隨機(jī)實(shí)驗(yàn)和隨機(jī)變量

1、第5章 隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)變量教學(xué)目的與要求：通過本章教學(xué)，使學(xué)生理解什么是隨機(jī)試驗(yàn)以及由它所定義的隨機(jī)變量，并了解統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要任務(wù)之一便是把數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量（或稱之為無限總體）的樣本去推斷它的這種或那種特征。作為后續(xù)章中所介紹的統(tǒng)計(jì)推斷方法所必需的預(yù)備知識(shí)，學(xué)生通過本章的學(xué)習(xí)還應(yīng)了解與隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)變量有關(guān)的屬于概率論范疇的若干基本概念。重點(diǎn)內(nèi)容與難點(diǎn)：1隨機(jī)試驗(yàn)及事件、概率等基本概念 2隨機(jī)變量的概念： 離散型隨機(jī)變量的分布列和連續(xù)性隨機(jī)變量分布的圖示 3數(shù)學(xué)期望和方差的定義及數(shù)學(xué)性質(zhì)§5.1 隨機(jī)試驗(yàn)一、 隨機(jī)現(xiàn)象1概念：在給定的條件下不能確切預(yù)見其結(jié)果的現(xiàn)象叫作隨機(jī)現(xiàn)象。2隨機(jī)現(xiàn)

2、象的產(chǎn)生：因大量的偶然因素存在且無法控制，使現(xiàn)象的結(jié)果不能確定和不能完全預(yù)見的。于是，現(xiàn)象的隨機(jī)性便產(chǎn)生了。3隨機(jī)現(xiàn)象有一定規(guī)律性的。在給定條件下在規(guī)律值附近的數(shù)值發(fā)生的可能性較大，離規(guī)律值越近則發(fā)生的可能性越大，離規(guī)律值越遠(yuǎn)則發(fā)生的可能性越小。統(tǒng)計(jì)學(xué)就是要通過對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的有限次的觀察結(jié)果去探尋它的各種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。二、 隨機(jī)試驗(yàn)1概念：對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀測(cè)稱作隨機(jī)試驗(yàn)。2種類：隨機(jī)試驗(yàn)有可重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)和不可重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)兩種。前者是指可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)；后者是指不能在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)。要注意，隨機(jī)現(xiàn)象或隨機(jī)試驗(yàn)的概念都是同給定的一組條件聯(lián)系在一起的。給定的一組條件發(fā)生了改變

3、，就變成了另外的隨機(jī)現(xiàn)象和另外的隨機(jī)試驗(yàn)。三、 事件(一)事件的種類1 概念：隨機(jī)試驗(yàn)的每一種結(jié)果或隨機(jī)現(xiàn)象的每一種表現(xiàn)稱作隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱為事件。2 種類：一個(gè)事件如果不能再被分解為兩個(gè)或兩個(gè)以上事件，稱作基本事件?；臼录窃囼?yàn)的最基本結(jié)果：每次試驗(yàn)必出現(xiàn)一個(gè)基本事件，任何兩個(gè)基本事件都不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)。由兩個(gè)或兩個(gè)以上基本事件所組成的事件稱做復(fù)合事件。一項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)的所有基本事件的集合，稱作該隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件空間。必然事件是每次試驗(yàn)都一定出現(xiàn)的事件，記作。任何一次試驗(yàn)都不可能出現(xiàn)的事件稱為不可能事件，記作Ø。（二）事件的關(guān)系和運(yùn)算（四）概率（一）什么是概率用0與1之間的數(shù)值來表明事件

4、A在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小，通常記作P（A）。這樣的數(shù)值叫作事件A的概率。對(duì)于概率，通?？捎袃煞N解釋：（1）某個(gè)系統(tǒng)的一種內(nèi)在特性，這個(gè)特性不依賴于我們對(duì)該系統(tǒng)的知識(shí)；（2）對(duì)某一陳述相信程度的度量。事件A的頻率為 (5.1)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n較小時(shí)，頻率的數(shù)值有較大的波動(dòng)；當(dāng)n充分大時(shí)，頻率數(shù)值的波動(dòng)明顯減弱，并且隨著n的增大，頻率會(huì)趨于穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近。我們便說頻率Pn（A）的這個(gè)穩(wěn)定值p是 事件A的概率。即： (5.2)按照對(duì)概率的這種解釋，當(dāng)然只能在可重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)的范圍內(nèi)討論問題。概率作為對(duì)某一陳述相信程度的度量，叫作主觀概率。（一） 可以直接計(jì)算概率的兩種場(chǎng)合 有兩種可以直接計(jì)算概

