數(shù)學(xué)思想來武裝,巧思妙解放光芒--

1、選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分數(shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫高中數(shù)學(xué)競賽系列講座之二一數(shù)學(xué)思想來武裝，巧思妙解放光芒-一道數(shù)學(xué)競賽題的一題多解一 、引子 北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽有著悠久的歷史。近十幾年來，北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽是在初二和高一兩個年級進行。1990年起分為初試和復(fù)試，初試以普及為主，復(fù)試則適度提高。命題緊密結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實際，活而不難，趣而不怪，巧而不偏，力求體現(xiàn)出科學(xué)性、知識性、應(yīng)用性、啟發(fā)性、趣味性的綜合統(tǒng)一。數(shù)學(xué)競賽活動是備受青少年喜愛的一種數(shù)學(xué)課外活動。通過有趣味、有新意、有水平的題目，開發(fā)智力，引導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。數(shù)學(xué)競賽活動是落實數(shù)學(xué)素質(zhì)的一種好形式。北京

2、市十幾年的數(shù)學(xué)競賽積累了一批閃耀著數(shù)學(xué)思想和智慧的好題目，引導(dǎo)學(xué)生研究賞析它，是一件賞心閱目、幸福愉快的事情。下面，筆者嘗試通過一道北京市高一年級數(shù)學(xué)競賽的初試題的一題多解，與讀者共同享受數(shù)學(xué)智慧的燦爛陽光。二、題目北京市1992年數(shù)學(xué)競賽高中一年級初試“二、填空題”第4題如下：4、若 sin2x+cosx+a=0 有實根，試確定實數(shù)a的取值范圍是什么？題目短小干煉，滿分8分。三、試解方程中的求知數(shù)是x，出現(xiàn)了x的兩種三角函數(shù)Sinx，Cosx.。而Sin2x=1-cos2x,好了，變一變，原方程就化成了cos2x-cosx-1-a=0如果原方程中 x有實根，則cosx就會有對應(yīng)的實數(shù)，令t=

3、 cosx，這樣方程就化成了t2-t-1-a=0因此，方程就應(yīng)該有實數(shù)根，因此它的判別式=(-1)2-4(-1-a)=4a+50,所以 a-(5/4)故實數(shù)a的取值范圍是a-(5/4)這個答案對嗎？當a-(5/4)時，一定有0，方程一定有實數(shù)根，問題是cosx=t有實根x就一定有實數(shù)根嗎？注意到余弦函數(shù)的值域是cosx-1，1，故有實根并不能保證cosx=t一定在-1，1內(nèi)，可見上面的解答是不嚴密的，思維不縝密的同學(xué)可能就會在這里出錯。這是試題設(shè)置的一個隱蔽的陷阱。四、反思怎么辦呢？如果能保證方程的實數(shù)解t在區(qū)間-1，1內(nèi)，則最簡三角方程cosx=t就必有實數(shù)解x=2karccost, 好，這

4、樣一來，問題就轉(zhuǎn)化為當方程有位于-1，1中的實數(shù)根時，求實數(shù)a的取值范圍什么？由方程得：故當a-(5/4),1-(5/4),-1=-(5/4),1時，原方程有關(guān)于x的實數(shù)根。以上的方法用到了一元二次方程求根公式，用到了解兩個無理不等式組成的不等式組，用到了集合的交集和并集。心里感覺踏實了，但運算較繁雜，有沒有更好一些的方法？五、改進如果記方程的左端為f(t),即f(t)=t2-t-1-a則方程有-1，1中的實數(shù)解就等價于二次函數(shù)f(t)=t2-t-1-a 的圖象拋物線在-1，1內(nèi)與t軸有交點。數(shù)轉(zhuǎn)化為形，以形助數(shù)。好，試試看。當拋物線與t軸在-1，1內(nèi)只有一個交點時，當且僅當f(-1)f(1)

