命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件知識點(diǎn)與題型歸納

1、僅供個(gè)人參考高考明方向1. 理解命題的概念 2. 了解“若 p，則 q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析 四種命題 的相互關(guān)系3. 理解充分條件、必要條件與充要條件 的含義 .備考知考情常用邏輯用語是新課標(biāo)高考命題的熱點(diǎn)之一 ，考查形式 以選擇題為主，試題多為中低檔題目 ，命題的重點(diǎn)主要有兩個(gè)：一是命題及其四種形式 ，主要考查命題的四種形式及命題的真假判斷；二是以函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何中的線面關(guān)系等為背景考查充要條件的判斷 ，這也是 歷年高考命題的重中之重命題的 熱點(diǎn)是利用關(guān)系或條件求解參數(shù)范圍問題 ，考查考生的 逆向思維 .一、知識梳理 名師一號 P4知識點(diǎn)一命題及四種命題

2、1、命題的概念在數(shù)學(xué)中用語言、符號或式子表達(dá)的，可以 判斷真假的陳述句叫做命題 其中判斷為真 的語句叫真命題， 判斷為假的語句叫假命題注意：命題必須是陳述句 ，疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題。2四種命題及其關(guān)系(1) 四種命題間的相互關(guān)系(2) 四種命題的真假關(guān)系不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考兩個(gè)命題 互為逆否 命題，它們有 相同的真假性 ；兩個(gè)命題為 互逆命題 或互否命題 ，它們的 真假性無關(guān) 注意：(補(bǔ)充)1、一個(gè)命題不可能同時(shí)既是真命題又是假命題2、常見詞語的否定原詞語等于（ =）大于（ >）否定詞語不等于（）不大于（）原詞語都是至多有一個(gè)否定詞語不都是至少有兩個(gè)原詞語至少有一個(gè)任

3、意兩個(gè)否定詞語一個(gè)也沒有某兩個(gè)小于（ <）是不小于（）不是至多有 n 個(gè)或至少有 n+1 個(gè)且所有的任意的某些某個(gè)知識點(diǎn)二充分條件與必要條件1、充分條件與必要條件的概念（ 1）充分條件：p q 則 p 是 q 的充分條件即只要有條件 p 就能充分地保證結(jié)論 q 的成立，亦即要使 q 成立，有 p 成立就足夠了，即 有它即可 。（ 2）必要條件：p q 則 q 是 p 的必要條件pqqp即沒有 q 則沒有 p ，亦即 q 是 p 成立的必須要有的條件，即無它不可 。( 補(bǔ)充 ) （ 3）充要條件pq且 qp即 pq則 p 、 q 互為充要條件（既是充分又是必要條件） “ p 是 q 的充要

4、條件”也說成“ p 等價(jià)于 q ”、 “ q 當(dāng)且僅當(dāng) p ”等( 補(bǔ)充 ) 2、充要關(guān)系的類型（ 1）充分但不必要條件定義： 若 pq ，但 qp ，不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考則 p是 q 的充分但不必要 條件；（ 2）必要但不充分條件定義： 若 qp，但 pq，則 p是 q 的必要但不充分 條件（ 3）充要條件定義：若 pq，且 qp ，即 pq ，則 p 、 q互為充要條件；（ 4）既不充分也不必要條件定義：若 pq ，且 qp ，則 p 、 q互為既不充分也不必要 條件3、判斷充要條件的方法：名師一號 P6 特色專題定義法；集合法；逆否法（等價(jià)轉(zhuǎn)換法） 逆否法 - 利用互為逆否的兩個(gè)

5、命題的等價(jià)性集合法 -利用集合的觀點(diǎn)概括充分必要條件若條件 p 以集合 A的形式出現(xiàn)， 結(jié)論 q 以集合 B的形式出現(xiàn)，則借助集合知識， 有助于充要條件的理解和判斷（ 1）若（ 2）若（ 3）若（ 4）若A B ，則 p 是 q 的充分但不必要條件B A ，則 p 是 q 的必要但不充分條件A B ，則 p是 q 的充要條件A B，且 A B，則 p 是 q 的既不必要也不充分條件( 補(bǔ)充 ) 簡記作 -若 A、B 具有包含關(guān)系，則（ 1）小范圍是大范圍的 充分但不必要條件（ 2）大范圍是小范圍的 必要但不充分條件二、例題分析（一）四種命題及其相互關(guān)系例 1.(1)名師一號 P4對點(diǎn)自測 1命

