第二章 圓錐曲線教案 拋物線的幾何性質(zhì)

1、第二章 圓錐曲線教案 拋物線的幾何性質(zhì) 教學目標1引導學生運用對比(同橢圓、雙曲線)和類比(拋物線之間)的思想得到拋物線的幾何性質(zhì)2使學生初步掌握有關(guān)拋物線問題的解題方法，培養(yǎng)學生嚴謹、周密的思考問題的能力及抽象概括能力3通過對拋物線幾何性質(zhì)的探索，強化學生的注意力及新舊知識的聯(lián)系，樹立學生求真的勇氣和自信心教學重點與難點得出拋物線幾何性質(zhì)的思維過程，掌握運用拋物線的幾何性質(zhì)去解決問題的方法教學過程一、復習提問師：我們已經(jīng)學習了橢圓及雙曲線的幾何性質(zhì)，請同學們回憶一下，是從哪幾個方面研究的？生：研究了范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線幾個問題師：在研究幾何性質(zhì)時，對曲線的方程有無限制？生：是在

2、曲線的標準方程條件下研究的(說明：課前印發(fā)如下表格，請同學填出橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)在課上引導學生對比看，聯(lián)想拋物線y2=2px的幾何性質(zhì)，再“類比看”填出y2=-2px及x2=2py的幾何性質(zhì))橢圓雙曲線拋物線 標準方程1(ab0)1(ab0)=1(a0，b0)=1(a0，b0)y2=2px(p0)圖象 范圍 對稱性 頂點 離心率 漸近線 二、類比橢圓、雙曲線得出拋物線的幾何性質(zhì)師：請同學們拿出課前發(fā)的表，你是怎樣與橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)相比較而得出拋物線的幾何性質(zhì)？(說明：同學們討論)師：對于方程y2=2px所示拋物線的范圍，你是如何得出的？生：由p0可知，x的取值范圍是x0，所以拋物線在y

3、軸的右側(cè)師：當x的值增大時，圖象是如何變化的？生：當x的值增大時，|y|也增大，說明拋物線向右上方和右下方無限延伸師：由方程y2=2px，觀察所表示的圖象是對稱圖形嗎？為什么？生：當以-y代y，方程y2=2px值不變，所以此拋物線關(guān)于x軸對稱，即拋物線y2=2px的對稱軸是x軸師：什么叫曲線的頂點？生：曲線與坐標軸的交點叫曲線的頂點師：拋物線y2=2px的頂點在什么位置？為什么？生：在方程y2=2px中，當x=0時，y=0，所以頂點在坐標原點師：(強調(diào))在一個特殊位置師：拋物線y2=2px的離心率如何得到？生：由拋物線定義可知，離心率e=1師：與橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)相比較，拋物線的幾何性質(zhì)又

4、有何區(qū)別(說明：讓學生觀察圖象，總結(jié)特征)師：從拋物線位置上看生：拋物線的圖象只位于半個坐標平面內(nèi)師：有無漸近線？生：盡管拋物線也可以無限延伸，但沒有漸近線生：(發(fā)現(xiàn))拋物線只有一條對稱軸，這條對稱軸垂直于拋物線的準線又有學生指出，這條對稱軸同頂點和焦點的連線重合師：很好！兩種說法同樣正確，只是從不同的角度觀察問題得到的，結(jié)論是一致的(鼓勵學生繼續(xù)觀察)生：拋物線只有一個頂點，它是焦點到準線距離的中點生：拋物線無中心師：小結(jié)同學們討論得很好，拋物線的其它標準方程y2=-2px，x2=2py，x2=-2py也有類似的結(jié)論，它們的頂點都在坐標原點，一次項的變量如為x(或y)，則x軸(或y軸)是拋物