5、0即(1-a)(-1-a)0, 解之，有 -1a1； 當拋物線與t軸在-1，1內(nèi)有兩個交點時，當且僅當由得，當a-1,1-(5/4),1=-(5/4),-1時，y=f(t)與t軸在-1，1內(nèi)有交點，方程有實數(shù)解。由于f(1)、f(-1)，等的計算比較簡便，上述解法是不是比較簡捷一點？六、換個角度看問題詩曰：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中?！蔽覀兦懊娴慕忸}思路，都把注意力注意在了“方程有實根”上，跳不出“方程有實根”的如來佛手心，“五”中的解法就滲透了數(shù)形轉(zhuǎn)換，已屬巧解。如果換個角度看問題，將方程移項變形得a=cos2x-cosx-1視a為x的函數(shù)，用逆向思維來

6、思考：x有實數(shù)解，則有cosx -1,1,a=cosx-(1/2)2-(5/4)當cosx=(1/2)時有最小值a最小=-(5/4)；當cos=-1時有最大值a最大=(9/4)-(5/4)=1，故函數(shù)值域為 a-(5/4),1。反之，當a在-(5/4)，1中取值時，cosx一定在-1，1中取值，x一定有實數(shù)解與之對應(yīng)，你看，a的取值范圍不是就求出來了嗎？七、變式西游記中的孫悟空神通廣大，能八九七十二變。好的數(shù)學(xué)題也會有一些“變式”。從上面的解法中你還能想到些什么？你能改編出一個相應(yīng)的題目嗎？試試看。無獨有偶，九年后的新千年第一年，2001年，北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高中一年能初賽試題“二、填空題”

7、的最后一題即第8題如下：“8、若關(guān)于x的方程式sin2x+sinx+a=0 有實數(shù)解，求實數(shù)a的最大值與最小值的和”讀者諸君欣賞至此，是不是會“會心地笑了?！卑恕⑹净仡櫼陨辖忸}過程，我們用到了方程的思想，等價轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化的思想，變換角度看問題及逆向思維的思想。思想出智慧，智慧生妙解，妙解巧思令人陶醉。比較以上各種解法，你得到了什么樣的啟示？ 高中數(shù)學(xué)競賽系列講座北京十二中劉文武第一講集合與容斥原理數(shù)學(xué)是一門非常迷人的學(xué)科，久遠的歷史，勃勃的生機使她發(fā)展成為一棵枝葉茂盛的參天大樹，人們不禁要問：這根大樹到底扎根于何處？為了回答這個問題，在19世紀末，德國數(shù)學(xué)家康托系統(tǒng)地描繪了一個能

8、夠為全部數(shù)學(xué)提供基礎(chǔ)的通用數(shù)學(xué)框架，他創(chuàng)立的這個學(xué)科一直是我們數(shù)學(xué)發(fā)展的根植地，這個學(xué)科就叫做集合論。它的概念與方法已經(jīng)有效地滲透到所有的現(xiàn)代數(shù)學(xué)?？梢哉J為，數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容都是在“集合”中討論、生長的。集合是一種基本數(shù)學(xué)語言、一種基本數(shù)學(xué)工具。它不僅是高中數(shù)學(xué)的第一課，而且是整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。對集合的理解和掌握不能僅僅停留在高中數(shù)學(xué)起始課的水平上，而要隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進程而不斷深化，自覺使用集合語言(術(shù)語與符號)來表示各種數(shù)學(xué)名詞，主動使用集合工具來表示各種數(shù)量關(guān)系。如用集合表示空間的線面及其關(guān)系，表示平面軌跡及其關(guān)系、表示方程(組)或不等式(組)的解、表示充要條件，描述排列組合，用集合的性質(zhì)進行

9、組合計數(shù)等。一、 學(xué)習(xí)集合要抓住元素這個關(guān)鍵。遇到集合問題，首先要弄請：集合里的元素是什么。集合學(xué)習(xí)中，新名詞新概念多。如集合、元素、有限集、無限集、列舉法、描述法、子集、真子集、空集、非空集合、全集、補集、交集、并集等。新關(guān)系新符號多，如屬于、不屬于、包含、包含于、真包含、真包含于、相等、不相等、相交、相并、互補(、 、N、N、Z、Q、R、CsA、I、)等，這些新概念新關(guān)系，多而抽象。在這千頭萬緒中，應(yīng)該抓住“元素”這個關(guān)鍵，因為集合是由元素確定的，“子、全、補、交、并、空”等集合也都是通過元素來定義的。集合中元素的特征即“確定性”，“互異性”、“無序性”也就是元素的性質(zhì)。集合的分類(有限集

