線性代數第二章行列式ppt課件

1、 第一節(jié) 行列式的定義 第二節(jié) 行列式的性質及其計算 第三節(jié) 矩陣的秩 第四節(jié) 克萊姆法則 11 11221112221 12112221221 12222112221 12122212111 ()0 2.1. 1 2.1 a xa xba aa axbab aa xa xba aa abab axa例： 設有二元一次線性方程組 ， 當時，二、三階行列式行列式的定義1111211 221 122221 12112221221 122112122211112211 2221221 1221 12122, a ba bxaaaaaa aaababaaaa aaabb aababbaaba設記號：則

2、： 11211 1122121 1222212221211 221 112112221 12112221 12121122211211121112212222122, , a xa xba xa xbbab aa ba bxxa aa aa aa aaaaaxxaaaaabaababb這時，方程組的解為用行列式表示：12121223132013021 ( 2)0 322,232 ( 2)3 313133221302 03 1323131332xxxxxx 例：解方程組的解解：利用行列式表示11 1122133121 122223311223312233113213211233212213313

3、223231 13223333121322233233111112132131220 a a aa aa xa xa xbaaa a aa a aa a aa a abbxa xa xba xa xa xbaaaaaaaaaaabx設有三元一次線性方程組 當時，方三階行列式程組有惟一解：11131112212321223133313211121311121322321222321222331323331323112233132333233, , aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbbbbbxxaaaa11233212112233122331132132 111213

4、21222213313223133132331112132122233 132333 a a aa a aaaaaaaaaaaaaaaaa aa a aa a aaaaaa aa階行列式 用對角線規(guī)則計算：111212122212 : det ijnnnnnnnAaAaaaaaaAaaaAn nmnn它對應一個數行列式是一個數任意一個 階矩陣（ ），將，稱為 的行列式， 記為注意：1） 矩陣 是的數表，而2) 矩陣可以只有方陣才有行列式：行數=列數有：行數列數 行數列數的矩陣沒有行列式階行列式的定義111212122212:det,detnniijnnnnijjijn Aaaaaaa Aaaa

5、ijnMna A = ijijijijijijijn aAaAAaA余子矩陣 對任意一個 階矩陣 ，的去掉第 行和第 列后的矩陣,是階矩陣的:的行列式記為，是階行-1余子式-1代數余子式(列式的-1): 階行列式的定義值 11111 1111112121 212123333204140231403140404, ( 1)43131102110101, ( 1)12121208, (14aaaAaaaAaaA AAA111233例如：矩陣的余子矩陣的余子式的 的余子矩陣的余子式的 的余子式的代數余子式代數余子式代數余子式 3 3201)81411111111111112121111111 det

6、 ()2 det = ( 1)1 nnnjjjjjAaaaanAAa AaAaAanAa 定義2.1階階對于矩陣的行列式定義為數對于(）行列式值矩陣 的定義為：11detnjj 上式稱第一行為行列式按的展開式。A111112121313221 det3054110 53 53 02 ( 1)( 2)( 1)( 1)( 1)1 -14 -14 120 ( 1)5 1( 2) 3 ( 1)5 4( 1) 3 1:0 42 ( 5)( 2) ( 23)( 1) 3591 11 21 3a Aa Aa A 計算例解 detAA11212212212211121111112333233434411112

7、2112223311112420000000000det 0000nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaAAAa Aaaaaaaaaaa aa aaaaaaaaaaa AA：求下三角矩的行列式例陣 2.2 行列式的性質及其計算定理定理 2.12.1 nn 矩陣 A 的行列式可按任意行或列展開式來計算. 按第 r 行的展開式為： 11221rrrrnnrnjjrrjrdet Aa Aa Aa Aa A 按第 s 列的展開式為 11221nnnisssssissisdet A a Aa Aa Aa A 4+23+1 13211232 D=110012121 D=( 1)2.6050

8、051321100=5( 1)532 計算行列式：例解1111111111111111 detdetdet det( 1)detA(), det det( 1)det( 1)detTnjjjjTTnnTjjjijjjjjjjnnnaannaa AAAAAAAAAAAA 設 是階方陣，則證:(對階數 用歸納法) 時成立.假設對階矩陣也成立，對 階矩陣將按展開：記 將 按展開定理2.2第 行第1列：11111111, AAdetAdetA detdetdetA , detdet 1 jTTTjjjjjTTjjAnAAAA而和都是階矩陣故證畢11111 000000000 D=00000001000

9、000000( 1)000000000000000( 1)( 1)2.8 nnnnnnnnbabaabaabababaDaabaababbabba 求 階行列式解：按 行展開：例1111111111111 (1) det(, , ) = det(, , ), , (1): jnjnjnjnjnnnjnnnnjnnAAAAAAAAkkAaaaaaaaaaaaakkk用一個數乘行列式的任一列（行），等于 用這個數乘此行列式，即這里，都是n 1列向量.上式就是證定:理2.3 1111 det(, ) = () det(, , )nniiiniinijjjjjjAAAaAa AAAAjkkkk按展列開