5、率的場(chǎng)合。一種叫作古典型概率，另一種叫作幾何型概率。 1古典型概率如果一項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)的全部基本事件總數(shù)是有限的，并且各個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都相同，事件A由若干基本事件所組成，則A的概率可用下式計(jì)算 (5.3)式中分子亦稱作有利于事件A的基本事件個(gè)數(shù)。 2幾何型概率如果隨機(jī)試驗(yàn)可模擬為向區(qū)域上隨機(jī)投點(diǎn)。并且（1）這個(gè)區(qū)域有明確界限，可以作長(zhǎng)度、面積、體積的幾何度量。（2）隨機(jī)點(diǎn)落在這個(gè)區(qū)域任何一點(diǎn)上的可能性都相同，也就是說，對(duì)于中的某一區(qū)域g，隨機(jī)點(diǎn)落在g內(nèi)的概率與g的幾何度量成正比，同它的形狀以及在中的位置無關(guān)。對(duì)于這種隨機(jī)試驗(yàn)，如果以A表示隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)域g中這一事件，則其概率可用下式計(jì)算 (

6、5.4) 事件A的概率記作P（A），則不論P(yáng)(A)是某個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)在特性，還是對(duì)某一陳述的相信程度，它都應(yīng)該具有下面的性質(zhì)：性質(zhì)1：非負(fù)性，即0P(A)1性質(zhì)2：規(guī)范性，即，對(duì)于必然事件，有P()=1；性質(zhì)3：對(duì)于隨機(jī)事件Ai(i=1，2，)，只要它們兩兩互不相容，則有 （三）概率的加法規(guī)則1.任意事件的加法規(guī)則任意兩個(gè)事件和（并）的概率，等于二事件概率的和再減去二事件同時(shí)發(fā)生的概率。即 （5.5）在三個(gè)事件，有 (5.6)2.不相容事件的加法規(guī)則兩個(gè)不相容事件與的和(并)的概率，等于二事件概率的和。即 （5.7） （四）條件概率和乘法公式在實(shí)際問題中，除了要知道事件發(fā)生概率外，有時(shí)還需要知道在

7、“事件已發(fā)生”的條件下，事件發(fā)生的概率，這種概率稱為條件概率，記作 (五)全概率公式 有時(shí)事件比較復(fù)雜，直接求它的概率有一定困難。如果我們可以把事件分解成互不相容的一些簡(jiǎn)單事件，而這些簡(jiǎn)單事件的概率卻比較容易求出，那么，我們就可以用全概率公式去計(jì)算事件的概率。 全概率公式可表述如下： 設(shè)為個(gè)互不相容事件，且則任一事件的概率為 (5.8)（六）貝葉斯公式設(shè)為個(gè)互不相容的事件，且是任一事件，且則對(duì)任一,有 (5.9)這就是貝葉斯公式。（七）事件的獨(dú)立性對(duì)于兩個(gè)事件和，假若事件的發(fā)生會(huì)對(duì)事件發(fā)生的概率產(chǎn)生影響，即，稱事件與之間統(tǒng)計(jì)相依。假若事件的發(fā)生并不影響事件發(fā)生的概率，稱事件與之間統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。在與

8、獨(dú)立時(shí)顯然有，這時(shí)，乘法公式式成為把這個(gè)關(guān)系式作為事件獨(dú)立性的定義，即設(shè)與是任意兩個(gè)事件，如果滿足 （5.10）則稱事件與獨(dú)立，否則稱與相依。在實(shí)際應(yīng)用中，如果兩個(gè)事件相互間沒有影響，則可以認(rèn)為這兩個(gè)事件相互獨(dú)立。 應(yīng)該指出，兩個(gè)事件相互獨(dú)立與互不相容是兩個(gè)不同的概念。獨(dú)立性是指兩個(gè)事件的發(fā)生互不影響，互不相容是指兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生。兩個(gè)不相容事件相依，兩個(gè)獨(dú)立事件一定相容（除非其中有一個(gè)事件的概率為0）。§5.2 隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的概念(一 )什么是隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中被測(cè)量的量。在一組給定的條件下，這種變量取何值事先不能確定，它的取值只能由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果來定，并且隨

9、試驗(yàn)的結(jié)果而變。 （二）隨機(jī)變量的種類一般地，如果隨機(jī)變量的全體可能取值包括有限個(gè)可能結(jié)果，或者是一個(gè)無限的整數(shù)序列，這樣的隨機(jī)變量稱作離散型隨機(jī)變量。如果隨機(jī)變量的全體可能取值為實(shí)數(shù)軸上的某一區(qū)間，這樣的隨機(jī)變量稱作連續(xù)型隨機(jī)變量。二、隨機(jī)變量的分布（一） 隨機(jī)變量分布的概念 1離散型隨機(jī)變量的分布 離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能的取值Xi和隨機(jī)變量取該值的概率p（xi）之間所確立確立對(duì)應(yīng)關(guān)系稱作這個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布。P（xi）（i=1，2，3，）稱作隨機(jī)變量X的概率分布或概率函數(shù)。它滿足下面的關(guān)系：p（xi）0和。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，分布列全面地描述了它的分布。根據(jù)分布列，還可以同時(shí)作出