10、與無限集)與表示方法(列舉法與描述法)也是通過元素來刻畫的。元素是集合的基本內(nèi)核，研究集合，首先就要確定集合里的元素是什么。例1設(shè)AXX=a2+b2,a、bZ，X1，X2A，求證：X1X2A。分析：A中的元素是什么？是自然數(shù)，即由兩個整數(shù)a、b的平方和構(gòu)成的自然數(shù)，亦即從0、1、4、9、16、25，n2，中任取兩個(相同或不相同)數(shù)加起來得到的一個和數(shù)，本題要證明的是：兩個這樣的數(shù)的乘積一定還可以拆成兩個自然數(shù)的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(X)2+(Y)2，X,YZ證明：設(shè)X1a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、dZ則X1X2(a2+b2)(c2+d2) a2c2+b

11、2d2+b2c2+a2d2 a2c2+2acbd+b2d2+b2c2-2bcad+a2d2 (ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、dZ，故ac+bd、bc-adZ，從而X1X2A說明：本題的證明中根據(jù)A中元素的結(jié)構(gòu)特點使用了配方法和“零”變換(02abcd-2abcd)。命題的結(jié)論說明集合A對于其中元素的“”運算是封閉的。類似的有：自然數(shù)集合N對于“”、“”運算是封閉的整數(shù)集合Z對于“”、“”、“”運算是封閉的有理數(shù)集合Q對于“”、“”、“”、“”運算是封閉的(除數(shù)不能是零)實數(shù)集合對于“”、“”、“”、“”四則運算是封閉的復(fù)數(shù)集合對于“”、“”、“”、“”、乘方、開方運算都是封閉的

12、。例2已知集合M直線，N拋物線，則MN中元素的個數(shù)為()(A)0(B)0,1，2其中之一(C)無窮 (D)無法確定分析M中的元素為直線，是無限集；N中的元素為拋物線，它也是無限集。由于兩集合中的元素完全不同，即既是直線又是拋物線(曲線)的圖形根本不存在，故MN，選(A)說明若想當然地誤認為M中的元素是直線上的點，N中的元素是拋物線上的點，當誤認為是判斷直線與拋物線的位置關(guān)系即相交，相切、相離時，會選(B)；例3已知AY|YX24X3，XR，BYYX22X2，XR求AB先看下面的解法：解：聯(lián)立方程組YX24X3YX22X2消去Y，得2X22X10 因為(2)242140，方程無實根，故AB 說明

13、上述解法對嗎？畫出兩拋物線的圖象：YX24X+3=(X-1)(X-3),開口向上，與X軸交于(1,0)、(3,0)，對稱軸為X2，縱截距為3；YX22X2(X1)23，開口向下，與X軸交于(13,0)、(13,0)，對稱軸為X1，觀察可知，它們確實沒有交點，但這解答對嗎，親愛的讀者？圖111回頭審視兩集合A、B，它們并不是由拋物線上的點構(gòu)成的點集。兩集合中的元素都是實數(shù)Y，即當XR時相應(yīng)的二次函數(shù)的函數(shù)值所組成的集合，即二次函數(shù)的值域集合。故由YX24X3(X2)211，YX22X2(X1)233，可知AYY1，BYY3，它們的元素都是“實數(shù)”，從而有MNY1Y3你看，認清集合中元素的構(gòu)成是多

14、么重要！二、 集合中待定元素的確定例4已知集合MX，XY，lg(xy)，S0，X，Y，且MS，則(X1/Y)(X21/Y2)(X20021/Y2002)的值等于()，(據(jù)1987年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題改編)。分析：解題的關(guān)鍵在于求出X和Y的值，而X和Y分別是集合M與S中的元素。這一類根據(jù)集合的關(guān)系反過來確定集合元素的問題，要求我們要對集合元素的基本性質(zhì)即確定性、異性、無序性及集合之間的基本關(guān)系(子、全、補、交、異、空、等)有本質(zhì)的理解，對于兩個相等的有限集合(數(shù)集)，還會用到它們的簡單性質(zhì)：(a) 相等兩集合的元素個數(shù)相等；(b) 相等兩集合的元素之和相等；(c) 相等兩集合的元素之積相等；對

