第一章第4節(jié)無窮小與無窮大ppt課件

1、無窮小與無窮大第四節(jié)一、無窮大一、無窮大二、無窮小三、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系三、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系四、無窮小與無窮大的關(guān)系四、無窮小與無窮大的關(guān)系五、小結(jié)及作業(yè)五、小結(jié)及作業(yè)一、無窮大一、無窮大例如：例如：31lim,3xx 時的無窮大量；時的無窮大量；就是當(dāng)就是當(dāng)則稱則稱331xx一般地一般地時時的的無無窮窮大大量量。為為當(dāng)當(dāng)則則稱稱若若xxxxfxfxxx00)(,)(lim)(121xxlim如如lim(23).xx 嚴(yán)格定義：嚴(yán)格定義：00 （無無論論多多么么大大），總總對對 M時時，或或使使得得當(dāng)當(dāng)）（或或)(,XxxxX 000,)(Mxf恒有恒有）時為無窮大量，）時為無窮大量

2、，（或（或當(dāng)當(dāng)則稱則稱xxxxf0)(,)(lim)(xfxxx0記記作作注意注意1.無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;不是無窮大。不是無窮大。如如100100010101limxx3.特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或5. 無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變但是無界變量未必是無窮大量未必是無窮大.認(rèn)認(rèn)為為極極限限存存在在切切勿勿將將)(lim.xfxx022lim tan,xx 2lim tan,xx 有關(guān)有關(guān)無窮大與自變量的變化無窮大與自變量的變化.

3、 4,11)(xxf如如是無窮大量是無窮大量時時當(dāng)當(dāng))(1xfx 無無窮窮大大量量不不是是時時當(dāng)當(dāng) )(2xfx 如如xxy11sin.,1sin1,0,但但不不是是無無窮窮大大是是一一個個無無界界變變量量時時當(dāng)當(dāng)例例如如xxyx), 3 , 2 , 1 , 0(221) 1 (0kkx 取取,22)(0 kxy.)(,Mxyk0充充分分大大時時當(dāng)當(dāng)), 3 , 2 , 1 , 0(21) 2(0kkx 取取, kxk充分大時充分大時當(dāng)當(dāng) kkxyk22sin)(但但.M 0不是無窮大不是無窮大無界，無界，.11lim11xx證證明明例例證證. 0 M,11Mx要使要使,11Mx只只要要,1M

4、 取取,110時時當(dāng)當(dāng)Mx .11Mx就有就有.11lim1xx所以所以.)(,)(lim:的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxfxx0011xy二、無窮小例如例如,)(lim0121xx時時的的無無窮窮小小量量；就就是是當(dāng)當(dāng)則則稱稱112xx一一般般地地時的無窮小量。時的無窮小量。為當(dāng)為當(dāng)則稱則稱若若xxxxfxfxxx000)(,)(lim)(例如例如,sinlim00 xx.sin時時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)0 xx, 01limxx.1時時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx, 0) 1(limnnn.) 1(時時的的無無窮窮

5、小小是是當(dāng)當(dāng)數(shù)數(shù)列列nnn注意注意1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).嚴(yán)格定義：嚴(yán)格定義：),()(000X或或，總總無無論論多多么么小小 恒恒有有）的的一一切切（或或使使當(dāng)當(dāng)xXxxx 00,)( xf）時為無窮小量，）時為無窮小量，（或（或當(dāng)當(dāng)則稱則稱xxxxf0)(,)(lim)(00 xfxxx記作記作不是無窮小。不是無窮小。如如8010是是無無窮窮小小無無意意義義。說說變變化化過過程程、在在沒沒有有指指明明自自變變量量的的)(3xf是無窮小”是無窮小”“如如xxf)(是錯的。是錯的。時時為為

6、無無窮窮小??；當(dāng)當(dāng)0)(xxxf時為無窮大；時為無窮大；當(dāng)當(dāng)xxxf)(也也不不是是無無窮窮大大；既既不不是是無無窮窮小小時時當(dāng)當(dāng),3)(xxxf時時的的無無窮窮小小量量。為為當(dāng)當(dāng)證證明明例例21122xx證證, 0 ,12 x要要使使21212xx由由,212 x只需只需即可，即可，即即221 x,2 取取時，時，則當(dāng)則當(dāng) 210 x,212)( xxf恒有恒有, 0)12(lim21xx故故時的無窮小量。時的無窮小量。為當(dāng)為當(dāng)即即2112xx三三.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證證必要性必要性,)(limAxfxx0設(shè)設(shè),)()(Axfx 令令,)(lim00 xxx 則則

7、有有).()(xAxf故故充分性充分性),()(xAxf 設(shè)設(shè),)(時時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中0 xxx )(lim)(limxAxfxxxx 00則則)(limxAxx 0.A 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是當(dāng)是當(dāng)0 xx 時的無窮小時的無窮小.意義意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮無窮小小);).(,)()(.xAxfxxf誤差為誤差為附近的近似表達(dá)式附近的近似表達(dá)式在在給出了函數(shù)給出了函數(shù)023.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)無窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理定理2 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)

8、和有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小仍是無窮小.證證,時的兩個無窮小時的兩個無窮小是當(dāng)是當(dāng)及及設(shè)設(shè)x 使得使得, 0, 0, 021 NN;21 時恒有時恒有當(dāng)當(dāng)Nx;22 時時恒恒有有當(dāng)當(dāng)Nx,max21NNN 取取恒恒有有時時當(dāng)當(dāng),Nx 22 , )(0 x 故故注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .是是無無窮窮小小，時時例例如如nn1, .11不不是是無無窮窮小小之之和和為為個個但但nn定理定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.1sinlimxxx如如03!sinlim2nnnn0 推論推論1 在同一過程中在同一過程

9、中,有極限的變量與無有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小窮小的乘積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.xxxxx1arctan,1sin,0,2時時當(dāng)當(dāng)例例如如都是無窮小都是無窮小四、無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理4 4意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論, ,都可歸結(jié)為關(guān)于無都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論窮小的討論. .,時時或或當(dāng)當(dāng)xxx0是是無無窮窮大大；，則則是是無無窮窮小小，且且若若)()()()xfxfxf101是是無無窮窮小小。是是無無窮窮大大，則則若若)()()xfxf12),(sin00 xx如如1(0);sinxx 21(3),9xx ).(3092xx思考題思考題若若0)( xf，且，且Axfx )(lim，問：能否保證有問：能否保證有0 A的結(jié)論？試舉例說明的結(jié)論？試舉例說明.思考題解答思考題解答不能保證不能保證.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx五、小結(jié)1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個定義兩個定義;四個定理四個定理;三個推論三個推論.2、幾點(diǎn)注意、幾點(diǎn)注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的無窮小與無窮大是相對于過程