10、分布棒圖。2連續(xù)型隨機(jī)變量的分布連續(xù)型隨機(jī)變量X的一系列取值區(qū)間和隨機(jī)變量在該區(qū)間取值的概率之間確立的對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱作這個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布。連續(xù)型隨機(jī)變量的分布可以用密度函數(shù)來描述，隨機(jī)變量的密度函數(shù)記作。隨機(jī)變量在某一數(shù)值區(qū)間內(nèi)取值的概率等于豎立在該區(qū)間上的，以密度曲線為上底的曲邊梯形的面積。寫作 （5.11）密度函數(shù)滿足下面兩個(gè)基本性質(zhì)：（1）密度函數(shù)的函數(shù)值不會(huì)是負(fù)數(shù)，從圖形看，密度曲線在橫軸上方，以橫軸為漸近線；（2）在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的密度函數(shù)值的和等于1。這兩個(gè)性質(zhì)用密度函數(shù)式寫作， （5.12） 三、常見的幾種分布規(guī)律在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，人們掌握了某些種類隨機(jī)試驗(yàn)的概率分布模型

11、。對(duì)于這種隨機(jī)試驗(yàn)定義的統(tǒng)計(jì)總體，我們說它具有已知的分布。 1兩點(diǎn)分布（01分布）。 2二項(xiàng)分布3超幾何分布 4泊松分布5均勻分布如果隨機(jī)變量的可能取值充滿一個(gè)區(qū)間，且落在，中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的概率相等，或者說落在子區(qū)間內(nèi)的概率與子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，與子區(qū)間的具體位置無關(guān)。 6正態(tài)分布。令隨機(jī)變量X是在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中被測(cè)量的結(jié)果，并且，決定這項(xiàng)試驗(yàn)結(jié)果的是大量偶然因素作用的總和，每個(gè)因素的單獨(dú)作用相對(duì)均勻地小，那么，X的分布就近似于正態(tài)分布。它有兩個(gè)參數(shù)：和2。實(shí)際上是X的數(shù)學(xué)期望E(X)，2實(shí)際上是X的方差V（X）。正態(tài)分布的概率密度曲線可以用已知的數(shù)學(xué)解析式表達(dá)出來，它是一種已知的分布

12、。為了方便，人們編制了“正態(tài)密度曲線下的面積”表（見附錄1表2）。這個(gè)表是就標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量情形編制的，因此，查表時(shí)要把一般正態(tài)變量轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量是= 0,2=1的正態(tài)變量，通常記作N（0,1）。為了和一般正態(tài)變量有所區(qū)別，我們這里用大寫字母Z來表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，用小寫字母z表示它的取值。 p(z)z 0 z1 z2 把隨機(jī)變量與它的數(shù)學(xué)期望相減之差除以該隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差(方差的平方根)，稱作隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化。把區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)作如下標(biāo)準(zhǔn)化變換： 得到圖中相應(yīng)的區(qū)間（z1，z2），據(jù)此來查表。 7分布這是v個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方和構(gòu)成的隨機(jī)變量所遵循的分布規(guī)律。這個(gè)分布的概

13、率密度函數(shù)的表達(dá)式這里略去不作介紹，概率密度函數(shù)的圖形如圖。圖中表示了一族曲線，其形態(tài)隨v值的不同而改變。v是構(gòu)成變量的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量個(gè)數(shù)，稱作變量的自由度。今后，對(duì)變量的分布規(guī)律，總要說明它的自由度，記作(v)。 8F分布。這是兩個(gè)相互獨(dú)立的變量（分別除以各自自由度之后）相除構(gòu)成的隨機(jī)變量所遵循的分布規(guī)律。即，設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的服從分布的隨機(jī)變量，自由度分別為f 1，f 2，則稱隨機(jī)變量 所遵循的分布規(guī)律為 F分布，記作F（f1，f2）。f1稱作F分布的第一自由度（分子自由度），f2稱作F分布的第二自由度（分母自由度）。 9t分布。 這是相互獨(dú)立的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量與一個(gè)變量（除以它自己的自由度后）的平方根相除構(gòu)成的隨機(jī)變量所遵循的分布規(guī)律。即，設(shè)X是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，Y是自由度為v的變量，且X和Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 所遵循的分布規(guī)律為t分布。v稱為它的自由度，記作t (v)。 四、隨機(jī)變量分布的特征數(shù) （一）位置特征數(shù) 隨機(jī)變量分布的位置特征數(shù)，有數(shù)學(xué)期望、中位數(shù)、眾數(shù)，等等。我們只介紹數(shù)學(xué)期望。1隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望：X的一切可能值以相應(yīng)的概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。今后我們把X的數(shù)學(xué)期望記作E(X)。 E(X)= (5.13) 若是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望定義為 （5.14