15、于本題，還會用到對數(shù)、絕對值的基本性質(zhì)。解：由MS知，兩集合元素完全相同。這樣，M中必有一個元素為0，又由對數(shù)的性質(zhì)知，0和負數(shù)沒有對數(shù)，所以XY0，故X，Y均不為零，所以只能有l(wèi)g(XY)0，從而XY1MX，1，0，S0，X，1/X再由兩集合相等知當X1時，M1,1，0，S0,1，1，這與同一個集合中元素的互異性矛盾，故X1不滿足題目要求；當X1時，M1,1，0，S0,1，1，MS，從而X1滿足題目要求，此時Y1，于是X2K11/Y2K12(K0,1，2，)，X2K1/Y2K2(K1,2，)故所求代數(shù)式的值為0例5設(shè)AXX2+aX+b=0BXX2+CX+15=0若AB3,5，AB3，求a,b

16、,c。分析：由方程的根的定義及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)，結(jié)合、的 概念入手，可以尋得解題的突破口。解：由AB3 知3B,由韋達定理知此時，B3,5AB又由AB3知5A；而(AB)A(AB)，故A3，即二次方程X2aX+b0有二等根X1X23，根據(jù)韋達定理，有X1X26a，X1X29b所以，a6，b9，c8三有限集元素的個數(shù)(容斥原理)請看以下問題：開運動會時，高一某班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，問同時參加田徑比賽和球類比賽的

17、有多少人？只參加游泳一項比賽的有多少人？解決這個問題需要我們研究集合元素的個數(shù)問題(請讀者參閱高中教材數(shù)學(xué)第一冊(上)P23P23閱讀材料“集合元素的個數(shù)”。)為此我們把有限集合A的元素個數(shù)記作card(A)可以證明：(1) card(AB)card(A)card(B)card(AB)；(2) card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC)如下圖所示：由圖131，有card(AB)=+=(+)+(+)-card(A)+card(B)-card(AB)card(Cu(AB)=card(U)-card(A

18、B)=card(U)-card(A)-card(B)+card(AB)又由圖132，有card(ABC)=+(+)+(+)+(+)-(+)-(+)-(+)+card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC)現(xiàn)在我們可以來回答剛才的問題了：設(shè)A參加游泳比賽的同學(xué)，B參加田徑比賽的同學(xué)，C參加球類比賽的同學(xué)則card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(ABC)=28且card(AB)=3，card(AC)=3，card(ABC)=0由公式得281581433card(BC)+0即card(BC)=3

19、所以同時參加田徑和球類比賽的共有3人，而只參加游泳比賽的人有15339(人) 例6計算不超過120的合數(shù)的個數(shù)分析1：用“篩法”找出不超過120的質(zhì)數(shù)(素數(shù))，計算它們的個數(shù)，從120中去掉質(zhì)數(shù)，再去掉“1”，剩下的即是合數(shù)。解法1：120以內(nèi)： 既不是素數(shù)又不是合數(shù)的數(shù)有一個，即“1”； 素數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109、113、共30個。所以不超過120的合數(shù)有12013089(個)(附：篩法：從小到大按順序?qū)懗?120的所有自然數(shù)：先劃掉1，保

20、留2，然后劃掉2的所有倍數(shù)4,6，120等；保留3，再劃掉所有3的倍數(shù)6,9117、120等；保留5，再劃掉5的所有倍數(shù)10,15，120；保留7，再劃掉7的所有倍數(shù)，這樣，上面數(shù)表中剩下的數(shù)就是120以內(nèi)的所有素數(shù)，這種方法是最古老的尋找素數(shù)的方法，叫做“埃斯托拉篩法”)說明：當n不很大時，計算1n中的合數(shù)的個數(shù)困難不大；但當n很大時，利用篩法就很困難、很費時了，必須另覓他途。分析2受解法1的啟發(fā)，如果能找出1n中質(zhì)數(shù)的個數(shù)m，則n1m就是不超過n的合數(shù)的個數(shù)。由初等數(shù)論中定理：a是大于1的整數(shù)。如果所有不大于a的質(zhì)數(shù)都不能整除a，那么a是質(zhì)數(shù)。因為120121112，12011，所以不超過

