函數(shù)中的任意和存在性問題(整理).

1、函數(shù)中的恒成立、恰成立和能成立問題教學(xué)目標(biāo)：結(jié)合具體函數(shù)，討論關(guān)于任意與存在性問題的一般解題方法過程與方法通過研究具體函數(shù)及其圖象，將任意與存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域關(guān)系或最值關(guān)系問題：已知函數(shù)() 22, 0,1 ，函數(shù)22fxk xxg( x) 3x2(kk1) x 5, x 1,0，k當(dāng) k6 時(shí)，對(duì)任意 x1 0,1 ，是否存在 x21,0 ，g( x2 )f (x1 ) 成立 .若 k2 呢？變式 1：對(duì)任意 x1 0,1 ，存在 x2 1,0 ， g( x2 )f ( x1 ) 成立，求 k 的取值范圍 .f (x) 的值域是 g( x) 的值域的子集即可 .變式 2：存在x10,1

2、x2 1,0，使得21)成立，求 k 的取值范圍 .g (x) f ( xg( x) 的值域與 f ( x) 的值域的交集非空 .變式 3：對(duì)任意 x10,1 ，存在 x2 1,0 ，使得 g ( x2 )f (x1 ) 成立，求 k 的取值范圍 .gmin ( x)f min (x)小結(jié)： 對(duì)函數(shù)中的存在性與任意性問題:相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的關(guān)系，不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值大小.例 1：（ 1）已知 f (x)x22 xa ,對(duì)任意 x1,), f ( x)0恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。x（ 2）已知 f ( x)x22xa) ， f ( x) 的值域是 0，），求實(shí)數(shù) a 的取值范

3、圍。x，對(duì)任意 x 1,分析 ：本題第（1）問是一個(gè)恒成立問題，由于x 1， f ( x)x22x a0 恒成立，則此問題等x價(jià)于(x)x 22xa0(x1)恒成立，又等價(jià)于x1時(shí)( x) 的最小值0恒成立 .由于(x)(x1)2a1x1時(shí)為增函數(shù)，所以min ( x)(1)a3，于是 a 3 0 ，在a3.第（ 2）問是一個(gè)恰成立問題，即當(dāng) x1時(shí)， f ( x) 的值域恰為 0,) ,與（ 1）不同的是，（ 1）是 x 1時(shí)，f (x)0x1時(shí)， f (x) 的取值為 2,)，3,) ，-等等.恒成立，因此允許在而 f ( x) 的值域?yàn)?0,) ，則當(dāng) x1時(shí)， f ( x) 只能取 0

4、,) ，而不能是其他.f ( x)x22xaxa2 ，當(dāng) a0 時(shí)，由于 x1， f ( x)xa3 與其值域?yàn)閤x2x0, ) 矛盾，所以有 a0.注意到當(dāng) a0時(shí)，函數(shù)yx, ya 都是1,)上的增函數(shù)， 因而f ( x)也是1, ).上的增函數(shù) 于是xf (x) 在 x1時(shí)的最小值為f (1)，令 f (1)0，即 1a20 ，得 a3.1小結(jié)：1、解恒成立題 的基本思路是：若xD , f ( x)A 在 D 上恒成立，等價(jià)于f ( x) 在 D 上的最小值f min ( x)A 成立，若 f (x)B 在 D 上恒成立，則等價(jià)于f (x) 在 D 上的最大值f max ( x)B成立.

5、2、解決恰成立問題的的基本思路是：若x D , f ( x)A在 D 上恰成立，等價(jià)于f (x) 在 D 上的最小值 f min ( x)A ，若 xD ,f ( x)B 在 D 上恰成立，則等價(jià)于f (x) 在 D 上的最大值f max ( x) B .恰成立問題：若不等式在區(qū)間上恰成立 , 則等價(jià)于不等式的解集為；若不等式在區(qū)間上恰成立 , 則等價(jià)于不等式的解集為.例 2：函數(shù) f xx2x a2a（ 1）定義域?yàn)閰^(qū)間 1,2 ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .（ 2）在區(qū)間 1,2 上有意義，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；分析：（ 1）由題意知不等式x2xa2a0 的解集為 -1,2，即 x2xa2

6、a0的解集為 -1,2 ，則 x2xa2a0的兩根為 -1，2 則 a2a2 a1或 a 2（ 2）由題意知，不等式x2xa2a0 在-1,2 上恒成立即 : 22,1,2恒成立22aaxaa(xx) max , x 1,2x xx2x( x1)21x1或 x2 時(shí)， ( x2x)max2 a2a 2a1 或 a224能成立問題（存在） ：若在區(qū)間上存在 實(shí)數(shù)使不等式成立 ,則等價(jià)于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在 實(shí)數(shù)使不等式成立 ,則等價(jià)于在區(qū)間上的.練習(xí) 1.如已知不等式在實(shí)數(shù)集上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍 _練習(xí) 2. 已知兩函數(shù)f ( x) 8 x2 16xk , g( x ) 2x35x24 x ， k 為實(shí)數(shù)。（）對(duì)任意的x3,3 ，有 f ( x)g( x) 成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍；（）對(duì)任意的x13,3， x2 3,3 ，有 f ( x1 )g( x2 ) 成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍；（）對(duì)任意的x2 3,3，總存在x1 3,3 ，有f ( x1 )g( x2 ) 成立，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍。練習(xí) 3.已知函數(shù)f