第十二章 系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析

1、第十二章 系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析教學(xué)目標(biāo)1.理解系統(tǒng)的狀態(tài)、狀態(tài)變量、狀態(tài)空間、狀態(tài)方程、輸出方程的定義與意義2.能根據(jù)系統(tǒng)的電路圖或輸入-輸出方程概念或模擬圖或轉(zhuǎn)移函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程3.掌握狀態(tài)過(guò)渡矩陣的求解方法以及系統(tǒng)可控性和可觀性的判斷方法教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)掌握系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程的變換域解法教學(xué)內(nèi)容§12.1 狀態(tài)方程的概念在單入單出系統(tǒng)分析中，我們只注重激勵(lì)和響應(yīng)，有時(shí)我們不僅需要知道系統(tǒng)的響應(yīng)，還需要知道系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)，因此，產(chǎn)生了狀態(tài)變量分析法。變種方法可以很方便地分析多輸入多輸出系統(tǒng)。下面用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子給出狀態(tài)變量的初步概念。L例：對(duì)于下面RLC諧振電路，我們

2、不僅對(duì)感興趣，還希望知道的變化情況。R-+ 解：列方程如下： (1)而 (2)由（1）、（2）得： (3)這是一個(gè)以和作為變量的一價(jià)微分聯(lián)合方程組。只要知道及初始情況及情況，即可完全確定電路的全部行為。這種描述系統(tǒng)的方法稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量（空間）分析法。（3）式稱(chēng)為狀態(tài)方程。實(shí)際上，電路的輸出信號(hào)可能由多個(gè)狀態(tài)變量以及輸入信號(hào)的作用組合而成，于是還需列寫(xiě)所謁“輸出方程”，對(duì)本題，可寫(xiě)0 1 下面給出系統(tǒng)狀態(tài)變量分析法中的幾個(gè)名詞定義。狀態(tài)：對(duì)于一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，狀態(tài)是表示系統(tǒng)的一組最少變量。狀態(tài)變量：能夠表示系統(tǒng)狀態(tài)的那些變量稱(chēng)為狀態(tài)變量。狀態(tài)矢量：能夠完全描述一個(gè)系統(tǒng)行為的K個(gè)狀態(tài)變量，可以看作

3、矢量的各個(gè)分量的坐標(biāo)。上例中的、可以看作二維矢量 稱(chēng)為狀態(tài)矢量。狀態(tài)空間：狀態(tài)矢量所在的空間。§12.2 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立一狀態(tài)方程的一般形式和建立方法概述一個(gè)動(dòng)態(tài)連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型可利用信號(hào)的各階導(dǎo)數(shù)來(lái)描述，如果系統(tǒng)是線(xiàn)性時(shí)不變的，則狀態(tài)方程和輸出方程是狀態(tài)變量和輸入信號(hào)的線(xiàn)性組合。狀態(tài)方程輸出方程 其中，為系統(tǒng)的K個(gè)狀態(tài)變量 ，為系統(tǒng)的m個(gè)輸入信號(hào) ，為系統(tǒng)的j個(gè)輸出信號(hào)上述狀態(tài)方程和輸出方程可用下面結(jié)構(gòu)圖表示。D (t)1/pr (t)C (t)B (t)e (t)A (t)二由電路圖直接建立狀態(tài)方程 為建立電路的狀態(tài)方程，先要選定狀態(tài)變量，通常選電容兩端電壓和流

4、經(jīng)電感的電流為狀態(tài)變量，有時(shí)也選定電容的電荷和電感磁鏈。但必須注意，選定的每個(gè)狀態(tài)變量都應(yīng)是獨(dú)立變量。選定狀態(tài)變量之后，即可用KCL,KVL列電路方程，經(jīng)化簡(jiǎn)消去一些不需要的變量，只留下?tīng)顟B(tài)變量和輸入信號(hào)，經(jīng)整理給出狀態(tài)方程。例：給定右圖電路，列寫(xiě)電路m狀態(tài)方程，若輸出信號(hào)為電壓r(t),列寫(xiě)輸出方程。-1-+-+-解：選電路中電流和電容兩端電壓作為狀態(tài)變量，則有列寫(xiě)回路方程：整理得： 而 寫(xiě)成矩形式： 三由系統(tǒng)的輸入輸出方程或流圖建立狀態(tài)方程連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立主要有兩種形式。1是由電路直接建立狀態(tài)方程；2是由輸入輸出方程建立狀態(tài)方程。上節(jié)課，我們已經(jīng)講了第一種形式，他的基本步驟是。 選電

5、路中所有獨(dú)立電容兩端的電壓和流經(jīng)電感的電流作為狀態(tài)變量。 對(duì)給定電路列寫(xiě)KVL、KCL方程。 將列寫(xiě)的方程整理成標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程和輸出方程。 今后，我們講另一種狀態(tài)方程建立的方法。二、由輸入輸出方程建立狀態(tài)方程。方法：1、將方程轉(zhuǎn)化成六圖。 2、選積分器的輸出端信號(hào)作為狀態(tài)變量。 3、列寫(xiě)狀態(tài)方程和輸出方程。例：寫(xiě)出其狀態(tài)輸出方程解： 注意：同一微分方程，采用不同實(shí)現(xiàn)方法，可得到不同的狀態(tài)方程和輸出方程。同樣以此題為例：由此可見(jiàn)，同一輸入輸出方程，其狀態(tài)方程和輸出方程不同。留一個(gè)思考題。寫(xiě)出狀態(tài)方程，輸出方程。§12.3 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解可以利用時(shí)域方法和變換域方法求解狀態(tài)方

6、程，相比之下，變換域方法比較簡(jiǎn)單。故此，先介紹變換域方法，再介紹時(shí)域方法，最后介紹系統(tǒng)函數(shù)的方法。一用Laplace變換法求解狀態(tài)方程若給定方程：兩邊取Laplace變換得： 式中，為起始條件： 整理得: 由此結(jié)果可見(jiàn)，計(jì)算的關(guān)鍵一步是求例：已知狀態(tài)方程和輸入方程 ， 用Laplace變換法求。解：二用時(shí)域法求解狀態(tài)方程在時(shí)域求解方法中需要用到“矩陣指數(shù)”，先給出其定義和性質(zhì)。A為方陣，也是方陣。主要性質(zhì)： 下面對(duì)給定的狀態(tài)方程進(jìn)行時(shí)域求解，已知并給定起始狀態(tài)矢量，對(duì)狀態(tài)方程兩邊同時(shí)左乘以得： 兩邊積分得：，兩邊同時(shí)左乘得： (1)零輸入解零狀態(tài)解 (2)與S域求法對(duì)比可知，下面講的求法：化為有限項(xiàng)之和法。 (3)都是時(shí)間t的函數(shù)。第一種情況：A的特征值各不相同，分別為代入上式得：聯(lián)立后，求得，代入(3)式即得。例：已知,求。解：求出A的特征方程的特征根若：A的特征根具有m階重根，則有求出、。例：已知，求。解：現(xiàn)在討論性質(zhì)例：已知且，起始狀態(tài)為零，用時(shí)域法求解。解：先求， 代入有三由狀態(tài)方程求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。設(shè) ,對(duì)上式做零狀態(tài)的單邊拉氏變換例：已知某系統(tǒng)的狀態(tài)及輸出方程為解 一、 由輸入輸出方程建立狀態(tài)的輸出方程（比較法） 方法：1、畫(huà)出方程的流圖。 2、 選延時(shí)器輸出為狀態(tài)變量。 3、列寫(xiě)狀態(tài)方程和