相似矩陣-華南農(nóng)業(yè)大學(xué)精品課程申報(bào)

1、相似矩陣相似矩陣 設(shè)設(shè) A和和B為為 n 階矩陣。如果存在階矩陣。如果存在n 階可逆矩陣階可逆矩陣P，使得使得 ，則稱，則稱A相似于相似于B，或說(shuō)，或說(shuō)A和和B相似相似 。 1P APB基本性質(zhì)基本性質(zhì)（1）反身性反身性 A相似于相似于A。（2） 對(duì)稱性對(duì)稱性 A相似于相似于B，則，則B相似于相似于A。（3） 傳遞性傳遞性 A相似于相似于B，B相似于相似于C，則，則A相似于相似于C。 定定 義義相似矩陣的性質(zhì)相似矩陣的性質(zhì)1P APB1P APB1PA PB11PP AP P AAB若若A和和B相似，則（相似，則（1） （2）( )( )R AR BAB證明（證明（1） 1P APB1()(

2、)R P APR B( )( )R AR B（2）1P APB1( )()tr Btr P AP1()( )tr APPtr A1P APBBE1P APE1()PAE P1PAE PAE（3）( )( )tr Atr B（4） AEBE證明證明證明證明（特征多項(xiàng)式相同）（特征多項(xiàng)式相同） （有相等的跡）（有相等的跡） 推論推論如果如果n階方陣階方陣A相似于對(duì)角形矩陣相似于對(duì)角形矩陣12n 則則 是是A的全部特征值。的全部特征值。12,n 一般方陣的對(duì)角化一般方陣的對(duì)角化 定理定理 n 階矩陣階矩陣A能相似于對(duì)角矩陣的充分必能相似于對(duì)角矩陣的充分必要條件是要條件是A有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)

3、線性無(wú)關(guān)的特征向量。12n 充分性充分性111,A nnnA ,111()()nnnA 1()nP記APP1P AP ,n1設(shè)方陣設(shè)方陣A的的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 對(duì)應(yīng)的特征值分別為對(duì)應(yīng)的特征值分別為 ，則，則,n1必要性必要性設(shè)設(shè)A相似于對(duì)角矩陣相似于對(duì)角矩陣1ndDd即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣B，使得，使得1B ABD1(,)nB1B ABDABBD11 1(,)(,)nnnAdd11 1,nnnAdAd由由B可逆便知：可逆便知： 都是非零向量，因而都是都是非零向量，因而都是A的特征向量，且的特征向量，且 線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。1,n1,n推論推論 如果如果n階方陣階

4、方陣A有有n個(gè)不同的特征值個(gè)不同的特征值 則則方陣方陣A相似于對(duì)角矩陣相似于對(duì)角矩陣1,n1n460350361A 例例 用相似變換化矩陣為對(duì)角形用相似變換化矩陣為對(duì)角形解解A的特征方程為的特征方程為460350361AE 2(2)(1) 得特征值為得特征值為1232,1 對(duì)于對(duì)于12, 可求得特征向量可求得特征向量1( 1,1,1) 123120110101P1120110121P 1200010001P AP對(duì)于對(duì)于231,可求得線性無(wú)關(guān)的特征向量可求得線性無(wú)關(guān)的特征向量23( 2,1,0) ,(0,0,1) 令令則則且且121nP AP112mmmmnAPP利用對(duì)角化計(jì)算矩陣的乘冪利用對(duì)

5、角化計(jì)算矩陣的乘冪3234A例例設(shè)設(shè)20A求解解 A的特征方程為的特征方程為3234AE(1)(6)特征值為特征值為121,611對(duì)應(yīng)的特征向量為對(duì)應(yīng)的特征向量為1(1, 1)26對(duì)應(yīng)的特征向量為對(duì)應(yīng)的特征向量為2(2,3)解齊次方程組解齊次方程組0AEX27660AE X解方程組解方程組202011006APP2012103211306115121213P110,06P AP11006APP令令則有則有因此因此定理定理設(shè)設(shè)A是是n階階對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣P,P,使得使得,P AP 其中其中是以是以A的的n個(gè)個(gè)特征值為特征值為對(duì)角元素對(duì)角元素的對(duì)角矩陣，的對(duì)角矩陣，

6、正交矩陣正交矩陣P P的列向量的列向量是是A A的特征值所順次對(duì)應(yīng)的單位正交特征向的特征值所順次對(duì)應(yīng)的單位正交特征向量量。對(duì)稱矩陣的對(duì)角化對(duì)稱矩陣的對(duì)角化例例用正交變換把下列對(duì)稱矩陣對(duì)角化用正交變換把下列對(duì)稱矩陣對(duì)角化222254245解解（）求方陣的特征值（）求方陣的特征值由由0AE得特征值得特征值1231,10（）求特征向量（）求特征向量310,對(duì)于對(duì)于121,對(duì)于對(duì)于0AE X解方程組解方程組122,1,0,2,0,1TT 得一個(gè)基礎(chǔ)解系得一個(gè)基礎(chǔ)解系解方程組解方程組100AE X得一個(gè)基礎(chǔ)解系得一個(gè)基礎(chǔ)解系31,2, 2T（）將特征向量組正交化、單位化（）將特征向量組正交化、單位化令令112,1,0T 2122111,12,4,5,5T 331,2, 2T111112,1,05Te222112,4,53 5Te333111,2, 23Te正交化正交化單位化單位化（）構(gòu)造矩陣，寫(xiě)出相應(yīng)的對(duì)角形矩陣（）構(gòu)造矩陣，寫(xiě)