6、題 “若 x， y 都是偶數(shù)，則 xy 也是偶數(shù) ”的逆否命題是 ()A若 xy 是偶數(shù)，則 x 與 y 不都是偶數(shù)B若 x y 是偶數(shù)，則 x 與 y 都不是偶數(shù)C若 xy 不是偶數(shù)，則 x 與 y 不都是偶數(shù)不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考D若 xy 不是偶數(shù)，則 x 與 y 都不是偶數(shù)答案C例 1.(2)名師一號 P5高頻考點(diǎn)例 1下列命題中正確的是 ()“若 a0，則 ab0”的否命題；“正多邊形都相似 ”的逆命題；“若 m>0，則 x2 xm 0 有實(shí)根 ”的逆否命題；1“若 x 32 是有理數(shù)，則 x 是無理數(shù) ”的逆否命題ABCD解析 :中否命題為 “若 a0，則 ab 0”，

7、正確；中逆命題不正確；中，1 4m，當(dāng) m>0 時(shí)，>0，原命題正確，故其逆否命題正確；中原命題正確故逆否命題正確答案B注意：名師一號 P5高頻考點(diǎn)例 1規(guī)律方法在判斷四個(gè)命題之間的關(guān)系 時(shí)，首先要分清命題的條件與結(jié)論 ，再比較每個(gè)命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系要注意四種命題關(guān)系的相對性 ，一旦一個(gè)命題定為原命題，也就相應(yīng)的有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”；判定命題為真命題時(shí)要進(jìn)行推理 ，判定命題為假命題時(shí)只需舉出反例即可對涉及數(shù)學(xué)概念的命題的判定要從概念本身入手例 1.(3) 名師一號 P4 對點(diǎn)自測 2(2014·陜西卷原命題為 “若1，z2 互為共軛復(fù)數(shù)，則|z

8、1)z| |z2| ”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是 ()A真，假，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考解析易知原命題為真命題，所以逆否命題也為真，設(shè) z1 34i，z243i，則有 |z1|z2|，但是 z1 與 z2 不是共軛復(fù)數(shù)，所以逆命題為假，同時(shí)否命題也為假注意：名師一號 P5 問題探究問題 2四種命題間關(guān)系的兩條規(guī)律(1)逆命題與否命題互為逆否命題；互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假(2)當(dāng)判斷一個(gè)命題的真假比較困難時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假同時(shí)要關(guān)注 “特例法 ”的應(yīng)用 例 2(1) ( 補(bǔ)充)（ 2011 山東文5

9、)已知 a， b， c R，命題 “若 ab c =3 ，則a2b2c2 的”否命題是（）3(A) 若 a+b+c3，則 a2b2c2<3(B) 若 a+b+c=3，則 a2b2c2<3 來源 XK(C) 若 a+b+c3，則 a2b2c2 3(D) 若 a2b2c2 3，則 a+b+c=3【答案】 A來【解析】命題 “若 p ，則 q ”的否命題是： “若p ，則 q ”例 2(2) ( 補(bǔ)充)命題： “若 xy0 ，則 x0 或 y0 ”的否定 是： _【答案】若xy0 ，則 x0 且 y0【解析】命題的否定只改變命題的結(jié)論。注意：命題的否定 與否命題的區(qū)別（二）充要條件的判斷

