1( )H ( )cos()deET25( )( )( )ijijijdix xx xx xRRR 12( )( )()( )ddd td tXd tTdt1 1*( )( ) ()( )dx xdRE dt d tR 1 2*( )( ) ()()dx xdddRE dt d tTRT 2 1*( )() ()()dx xdddRE dtTd tRT 22*( )() ()( )dx xdddRE dtTd tTR 同樣求出：同樣求出： 1 1( )ix xR 261 1( )( )( )x xidSSS *1( )( )

25、( )( )( )2ijijijx xE yt ytHHSd *11( )( )(0)(0)diidE yt y tRRpp*211( )( )diE zt z tppedeT22221111zzdzizn (4.145)272eT定義波動的周期數為：定義波動的周期數為：2ddeTK(4.153)2edKT2ededKTB21zS同樣可得出相關向量：同樣可得出相關向量：1zzW STdds W Z(4.160)282*2222111( ) 22112TddddzdPE stEWZ ZWWW (4.161)222221/1/zddinziPSINRPPIWWWW(4.164)算例：算例：0,0.

26、01,50 ,0 ,2.0 ,10didieBBK40idB考察對于不同的通道間失配幅度考察對于不同的通道間失配幅度 E E 對對SINRSINR的影響。的影響。2930數值計算表明：若要數值計算表明：若要SINR的惡化小于的惡化小于1，則通帶內，則通帶內的波動小于的波動小于 ，或通道的匹配精度優(yōu)于，或通道的匹配精度優(yōu)于0.086dB；若干擾功率更高，結果將更壞。若若干擾功率更高，結果將更壞。若 ，則為使，則為使SINR的惡化小于的惡化小于1，通道的匹配精度小于，通道的匹配精度小于0.0026dB；1%70ddBu概括：概括：干擾信號的帶寬對自適應陣的影響比需要信號帶干擾信號的帶寬對自適應陣的

27、影響比需要信號帶寬的影響更大的原因寬的影響更大的原因： 需要信號在陣的輸出端相加，干擾信號在陣的輸出端相需要信號在陣的輸出端相加，干擾信號在陣的輸出端相減，對消結果對干擾信號的任何差別都是非常敏感的；減，對消結果對干擾信號的任何差別都是非常敏感的；非零帶寬的干擾信號，在陣元間的傳播延遲存在時使陣元非零帶寬的干擾信號，在陣元間的傳播延遲存在時使陣元之間變?yōu)槿ハ嚓P；之間變?yōu)槿ハ嚓P；通道特性中任何的失配也可能減小陣元間的干擾相關；通道特性中任何的失配也可能減小陣元間的干擾相關；干擾信號帶寬越寬，各陣元信號的差別就越大，在輸出端干擾信號帶寬越寬，各陣元信號的差別就越大，在輸出端就越不容易對消。就越不容易對消。 31對于從對于從 角入射的干擾信號，陣元間的相移為：角入射的干擾信號，陣元間的相