21、120的合數(shù)必是2或3或5或7的倍數(shù)，所以只要分別計算出不超過120的2、3、5、7的倍數(shù)，再利用“容斥原理”即可。解法2：設(shè)S1a13120,2a；S2b1b120,3b；S3c13120,5c；S4=d1d120,7d，則有：card(S1)120/2=60，card(S2)120/340，card(S3)120/524，card(S4)120/717；(n表示n的整數(shù)部分，例如2,42，)card(S1S2)120/2320，card(S1S3)120/2512，card(S1S4)120/278，card(S2S3)120/358，card(S2S4)120/375，card(S3S4

22、)120/573，card(S1S2S3)120/2354，card(S1S2S4)120/2372，card(S1S3S4)120/2571，card(S2S3S4)120/3571，card(S1S2S3S4)120/23570card(S1S2S3S4)card(S1)card(S2)card(S3)card(S4)card(S1S2)card(S1S3)card(S1S4)card(S2S3)card(S2S4)card(S3S4)card(S1S2S3)card(S1S2S4)card(S1S3S4)card(S2S3S4)card(S1S2S3S4)(60402417)-(20+1

23、2+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0141-568932，3，5，7是質(zhì)數(shù)93489即不超過120的合數(shù)共有89個。四、 有限集合子集的個數(shù)問題：(1) 集合a一共有幾個子集？(2) 集合a，b一共有幾個子集？(3) 集合a,b,c一共有幾個子集？(4) 集合a,b,c,d一共有幾個子集？(5) 猜想集合a1,a2，an一共有幾個子集？(6) 利用上述猜想確定符合下列條件的集合M的個數(shù)：1,2M1,2，3,4，5,6，7,8，9,10。以上諸問題都牽涉到有限集合子集的個數(shù)問題。有限集合a的子集有：，a；共兩個有限集合a,b的子集有：，a，b，a,b；共422個；有限集合a,b,c的子集

24、有：；a，b，c；a,b，a,c，b,c；a,b,c；823個；有限集合a,b,c,d的子集有：；a，b，c，d；a,b，a,c， a,d，b,c，b,d，c,d；a,b,c，a,b,d，a,c,d，b,c,d； a,b,c,d；共1624個。這里，a,b,c,d的子集可以分成兩部分，一部分不包括d，是a,b,c的子集；另一部分包括d，是a,b,c中每一個子集與d的并集。循此思路，注意到2，422，823，1624的規(guī)律，可以猜想有限集合a1,a2，an的子集共有2n個，其中非空子集有2n1個；真子集也有2n1個，非空真子集有2n112n2個。利用上述猜想，問題(6)中集合M的個數(shù)應(yīng)當有282

25、56個。例7一個集合含有10個互不相同的兩位數(shù)。試證，這個集合必有2個無公共元素的子集合，此兩子集的各數(shù)之和相等。分析：兩位數(shù)共有10,11，,99，計99990個，最大的10個兩位數(shù)依次是90,91，,99，其和為945，因此，由10個兩位數(shù)組成的任意一個集合中，其任一個子集中各元素之和都不會超過945，而它的非空子集卻有21011023個，這是解決問題的突破口。解：已知集合含有10個不同的兩位數(shù)，因它含有10個元素，故必有2101024個子集，其中非空子集有1023個，每一個子集內(nèi)各數(shù)之和都不超過909198999450或ax2+bx+c0或bx+c0或y0或ax2+bx+c0， a0 f

26、min=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a) fmax= maxf (p),f (g) fmin=minf (p),f (g) fmax=maxf (p),f (g) a0 fmax=f (-b/2a)=(4ac-b2)/4a) fmin=minf (p),f (g) 例5 當X為何值時，函數(shù) f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-an)2取最小值。 解：f (x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2+an)x+(a12+a22+an2) 當x=(a1+a2+an)/n)時，f(x)有最小值。 評注：1994年全國普通高考命制了如下一個填空題，在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到a1、a2、，an共n個數(shù)據(jù)。我們規(guī)定的所測物理量的“最佳近似值”a是這樣一個量：與其它近似值比較，a與各數(shù)據(jù)差的平方和最小，依此規(guī)定，從a1,a2,an推出a=讀者從例5的解答中，能否悟到解決此題的靈感？ 例6（1982年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題） 已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k為實數(shù))的兩個實數(shù)根，x12+x22的最大值是： （A）19；（B