隨機行走於布朗運動間

1、隨機行走於布朗運動間文/梁鈞泰前言1905年愛恩斯坦發(fā)表有關(guān)布朗運動的理論研究論文1，迄今剛一個世紀。在這百年間，布朗運動以致相關(guān)的隨機行走(random walk)問題的研究有了長足之發(fā)展，不僅對物理各領(lǐng)域有深遠的影響，也在其他科學諸如化學、地理、生物，以致經(jīng)濟學中被廣泛應(yīng)用。在本文裡，我將就本人所熟悉的統(tǒng)計物理範疇，對布朗運動及隨機行走的相關(guān)研究作一個簡略的介紹。由於本文旨在提起讀者的興趣，所以這絕非全面的介紹，也不是對相關(guān)文獻深入的探討。也許讀者可以把這篇短文看成是我們對布朗運動某些相關(guān)課題的隨機行走吧。I. 愛恩斯坦關(guān)係式在愛恩斯坦的論文中，一個既簡單又漂亮的結(jié)果是愛恩斯坦關(guān)係式。我們

2、可以輕易地把它推導出來。考慮布朗先生在顯微鏡下看到水中不規(guī)則運動的花粉:理論物理學家總喜歡把事物簡化到不能再簡化的地步，所以我們就把花粉看成是一顆點粒子(point particle)，如圖(一)所示。這粒子不太小，約有幾百微米吧，理應(yīng)遵守牛頓的古典力學。但如果我們關(guān)心的運動比粒子受周遭的流體份子所碰撞的頻率慢很多時，而且該粒子處於黏滯、過度阻尼(overdamped)的情況下，朗玆凡方程(Langevin equation)才是更恰當而有效的描述.為求簡潔，我們只考慮一維空間的運動。式子中是外力，m 是mobility，而x 則是噪音項。比方說，在重力場下。噪音x 代表的正是那些流體份子施於

3、粒子的快速而不規(guī)則的作用力，亦即heat bath與粒子的相互作用。在我們關(guān)心的時間尺度下，x 平均值為零，且不具時、空的關(guān)聯(lián)性：,其中表示熱力平均。朗玆凡方程所對應(yīng)的Fokker-Planck方程是，其中是粒子在時間時出現(xiàn)在的機率。粒子在外力作用下的平均速度自然是，在沒有外力時則自由擴散。擴散行為可從Fokker-Planck方程獲得:對初始條件求解，可得到。因此，即擴散系數(shù)就是。另一方面，在時Fokker-Planck方程的穩(wěn)定解是，但這分佈同時必須附合熱力平衡的波玆曼(Boltzmann)分佈，因此得到。這就是粒子在溫度為的熱力環(huán)境下進行布朗運動時所遵守的愛恩斯坦關(guān)係式。它的物理含意很清

4、楚: 一個物理熱力學系統(tǒng)在不太大的外力作用下產(chǎn)生的線性反應(yīng)(linear response,在此即)來自該系統(tǒng)的熱力漲落(fluctuation，在此即)，而漲落本身則來自與heat bath的交互作用。這種關(guān)係可以在非常廣泛的物理系統(tǒng)中找到，而且並不局限於古典力學系統(tǒng)。普遍存在於熱平衡系統(tǒng)的漲落·耗散定理(fluctuation-dissipation theorem)也可被視為愛恩斯坦關(guān)係式的推廣。圖（一）典型的布朗運動的軌跡在上面我們把粒子視為點粒子，但實際上粒子的大小是一個重要的參數(shù)。對半徑為的球狀粒子而言，從Navier-Stoke方程的解可知，其中是周遭流體的黏性系數(shù)。所

5、以粒子愈大擴散愈慢。在水中，一顆十奈米的粒子的擴散系數(shù)是，微米大小的則是，而一公尺大小的物體就只有了。此外粒子的布朗運動的速度關(guān)聯(lián)函數(shù)跟噪音的相同：，這說明了我們在顯微鏡下看到粒子的運動是不規(guī)則的，且在不同瞬間互不相干。最後，有兩點值得一提: 1.質(zhì)量沒有出現(xiàn)在上述的結(jié)果裡，因此微小粒子(如生物份子)的慣性對其在溶液中的運動來說並不重要。 2.在這裡我們談的速度是一個宏觀的平均量(相對於份子碰撞事件而言)，所以它的平方不是熱能，而是擴散系數(shù)：。份子碰撞事件的瞬間速度才是對應(yīng)於熱能的速度。II. 布朗運動的步伐上面提到的朗玆凡方程所描繪的是大尺度、長時間的情況，但到底這是相對於甚麼呢？這等於問布

6、朗運動的微觀特徵長度和特徵時間是甚麼。不同大小與質(zhì)量的粒子所進行的布朗運動有不一樣的特徵長度和特徵時間。一個粗略的圖像化的想法是：在水中的粒子因受溫度為的水份子的碰撞，獲得的動能，但是液體的阻力很快就把這能量消耗掉。阻力是，積分得，再一次積分得 。這意味著粒子不斷因與流體的份子碰撞而交替加速又停頓，此過程的特徵距離和時間就是和。假如流體中有不只一顆而是很多顆粒子，我們需要知道的不是每顆粒子的位移，而是粒子的密度場。當外力為零時，滿足擴散方程式。如果把空間與時間離散化，使得兩者的基本單位是與，我們便可以推導出一個直覺且意料中的關(guān)係：。代入上一段落的結(jié)果，我們再一次發(fā)現(xiàn)。另外，如上面提到的，熱力速

