數(shù)學-圓錐曲線要點

1、圓錐曲線相關(guān)要點整理一橢圓橢圓的第一定義平面內(nèi)與兩定點F、F的距離的和等于常數(shù)2a(2a|FF|)的動點P的軌跡叫做橢圓。即：PF+PF=2a其中兩定點F、F叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離FF叫做橢圓的焦距。橢圓的第二定義平面上到定點F距離與到定直線間距離之比為常數(shù)e(即橢圓的偏心率，e=c/a)的點的集合（定點F不在定直線上，該常數(shù)為小于1的正數(shù)）其中定點F為橢圓的焦點，定直線稱為橢圓的準線（該定直線的方程是x=a2/c或者y=a2/c)。切線與法線的幾何性質(zhì)定理1：設(shè)F1、F2為橢圓C的兩個焦點，P為C上任意一點。若直線AB切橢圓C于點P，則APF1BPF2。定理2：設(shè)F1、F2為橢圓C的兩

2、個焦點，P為C上任意一點。若直線AB為C在P點的法線，則AB平分F1PF2。標準方程在平面直角坐標系中，用方程描述了橢圓，橢圓的標準方程中的“標準”指的是中心在原點，對稱軸為坐標軸。橢圓的標準方程有兩種，取決于焦點所在的坐標軸：1）焦點在X軸時，標準方程為：x2/a2+y2/b2=1 (ab0)2）焦點在Y軸時，標準方程為：x2/b2+y2/a2=1 (ab0)其中a0，b0。a、b中較大者為橢圓長半軸長，較短者為短半軸長（橢圓有兩條對稱軸，對稱軸被橢圓所截，有兩條線段，它們的一半分別叫橢圓的長半軸和短半軸或半長軸和半短軸）當ab時，焦點在x軸上，焦距為2*(a2-b2)0.5，焦距與長.短半

3、軸的關(guān)系:b2=a2-c2 ,準線方程是x=a2/c和x=-a2/c又及：如果中心在原點，但焦點的位置不明確在X軸或Y軸時，方程可設(shè)為mx2+ny2=1(m0，n0，mn)。既標準方程的統(tǒng)一形式。橢圓的面積是ab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的參數(shù)方程是：x=acos ， y=bsin標準形式的橢圓在(x0，y0)點的切線就是 ： xx0/a2+yy0/b2=1一般方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (A.C不為0)各種相關(guān)計算公式：橢圓的面積公式S=(圓周率)ab(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長).或S=(圓周率)AB/4(其中A,B分別是橢圓的長軸,短軸的長).

4、橢圓的周長公式 1. 橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應(yīng)的準線的距離之比，設(shè)橢圓上點P到某焦點距離為PF，到對應(yīng)準線距離為PL，則e=PF/PL2. 橢圓的準線方程 x=a2/C3. 橢圓的離心率公式 e=c/a(e2c)4. 橢圓的焦準距：橢圓的焦點與其相應(yīng)準線(如焦點（c,0）與準線x=+a2/C)的距離,數(shù)值=b2/c5. 橢圓焦半徑公式 PF1=a+ex0 PF2=a-ex0 橢圓過右焦點的半徑r=a-ex 過左焦點的半徑r=a+ex6. 橢圓的通徑：過焦點的垂直于x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩交點A,B之間的距離，數(shù)值=2b2/a7. 點與橢圓位置關(guān)系 點M

5、（x0，y0） 橢圓方程x2/a2+y2/b2=1 (1).點在圓內(nèi)： x02/a2+y02/b21(2).點在圓上： x02/a2+y02/b2=1(3).點在圓外： x02/a2+y02/b218. 直線與橢圓位置關(guān)系y=kx+m x2/a2+y2/b2=1 由可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1相切=0相離0無交點相交0 可利用弦長公式：A(x1,y1) B(x2,y2)|AB|=d = (1+k2)|x1-x2| = (1+k2)(x1-x2)2 = (1+1/k2)|y1-y2| = (1+1/k2)(y1-y2)2二雙曲線雙曲線的第一定義 指一動點移動于一個平面上，與平面上兩