10、：第 11111111111111111111(2) det(,)det(,) = det(,) det()detjjnnnjnjnnnjnjjnnnjnnjjnnnjjnnAAAAAAaBCBbaacaabaacaabcaabCcanAA： 即：注意 1111111111(2):det(,)det(,)det(,)()det(,)det(,)., ,njnijijinjnijijinjjnijijijinnijijijijiijijnjnbcbcABAb AACAc AABCAbcAb Ac AAABAACAijijijij證對應的代數余子式相同,記為證畢 (1) (2) (3) 2.2 k

11、Am nkkAijijAikiAjkijkikijiijijijccccrcrrrri定義初等變換 非矩陣的是矩陣交換 的第 行和第 行： 第 列和第 列：的第 行乘于： 第 列 ：的第 行乘于數 加到第 行：第 列乘于數 加到第 列：零數11 : . (, ) (, ) 3 ,2.41 d3) nnAAAAAAAABAAnkiAjkkijjinijn交換行列式的兩行(列),行列式的.證明結論對行列式顯然成立 假設對階行列式成立. 設 經后存在列數 按第 列展開定理值變號2：階(1etnrkrkrAa A11111 det (1r) det) 1 detrkrknnrkrkrkrkrrrkrk

12、nnrkrkrkrkrrnrkrkrBb Ba BBAnAa AaBa BBBnA 階矩陣可由交換兩列得到（1111(1) () (2) D=det(,)(1) ,D=det(,)det(,) det(,)0(2) ijjijnijnniiniAAAAAAAAAAAAAAAAADDA ： 行列式有兩行 列,則行列式有兩行(列)，則證: 行列式由于則所以，相同行列式值=0成比例行列式值=由0推論111,D=det(,)det(,)det(,)0jinninjiiiiAAAAAkAkAAAAAkAAA于111 k , det(, )det(, ) 2.5+ det(, ) + iijijijjnj

13、njnrrk rAkAAkAAAAAAAAAA把行列式的某行（列）的 倍加到另一行（列）上（即） 行列定式理值不變11det(, ) + 0det(, ) ijnijnAAAAAAAA111111111111111ijnijjnttitjtnttitjtjtnnninjnnnninjnjnnaaaaaakaaaaaaaaakaaaaaaaaakaaajki列乘上 ，加入到第 列214151 2312311251348046. 20112011153316027846162 ( 1)1212111627205162 402051010rrrrD 例322223222232222311111112

14、3222322010092232223200102223222300099991919DD：計算解：例111212122212111211112121222212221212 (1)det ()=( 1) det detdet ()=1( 1) 2.11detnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnAnAAaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaAaaaaaaA 設 是 階矩陣，證明解：設（例） (2)det =0 detdet()( 1) detdetde2.1 t01TnAAAAAAAAAA 設 是奇數階反對稱矩陣， 證明解： 因為 是奇數階反對稱矩陣，則 所以，例121312131

15、11 (1)(1) (1)(1)000 (1)(2.1)0300nnccccccrrrrrrnab bbba bbnDbb baanbb bbanba bbDanbb baanbbbbabanbabab計算階行列式 解例12312341234123412341111122 02233331111111112201111)(2)(3)0223002133300031, 2, 3 0 xxxxxxxxxxxxxxxxaaaaxaaaxaaaxaaaxaaa解方程： ： （解為 用觀察法，當 取1，2，3時，行列式的值為零 例解法 解方程 1解法2: 例11111222221231113111232

16、1121111 ()1 1. . 221 . nnnnijj i nnnnnnra rrnraaaaakknaaaaaaaknaaaaaaaDD 證明范德蒙行列式1用歸納法： 當時，結論成立假設 時，結論成立 例 3.當 時221 12131122221 231 3112121221 231 310001111 nnra rnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaa aaa aaa aaa a2321311222232131121111()()()()()() ()()nnnnnnniijj i njj i naaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 由歸納假設：1111213

17、441916812764D ：例)34)(14)(13)(24)(23)(21 (121248111111112134121392741916141664812764HD 轉置33332222(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)12341111aaaaaaaaDaaaa：例222223333111112341(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)aaaaDaaaaaaaa 解：（）14232222333311114321(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)ccccaaaaaaaaaaaa3! 2!1!1212211111111112212222222212211221111111111211,2,110nnnnnnnnnnnnninnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnninaababa bbaababa bbaababa bbaabababba aaa 計算行列式，其中 ， 解原式例211111111121222222222111111111111nnnnnnnnnnnnnnbbbbaaaabbb