7、度(thermal velocity)是，因此我們可以把微觀特徵長度和時間用一些可測量的宏觀量來表達：，(在這裡像2等數(shù)字因子皆被忽略)。 圖（二）一維隨機行走的時、空軌跡圖III. 隨機行走與漲落的介面為簡單起見，我們繼續(xù)考慮一維的隨機行走。以時、空為縱、橫座標作圖，我們可以得到像圖(二)的關(guān)係。上述I的結(jié)果顯示對有限時間t 來說，該行走在縱軸測量到的平均寬度平方是。走的愈久，偏離原點的機率愈大；如上面提到，該機率呈高斯分佈。如果橫軸被換成另一空間座標，則得到一個在二維空間中漲落的一維介面(interface)。推而廣之，在空間維度為下我們一般考慮的是一個維的介面。對一個二元熱力學系統(tǒng)而言(

8、如二元混合液、順磁性系統(tǒng)、或伊申模型Ising model等)，在臨界點以下的低溫區(qū)域中最重要的自由度便是像這樣分隔兩個不同相的介面的熱力漲落2。這種自由度一般稱為毛細波(capillary waves)，而介面分隔異相，看來像振動的鼓面，所以分析這自由度的理論模型稱為鼓面模型(drumhead model)。介面具有表面張力，因此介面漲落使能量升高，在小振幅的情況下能量趨近，其中是介面在位置的振幅。對應(yīng)的漲落幅度自然是，其中是晶格常數(shù)，是系統(tǒng)的(即介面的)大小。對不同維度而言，可以是有限的，也可以是隨著而發(fā)散的。在，與的關(guān)係是，正相當於布朗運動中與的關(guān)係。在近代統(tǒng)計物理中，有許多針對介面運動

9、的研究，例如描述類似晶體生長的KPZ方程，或者對有不同拓樸和幾何性質(zhì)的薄膜(如細胞膜)的性質(zhì)的探討等。因為牽涉廣泛，對此感興趣的讀者請參考這方面的著作3。IV. 布朗運動與功率譜(Power spectrum)布朗運動的關(guān)係式說明該運動本身並沒有宏觀的特徵尺度。就圖(二)而言，這表示如果我們以不同的放大率來看，我們將無法分辨放大之前後。換言之，對應(yīng)的功率譜遵守單純的指數(shù)定律(power law)，即，其中是頻率，而指數(shù)在隨機行走中等於2。圖（三）顯視分別等於0、1、2時所對應(yīng)的時間序列(time series)。對於任一時間序列，我們總可以計算它對應(yīng)的功率譜。人們逐漸發(fā)現(xiàn)世界上有很多人為或自然

10、產(chǎn)生的時間序列，它們對應(yīng)的功率譜都沒有明顯的特徵頻率，而且經(jīng)常4。具有這特性的現(xiàn)象有很多，包括河流的水位、恆星的亮度、地震的訊號、股票指數(shù)的起伏、甚至古典音樂的音量等。如何去合理解釋這普適性便成為理論物理學家的挑戰(zhàn)。於是，Per Bak等人在1987年提出即使在缺乏明顯可調(diào)控的參數(shù)下也能產(chǎn)生指數(shù)定律的機制，並稱之為自組臨界性(self-organized criticality)5。他們更同時提出一個圖像化而直覺的沙堆模型(sandpile model)來闡釋該概念。雖然事隔如今已快二十年，還是有不少人繼續(xù)做這方面的研究。圖（三）三個典型的時間序列: 白噪音、1/f噪音、和布朗運動V. 結(jié)論縱

11、使上述各項發(fā)展跟愛恩斯坦探討布朗運動的工作不盡有直接的因果關(guān)係，但不論就原理或現(xiàn)象(phenomenology)來看，似乎都脈絡(luò)可尋。所牽涉的概念和計算技巧，即使對當今的物理學以致其他學科(如生物學6)還持續(xù)發(fā)揮其影響力。 參考文獻1. A. Einstein, Ann. Phys. (Leipzig) 17, 549 (1905).2. D. Jasnow, Critical Phenomena at interfaces, Rep. Prog. Phys. 47, 1059-1132 (1984).3. Albert-Laszlo Barabási, H. E. Stanley,

12、 Fractal Concepts in Surface Growth, Cambridge University Press (1995); S.A. Safran, Statistical Thermodynamics of Surfaces, Interfaces, and Membranes, Addison-Wesley Publishing Co. (1994).4. W. Press, Flicker noise in astronomy and elsewhere, Comments Astrophys. Vol. 7, No. 4, pp.103-119 (1978).5. H.J. Jensen, Self-Organized Criticality, Cambridge Lecture Notes in