10、與證明例 1.(1) ( 補(bǔ)充 ) （07湖北）已知 p 是 r 的充分條件而不是必要條件， q 是 r 的充分條件， s 是 r 的必要條件， q 是 s的必要條件?，F(xiàn)有下列命題： s是 q 的充要條件； p 是 q 的充分條件而不是必要條件； r 是 q 的必要條件而不是充分條件； p是 s的必要條件而不是充分條件； r 是s的充分條件而不是必要條件，則正確命題序號是（）不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考A. B.C.D.答案: 注意：prqs1、利用定義判斷充要條件名師一號 P6特色專題方法一定義法定義法就是將充要條件的判斷轉(zhuǎn)化為兩個(gè)命題“若 p，則 q”與“若 q，則 p”的判斷，根據(jù)兩個(gè)命

11、題是否正確，來確定p 與 q 之間的充要關(guān)系p q 則 p 是 q 的充分條件； q 是 p 的必要條件2、利用逆否法判斷充要條件名師一號 P6特色專題方法三等價(jià)轉(zhuǎn)化法當(dāng)所給命題的充要條件不好判定時(shí)， 可利用四種命題的關(guān)系，對命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換 常利用原命題與逆命題的真假來判斷 p 與 q 的關(guān)系令 p 為命題的條件， q 為命題的結(jié)論，具體對應(yīng)關(guān)系如下：如果原命題真而逆命題假，那么 p 是 q 的充分不必要條件；如果原命題假而逆命題真，那么 p 是 q 的必要不充分條件；如果原命題真且逆命題真，那么 p 是 q 的充要條件；如果原命題假且逆命題假，那么 p 是 q 的既不充分也不必要條件簡而言

12、之 , 逆否法 -利用互為逆否的兩個(gè)命題的等價(jià)性例 1.(2) 名師一號 P6特色專題例 1(2014 ·北京卷 )設(shè) an是公比為 q 的等比數(shù)列則 “q>1”是“an為遞增數(shù)列 ”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【規(guī)范解答】若 q>1，則當(dāng) a1 1 時(shí)， an qn 1 ，an為遞減數(shù)列，所以 “q>1” ?/ “an為遞增數(shù)列 ”；不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考若 an 為遞增數(shù)列，則當(dāng)n1 n時(shí)，a11，q1 ，a222<1即 “an為遞增數(shù)列 ” “ ”故選D.? /q>1例 1.(3) 名師一號

13、P6特色專題例 2(2014 ·湖北卷 )設(shè) U 為全集 A， B 是集合，則 “存在集合C使得AC，B?U ”是“ B ”的()CAA充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【規(guī)范解答】如圖可知，存在集合C，使 AC，B ?UC，則有 AB .若 AB ，顯然存在集合 C.滿足 A C，B ?UC.故選 C.例 1.(4)名師一號 P4對點(diǎn)自測 5已知 p： 4<k<0，q：函數(shù) y kx2kx1 的值恒為負(fù)，則 p 是 q 成立的 ()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析 :4<k<0? k<

14、0， k2 4k<0，函數(shù) ykx2kx 1 的值恒為負(fù)，但反之不一定有 4<k<0，如 k0 時(shí)，函數(shù) ykx2kx 1 的值恒為負(fù)，即 p? q，而 q?/ p.可用定義或集合法注意：3、利用集合法判斷充要條件名師一號 P6特色專題方法二集合法涉及方程的解集、 不等式的解集、 點(diǎn)集等與集合相關(guān)的命題時(shí)，一般采用集合間的包含關(guān)系來判定兩命題之間的充要性具體對應(yīng)關(guān)系如下：不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考若條件 p 以集合 A的形式出現(xiàn)， 結(jié)論 q 以集合 B的形式出現(xiàn)，則借助集合知識， 有助于充要條件的理解和判斷（ 1）若 A B ，則 p 是 q 的充分但不必要條件（ 2）若

15、B A ，則 p 是 q 的必要但不充分條件（ 3）若 A B ，則 p是 q 的充要條件（4）若 AB，且 AB，則 p 是 q 的既不必要也不充分條件( 補(bǔ)充 ) 簡記作 -若 A、B 具有包含關(guān)系，則（ 1）小范圍是大范圍的 充分但不必要條件（ 2）大范圍是小范圍的 必要但不充分條件例 2. 名師一號 P5高頻考點(diǎn) 例 3函數(shù) f(x)log2x， x>0，2x a， x0 有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是 ()11A a0或 a>1B0<a<2C.2<a<1 D a<0log2x， x>0，解析 :因?yàn)閒(x) 2xa，x0 有且只有一

