拋物線的簡單幾何性質(zhì)練習(xí)題

1、課時(shí)作業(yè)（十三）學(xué)業(yè)水平層次一、選擇題1.已知點(diǎn)P（6 ,y）在拋物線 y2=2px（po）上，若點(diǎn) P 到拋物線焦點(diǎn) F 的距離等于8,則焦點(diǎn) F 到拋物線準(zhǔn)線的距離等于（）A.2 B.1 C.4 D.82P【解析】 拋物線 y=2px（po）的準(zhǔn)線為 x=-2，因?yàn)镻（6, y）為拋物線上的點(diǎn)，所以點(diǎn) P 到焦點(diǎn) F 的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，所 以6+ p=8,所以 p=4,即焦點(diǎn) F 到拋物線的距離等于4,故選C.【答案】C2.（2014成都高二檢測(cè)）拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)為 F,點(diǎn) P 為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) M 為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) FPM 為等邊三角形時(shí)， 其面積為（）A.2;

2、3 B.4 C.6 D.4【解析】 據(jù)題意知，F(xiàn)PM 為等邊三角形，|PF =|PM =|FM,2二 PML 拋物線的準(zhǔn)線.設(shè) Pm, m,則 M -1, m，等邊三角形邊長2 2為1+m，又由 F（1,0）,|PM =1FM，得1+m=1+12+ m,得m= 2.3,A等邊三角形的邊長為4,其面積為4 3，故選D.【答案】D3.已知拋物線 y2=2px（p0）,過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A B兩點(diǎn)，若線段 AB 的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A. x=1B.x =1C.x=2D.x = 2【解析】設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2)，代入拋物線方程得:y2=2

3、pxi,y；=2px2,一得,(yi+ y2)(yi y?)=2p(xi X2).所求拋物線的準(zhǔn)線方程為 x=i.【答案】B4.(20i4課標(biāo)H)設(shè) F 為拋物線 C: y2=3x 的焦點(diǎn)， 過 F 且傾 斜角為30的直線交 C 于 A, B 兩點(diǎn)，則|AB =()B.6 C.i2 D.7、3【解析】 焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)為4,0,直線 AB 的斜率為 f,所以又/ yi+ y2=4,yiy2p pxi X24k=i,p=2.E 1273得3x2x+命二，21設(shè) A(xi, yi), B(x2,y，則 xi+ X2=2,3213所以|AE|= X1+ X2+2=2+2=12,故選C.【答案】C二、

4、填空題5.拋物線 y1 2 3 4 5 6 7= x 上到其準(zhǔn)線和頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為 點(diǎn)，【解析】 設(shè)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, -x)，此點(diǎn)到準(zhǔn)線的距1_ _1離為 X +4，到頂點(diǎn)的距離為,X2+；X2，由題意有 X +4=X2+.X2,二 X=8，二 y =了，二此點(diǎn)坐標(biāo)為8.【答案】8，6(2014臨沂高二檢測(cè))直線 y= kx+2與拋物線 y2=8X有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，貝 Sk=_.【解析】 當(dāng) k=時(shí)，直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，當(dāng) 心0時(shí)， 聯(lián)立方程消 y 得 k2x2+4(k-2)x +4=0,由題意 =16(k-2)2-16k2=0,二 k=1.【答案】0或1直線 AB 的方

5、程為 y3即 y=33x-4x=-1為準(zhǔn)線的拋物線上，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=4x.過點(diǎn)P(1,0)，斜率為 k 的直線為 y = k(x+1).ty2=4x,2由得 ky 4y+4k=0.y = kx+ k,當(dāng) k=0時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng) kM0時(shí)，依題意得 =(4)4k 4k0,解得 k1或 k0)，設(shè) A(xo，yo)，由題知 MO，2 .T|AF=3，二 y+2=3，T|AM=, 17，2 |. P2.-x+ yo+2=17，7(2014湖南)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn) F(1,0)的距離和到直線 x =-1的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn) P(-1,0)且斜率為k 的直