6、個定點F1,F2的距離之差的絕對值始終為一定值2a(2a小于F1和F2之間的距離即2a1表示的點集是雙曲線.注意:定點F要在定直線外 且 比值大于1.3.標準方程設(shè) 動點M(x,y),定點F(c,0),點M到定直線l:x=a2/c的距離為d,則由 |MF|/d=e1.推導出的雙曲線的標準方程為(x2;/a2;)-(y2;/b2;)=1其中a0,b0,c2;=a2;+b2;.這是中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線標準方程.而中心在原點,焦點在y軸上的雙曲線標準方程為:(y2;/a2;)-(x2;/b2;)=1.同樣的：其中a0,b0,c2;=a2;+b2;.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1、軌跡上一點的取值

7、范圍：xa,x-a（焦點在x軸上）或者ya,y-a（焦點在y軸上）。2、對稱性：關(guān)于坐標軸和原點對稱。3、頂點：A(-a,0)， A(a,0)。同時 AA叫做雙曲線的實軸且AA=2a.B(0,-b)， B(0,b)。同時 BB叫做雙曲線的虛軸且BB=2b.4、漸近線：焦點在x軸：y=(b/a)x. 焦點在y軸：y=(a/b)x.5、離心率：第一定義： e=c/a 且e（1，+).第二定義：雙曲線上的一點P到定點F的距離PF 與 點P到定直線(相應(yīng)準線)的距離d 的比等于雙曲線的離心率e.6、雙曲線焦半徑公式（圓錐曲線上任意一點P(x,y)到焦點距離）右焦半徑：r=ex-a 左焦半徑：r=ex+

8、a7、等軸雙曲線一雙曲線的實軸與虛軸長相等 即：2a=2b 且 e=2這時漸近線方程為：y=x（無論焦點在x軸還是y軸）8、共軛雙曲線雙曲線S的實軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S的虛軸是雙曲線S的實軸時，稱雙曲線S與雙曲線S為共軛雙曲線。幾何表達：S：(x2/a2)-(y2/b2)=1 S：(y2/b2)-(x2/a2)=1特點：（1）共漸近線（2）焦距相等（3）兩雙曲線的離心率平方后的倒數(shù)相加等于19、準線： 焦點在x軸上：x=a2/c 焦點在y軸上：y=a2/c10、通徑長：（圓錐曲線（除圓外）中，過焦點并垂直于軸的弦）d=2b2/a11、過焦點的弦長公式：d=2pe/(1-e2cos2)

9、 或 2p/sin2 p為焦點到準線距離，為弦與X軸夾角三拋物線定義平面內(nèi),到一個定點F和不過F的一條定直線l距離相等的點的軌跡(或集合)稱之為拋物線。另外 , F 稱為拋物線的焦點, l 稱為拋物線的準線。定義焦點到拋物線的準線的距離為焦準距,用p表示p0.以平行于地面的方向?qū)⑶懈钇矫娌迦胍粋€圓錐，可得一個圓，如果傾斜這個平面直至與其一邊平行，就可以做一條拋物線。標準方程拋物線 拋物線的標準方程有四個： 右開口拋物線:y2=2px左開口拋物線:y2=2px上開口拋物線:x2=2py下開口拋物線:x2=2pyp為焦準距（p0）在拋物線y2= 2px中，焦點是 ( p/2，0），準線l的方程是x

10、= - p/2； 在拋物線y2= - 2px 中，焦點是 (-p/2，0），準線l的方程是x= p/2； 在拋物線x2= 2py 中，焦點是 (0，p/2），準線l的方程是y= - p/2； 在拋物線x2= - 2py中，焦點是 (0，-p/2），準線l的方程是y= p/2；相關(guān)參數(shù)(對于向右開口的拋物線)離心率:e=1焦點:(p/2,0)準線方程l:x=-p/2頂點:(0,0)通徑：2P ；定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點并垂直于軸的弦定義域（X0） 值域（YR)解析式求法以焦點在X軸上為例知道P（x0,y0)令所求為y2=2px則有y02=2px02p=y02/x0拋物線為y2=(y02/x0)x相關(guān)結(jié)論過拋物線y2=2px(p0)焦點F作傾斜角為的直線L,L與拋物線相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有 x1*x2 = p2/4 , y1*y2 = P2 焦點弦長：|AB| = x1+x2+P = 2P/(sin)2 （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P