錄像機計數(shù)器的用途

1、§2 錄 像 機 計 數(shù) 器 的 用 途問題的提出老式的錄像機上都有計數(shù)器，而沒有計時器，一些錄音機也有類似的情況這種計數(shù)器有什么用呢，讓我們從這樣一個問題開始：一盤標明180分鐘的錄像帶從頭轉(zhuǎn)到尾，用時184分鐘，計數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061在某一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的一段還能否錄下一小時的節(jié)目 如果計數(shù)器讀數(shù)隨著錄像帶的轉(zhuǎn)動是均勻增加的，那么由于4450已經(jīng)顯著地超過6061的三分之二，即錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過兩小時多，所以顯然不能再錄一小時的節(jié)目但是，只要你耐心地觀察一下就會發(fā)現(xiàn)，讀數(shù)并非均勻增長，而是先快后慢，這樣，回答上面的問題就需要知道計數(shù)

2、器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過的時間之間的關(guān)系本節(jié)的目的是要建立表述這個關(guān)系的數(shù)學模型問題的分析 計數(shù)器的讀數(shù)是怎樣變化的，它的增長為什么先快后慢，回答這些問題需要了解計數(shù)器的簡單工作原理(圖1) 錄像帶有兩個輪盤，一開始錄像帶纏滿的那個輪盤不妨稱為左輪盤，另一個為右輪盤計數(shù)器與右輪盤的軸相連，其讀數(shù)與右輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)成正比開始時右輪盤是空的，讀數(shù)為0000，隨著帶子從左向右運動，右輪盤半徑增加，使得轉(zhuǎn)動越來越慢，計數(shù)器讀數(shù)的增長也就越來越慢 在錄像帶的轉(zhuǎn)動過程中，與微型電機相連的主動輪的轉(zhuǎn)速當然是不變的，錄像帶靠壓輪壓在主動輪上，所以錄像帶的運動速度(線速度)為常數(shù)(想想看，如果錄像帶通過磁頭時的速度不是

3、常數(shù)，我們看到的畫面會是怎樣的)，而右輪盤隨著半徑的增加，其轉(zhuǎn)速當然越來越慢 我們要找出計數(shù)器讀數(shù)(記作)與錄像帶轉(zhuǎn)過時間(記作)之間的關(guān)系，即建立一個數(shù)學模型模型的假設(shè) 根據(jù)以上分析作如下的假設(shè)： 1錄像帶的線速度是常數(shù)； 2計數(shù)器讀數(shù)與右輪盤轉(zhuǎn)的圈數(shù)(記作)成正比，為比例系數(shù)；3錄像帶的厚度(加上纏繞時兩圈間的空隙)是常數(shù)，空右輪盤半徑為； 4初始時刻時，。模型的建立 圖2 時間t與計數(shù)器讀數(shù)n的關(guān)系建立與之間的關(guān)系有多種途徑，一種很自然的想法是計算纏繞在右輪盤上的錄像帶的長度當右輪盤轉(zhuǎn)到第圈時其半徑為，周長為，圈的總長度恰等于錄像帶轉(zhuǎn)過的長度，即考慮到比小得多，并代人容易算出 （2）這就

4、是我們需要的數(shù)學模型另一種更簡單的辦法是考察右輪盤面積的增加，它應該等于錄像帶轉(zhuǎn)過的長度與厚度的乘積，即由此同樣可以得到(2)式 讀者還可以考慮如何用微積分的辦法得到(2)式 思考 對(1)，(3)式仔細推算一下，會發(fā)現(xiàn)由(1)得到的結(jié)果與(2)式有微小差別，你能解釋這個差別嗎? 要利用模型(2)由計算，必須先確定其中的參數(shù)一種確定參數(shù)的辦法是進行測量或調(diào)查，你能設(shè)計測量的辦法嗎?實際上，從建模的目的看，我們并不需要知道這4個參數(shù)的每一個，如果把 (2)式改記作 那么只需要確定兩個參數(shù)即可進行，和之間的計算 (4)式表明，和的關(guān)系不是線性的(這是通過觀察和分析就知道的)，而是二次的(這只能通過

5、數(shù)學建模確定)與的這種函數(shù)關(guān)系可描繪成圖2的曲線，直觀地表明隨著時間的增加，計數(shù)器讀數(shù)的增長是越來越慢的參數(shù)估計 理論上，有兩組數(shù)據(jù)就能算出(題目中已經(jīng)給出一組：，所以再測試一組數(shù)據(jù)即可)而實際上，由于測試有誤差，一般應該用足夠多的測試數(shù)據(jù)作擬合為此，用這盤錄像帶測得了一組數(shù)據(jù)，如表2我們用其中一部分數(shù)據(jù)()按照最小二乘法估計算出，得到，代人(4)式即得到需要的數(shù)學模型 模型的檢驗 上面得到的模型除了要用參與擬合的數(shù)據(jù)作統(tǒng)計檢驗外(統(tǒng)計檢驗將在第10章作簡單介紹)，還應該用未參加建模的數(shù)據(jù)(如用表2中的另一部分數(shù)據(jù))進行檢驗可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)果也相當好 模型的應用 對于本節(jié)開始提出的問題，當n=4450時，由(4)式算出分鐘，剩下的一段帶子尚可錄下分鐘的節(jié)目當然，這個問題由上面的實測數(shù)據(jù)就能回答()時不到120分鐘，顯然還可錄下1小時節(jié)目)，但是建立數(shù)學模型(4)式的意義在于，不僅在使用這盤錄像帶時，對于任意的計數(shù)器讀數(shù)可以算出時間，而且揭示了“與之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這個普遍規(guī)律當錄像帶型號改變(或其它因素變化)時，只需再測量一批數(shù)據(jù)來估計參數(shù)，模型(4)式仍然能用評注 從提出日常生活中的一個實際問題人手，通過觀察計數(shù)器讀數(shù)先快后