6、線，則 k 的取值范圍是_.【解析】 設(shè)機(jī)器人為 A(x, y)，依題意得點(diǎn) A 在以 F(1,0)為焦 x0=8，代入方程 x2=2py。得，p8=2p3 ，解得 p=2或 p=4.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2=4y 或 x2=8y.9.已知直線 I 經(jīng)過拋物線 y2=6x 的焦點(diǎn) F，且與拋物線相交于A,B 兩點(diǎn).(1)若直線 I 的傾斜角為60,求|AB 的值；若|AB =9,求線段 AB 的中點(diǎn) M 到準(zhǔn)線的距離.33又 F2，0,所以直線 I 的方程為 y=-. 3x2 .2y =6x,聯(lián)立3y*3x 2,設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2)，貝 S xi+ X2=5,pp而

7、|AB =|AF|+1BF|= X1+3+ 冷 +2= X1+ X2+ p,所以|AB =5+3=8.(2)設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2)，由拋物線定義知|AE|=|AFJ +|BF|= Xi+ X2+ p= Xi+ X2+3,所以 Xi+ X2=6,于是線段 AB 的中點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)是3.339又準(zhǔn)線方程是 x= 2,所以 M 到準(zhǔn)線的距離為3+2=2【解】(1)因?yàn)橹本€ I3.的傾斜角為60,所以其斜率 k=tan 609消去 y 得 x25x+4=0.能力提升層次i.(20i4湖南省長沙一中期中考試)已知拋物線 X2=2py(p0)的焦點(diǎn)為 F,過 F 作傾斜角為30的直

8、線與拋物線交于 A B 兩點(diǎn)，IAFIA”若両*(0，i)，則両=()【解析】 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為 F0,2，故過點(diǎn) F 且傾斜角為x/3 p230的直線的方程為 y=x +2，與拋物線方程聯(lián)立得 x pxp=o,解方程得XA=fp,XB=“3p,所以|AF=3，故選C.【答案】C2.(2013大綱卷)已知拋物線C:y2=8x 與點(diǎn) M 2,2),過 C的焦點(diǎn)且斜率為 k 的直線與 C 交于 A B 兩點(diǎn)，若 MA MB=0,則 k =( )D.2【解析】 由題意可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，則過焦點(diǎn)且 斜率為 k的直線的方程為 y= k(x2)， 與拋物線方程聯(lián)立， 消去 y 化簡得 k

9、2x2(4k2+8)x +4k2=0,設(shè)點(diǎn) A(xi, yi), B(X2,對(duì)，則 xi8已82+ X2=4+2, XiX2=4, 所以yi+ y2= k(xi+X2)4k= ,y$2=kxiX2kk2(Xi+ X2)+4= 16，因?yàn)?MA，MB=0，所以(Xi+2)(X2+2)+(yi2)(y22)=0(*)，將上面各個(gè)量代入(*),化簡得 k24k +4=0, 所以 k=2,故選D.【答案】D2 23.拋物線x2=2py(p0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線 春=i相交于A, B兩點(diǎn)，若 ABF 為等邊三角形，則 p=_.【解析】 由于 x2=2py(p0)的準(zhǔn)線為 y = p,由y= Py 2，2 2X y =3,解得準(zhǔn)線與雙曲線 X8 9 y2=3的交點(diǎn)為A 3+1p2, P , B +1p2, P ,所以 AB=2123+4P.由厶 ABF 為等邊三角形，得 乎人吐 p,解得 p=6.【答案】64.已知拋物線 x = y與過點(diǎn)（1,0）且斜率為 k 的直線相交于A,B兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng) OAB 勺面積等于.10時(shí)，求 k 的值. 【解】 過點(diǎn)（1,0）且斜率為 k 的直線方程為 y= k（x+1）,2x = y ,2由方程組 i 彳消去 x，整