5、線的對稱軸，一次項的系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向，正號決定開口方向和對稱軸所在坐標軸的方向相同，負號決定開口方向和對稱軸所在坐標軸方向相反(說明：請同學們完成填表)師：在拋物線方程中，參數(shù)p對圖象有何影響？我們不妨看拋物線(計算機演示描點法作出以上3個圖象)(如圖2-53)學生可直觀看到p值越大，拋物線開口也越大理由，對于同一個x值，它們對應的y值不同，p值大，|y|也大三、應用拋物線的幾何性質(zhì)，進一步探尋其特征例1 用計算機打出(或投影儀打出)拋物線y2=2px的圖象，且有一條過焦點垂直于對稱軸的弦(如圖2-54)生：這條弦很特殊師：拋物線中過焦點且垂直于對稱軸的弦，叫拋物線的通徑能否知道

6、它的長度？生：(很快發(fā)現(xiàn))這條通徑的長為2p師：(追問)你是怎樣得到的？生：分別過點A、B作準線l的垂線，垂足分別為D、C(可由計算機演示出，或在投影片中畫出)由拋物線定義知|AF|=|AD|=p，|BF|=|BC|=p，所以|AB|AF|+|BF|2p另有學生用不同方法：因為A、B兩點在拋物線上，又|AB|=|y1-y2|2p師：小結(jié)兩種不同的方法，方法一用拋物線定義得出，較簡捷方法二由解析法得出，這種解題思想很好師：引導學生觀察，由方法一在圖中看到，得到矩形ABCD(如圖2-55)生：(反應出)這個矩形是由兩個正方形AFED、BFEC組成的師：(表揚學生善于觀察問題，發(fā)現(xiàn)問題，繼而再將問題

7、引申)連結(jié)DF、CF后，DFC=？師：很好(鼓勵學生大膽探索，再將問題引申計算機演示圖形變化，AB過點F但與x軸斜交，引出例2)例2 過焦點的弦AB不垂直于對稱軸，此時可得到什么圖形？DFC=？生：分別過點A、B作準線的垂線，垂足為D、C，得到直角梯形ABCD(如圖2-56)(學生討論)由拋物線定義可知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，所以1=2，3=4，又知ADEF，BCEF，所以2=5，6=4，所以1=5，3=6，所以2(5+6)=180，所以5+6=90，即DFC90師：小結(jié)：若AB為拋物線y2=2px的一條過焦點F的弦，A，B在此時，學生對拋物線的問題很感興趣，激發(fā)起學生探索的

8、欲望教師借題發(fā)揮，繼續(xù)引導，發(fā)現(xiàn)新問題師：同學們再想一想例3 當拋物線的焦點弦與對稱軸垂直時，它的長度為2p當它與對稱軸不垂直時，它與對稱軸的夾角為，此時焦點弦長如何？(計算機演示圖形，如圖2-57)師生討論用解析法利用弦長公式求設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0)，則焦點弦所在直線方程為：設(shè)過焦點的弦與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則(2p為拋物線y2=2px(p0)的通徑長)師：由此得到結(jié)論若拋物線過焦點的弦與對稱軸的夾角為，通為_練習2拋物線y2=12x中，一條焦點弦的長為16，則此焦點弦所在直線的傾角為_說明將此結(jié)果作為經(jīng)驗型結(jié)論可直接用于填選題，加快解題速度，但作為

9、證明題時不可直接用此結(jié)論師：請同學們繼續(xù)觀察下題例4 拋物線y2=2px(p0)上任意一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|=？師：與橢圓、雙曲線相對照，這實質(zhì)是拋物線的焦半徑公式例5 過拋物線y2=2px(p0)的焦點的弦與拋物線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2=？設(shè)過F的直線為AB(注意此時應分類討論)(1)當弦AB斜率k存在ky2-2py-kp2=0方程的兩根y1，y2分別為A、B兩點的縱坐標，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2=-p2(2)當弦AB斜率不存在時，ABy軸由拋物線定義知，y1=-y2=p，所以y1y2=-p2綜上可知：y1y2=-p2此題有學生想出了另外