16、個(gè)零點(diǎn)的充要條件為 a0或 a>1.由選項(xiàng)可知，使 “a0或 a>1”成立的充分條件為選項(xiàng) D.注意：名師一號 P5高頻考點(diǎn)例 3規(guī)律方法有關(guān)探求充要條件的選擇題，解題關(guān)鍵是：首先，判斷是選項(xiàng)“推”題干，還是題干“推”選項(xiàng)；其次，利用以小推大的技巧，即可得結(jié)論務(wù)必審清題，明確“誰是條件”！此題選項(xiàng)是條件！練習(xí)：(補(bǔ)充)y 5 ，則 p 是 q 的已知 p : x 3 且 y2 ， q : x條件。答案 :既不充分條件也不必要條件不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考例 3. 名師一號 P6特色專題例 3已知命題 p：關(guān)于 x 的方程 4x2 2ax 2a 50 的解集至多有兩個(gè)子集， 命題

17、q：1mx1m，m>0，若 p 是q 的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍【規(guī)范解答】p 是q 的必要不充分條件，p 是 q 的充分不必要條件對于命題 p，依題意知 ( 2a)24·4(2a 5) 4(a2 8a 20) 0， 2a10，令 P a|2a10，Q x|1 mx1 m， m>0，由題意知 PQ，m>0，m>0，1m<2，或1 m2，1m 101m>10，解得 m9.因此實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 m|m9注意：(補(bǔ)充)凡結(jié)合已知條件 求參數(shù)的取值范圍是求滿足條件的等價(jià)條件即充要條件練習(xí)：(補(bǔ)充)已知 p :2x10;q:1mx1m(m0

18、) .若 p 是 q 的必要但不充分條件，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍解：p 是q 的必要但不充分條件即pq 且qp 等價(jià)于q p p q即 p是 q 的充分但不必要條件令 Ax2x10Bx 1mx1m(m 0)則 AB 即1m2m 91m解得10所以實(shí)數(shù) m的取值范圍是m m 9不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考1m2注： A 是 B 的真子集，須確保1m10中的等號不同時(shí)取得例4. ( 補(bǔ)充)求證：關(guān)于 x 的方程 ax2 2x10 至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是 a1.證明：充分性：當(dāng) a0 時(shí)，方程為 2x 1 0 的根為1x 2，方程有一個(gè)負(fù)根，符合題意當(dāng) a<0 時(shí)， 44a>0，方程

19、 ax22x 1 0 有兩個(gè)1不相等的實(shí)根，且 a<0，方程有一正一負(fù)根，符合題意當(dāng) 0<a1時(shí)， 44a0，2方程 ax2 2x 1 0 有實(shí)根，且a<0，1a>0故方程有兩個(gè)負(fù)根，符合題意2綜上：當(dāng) a1時(shí)，方程 ax 2x 1 0 至少有一個(gè)負(fù)根2必要性： 若方程 ax 2x10 至少有一個(gè)負(fù)根當(dāng) a 0 時(shí)，方程為 2x10 符合題意當(dāng) a0時(shí)，方程 ax22x10 應(yīng)有一正一負(fù)根或兩44a012個(gè)負(fù)根則 a<0或a<0.1a>0解得 a<0 或 0<a1.綜上：若方程 ax22x 1 0 至少有一負(fù)根，則 a1. 故關(guān)于 x 的方程 ax2 2x 10 至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是 a1.注意：(補(bǔ)充)證明充要條件 務(wù)必明確充分性 和必要性并分別給予證明練習(xí)： ( 補(bǔ)充 ) 已知 f ( x) 是定義在 R 上的函數(shù)，不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考求證： f (x) 為增函數(shù)的充要條件是任意的x1、 x2R,且 x1x2恒有