10、的方法由A、F、B三點共線知因為y1y2，所以y1y2=-p2師：我們不僅要知道問題的結(jié)論，更要體會得到結(jié)論的過程所用的方法(說明此時課堂氣氛活躍，教師繼續(xù)激發(fā)學生的興趣，表揚學生有積極探索問題的勇氣)例6 以拋物線y2=2px(p0)的焦點弦為直徑的圓與它的準線有何關(guān)系？(學生一時看不出來)師：(引導)探索問題的思路往往從特殊到一般，此問題的實質(zhì)是直線與圓的位置關(guān)系特殊情況應是相切生：(立即受到啟發(fā))猜想以焦點弦為直徑的圓與它的準線相切師：如何證相切？生：只要證出AB的中點到準線l的距離等于AB長的一半(請學生證明)取AB的中點M，過點M作MMl于M，分別過點A、B作準線l的垂線，垂足分別為

11、A，B，則M為AB中點，(如圖2-58)所以，以焦點弦為直徑的圓與它的準線相切另有學生有不同的證法設(shè)A、B及AB中點M的橫坐標分別為x1和x2，xm，由拋物線定義知|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|BB|=|x1+x2+p|(教師表揚學生積極思考問題，善于以不同角度去分析問題解決問題)師：拋物線問題有它的實際應用價值例7 探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，燈口直徑是60cm，燈深40cm，求拋物線的標準方程和焦點的位置師：在什么條件下，可求拋物線的標準方程生：適當建立平面直角坐標系師生討論，在縱斷面內(nèi)，以反射鏡的頂點(即拋物線的頂點)為坐標原點，過頂點垂直于燈口直徑的直線為x軸，建

12、立平面直角坐標系(計算機演示建立坐標系的過程，如圖2-59)師：在直角坐標系中，已知條件中燈口直徑是60cm，燈深40cm，表示什么位置？生：如圖2-59，(AB為燈口的直徑)，按照燈反射鏡的燈口直徑在圖中是垂直于對稱軸的弦AB，則A點的坐標為(40，30)師：由已知條件及在建立的坐標系下，如何求拋物線的標準方程？生：設(shè)拋物線的標準方程是y2=2px(p0)只須求出p，而由點A(40，30)在拋物線上這一條件，很容易求出p師：分析得很好(與學生一起完整寫出解題過程)解 在縱斷面內(nèi)，以反射鏡的頂點(即拋物線的頂點)為坐標原點，過頂點垂直于燈口直徑的直線為x軸，建立直角坐標系，如圖2-60(計算機

13、演示)設(shè)拋物線的標準方程是y2=2px(p0)，因為，點A(40，30)在拋物線上，師：小結(jié)由已知條件求拋物線的標準方程時，首先要建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，再根?jù)所具備的條件確定拋物線的標準方程的類型，求出方程中的參數(shù)p四、小結(jié)(師生共同完成)1類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，得出了拋物線的幾何性質(zhì)(回顧所填的表)2探索了拋物線的其它特性，在探尋的過程中運用了拋物線的定義及幾何性質(zhì)3在解題過程中，特別注意合理運用分類討論，化歸的數(shù)學思想五、布置作業(yè)第98頁練習及習題八設(shè)計說明(一)本節(jié)課依據(jù)高中數(shù)學大綱培養(yǎng)學生的能力二次曲線是平面解析幾何的主要研究對象，在教學時，注意挖掘它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，

14、不要孤立地和靜止地看待拋物線因此在研究拋物線的幾何性質(zhì)時采用對比的方法進行教學，讓學生對照橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，去探求拋物線的幾何性質(zhì)，在進行對比時，要注意橫向和縱向兩種對比，也就是既要注意每種曲線內(nèi)部的對比，同時也要注意幾種曲線之間的對比(二)在課堂教學中，引導學生積極探索問題本節(jié)課引導與組織學生，研究拋物線的幾何性質(zhì)，而拋物線幾何性質(zhì)的研究項目、方法和結(jié)果同橢圓、雙曲線很類似學生很自然地用類比的方法填充給出的表，不僅可以使3種圓錐曲線的性質(zhì)得到對比，而且可以提高學生對新知識的探索能力在授課方式上，教師精心設(shè)計提問，以便引導學生去探索，去創(chuàng)新富有藝術(shù)性的提問，能啟迪學生思維，發(fā)展學生智力和培養(yǎng)學生能力而問題的設(shè)置要從學生的實際出發(fā)，能被學生所接受，又要富有啟發(fā)性，能激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動學生積極思