微分的概念性質及應用

1、第二章第 6 節(jié)：函數(shù)的微分教學目的：掌握微分的定義，了解微分的運算法則，會計算函數(shù)的微分，會利用 微分作近似計算教學重點：微分的計算教學難點：微分的定義，利用微分作近似計算教學內容：1.1.微分的定義計算函數(shù)增量y f x0X f X0是我們非常關心的。一般說來函數(shù)的增量的計算是比較復雜的，我們希望尋求計算函數(shù)增量的近似計算方 法。先分析一個具體問題，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由X。變到X。X（圖 2-12-1 ），問此薄片的面積改變了多少？設此薄片的邊長為x，面積為A，貝y A是x的函數(shù)：A x2。薄片受溫度變化的影響時面積的改變量，可以看成是當自變量x自X。取得增量x時，

2、函數(shù)A相應的增量A，即2線的兩個矩形面積之和，而第二部分X在圖中是帶有交叉斜線的小正方形的面積，當2 2x 0時，第二部分x是比x高階的無窮小，即x 0 x。由此可見，如果邊長改變很微小，即I x很小時，面積的改變量A可近似地用第一部分來代替。般地，如果函數(shù)y f x滿足一定條件，則函數(shù)的增量y可表示為其中A是不依賴于x的常數(shù)，因此A x是x的線性函數(shù)，且它與y之差從上式可以看出,A X。2 2X X。2x。xA分成兩部分，第一部分2x。A是A的線性函數(shù)，即圖中帶有斜圖2-1y Ax Ox,是比x高階的無窮小。所以，當A 0,且x很小時，我們就可近似地用A x來代替y。定義 設函數(shù)y f x在

3、某區(qū)間內有定義，x0 x及 x x0在這區(qū)間內，如果函數(shù)的增量y f xox f xo可表示為y A x 0 x，其中A是不依賴于x的常數(shù)，而0 x是比x高階的無窮小，那么稱函數(shù)y f x在點X。是可微的，而A x叫做函數(shù)y f x在點x。相應于自變量增量x的微分，記作dy， 即dy Ax。反之，如果y f x在點x0可導，即limyf X0 x 0 x存在，根據(jù)極限與無窮小的關系，上式可寫成_yX其中0（當x 0）。由此又有y f X0 x定理 1 1 函數(shù)fx在點X。可微的充分必要條件是函數(shù)f x在點X。可導，且當f點X0可微時，其微分r 曰定是dyX0X。設函數(shù)y f X在點X可微，則按

4、定義有式成立。式兩邊除以xyX曰是,A0 xAx當x 0時,由上式就得到X。因此, 如果函數(shù)f X在點x0可微，則f X在點x0也一定可導（即f X存在）X0，X0。因x 0 x，且不依賴于x，故上式相當于式，所以f x在點x0也是可微的。由此可見，函數(shù)f x在點X。可微的充分必要條件是函數(shù)f x在點X?？蓪В耶攆 X在點X。可微時，其微分- 定是dy f x0 x。例 1 1 設yxe cosx，求dy解:屯Xe cosxXe sinxdxdyeX(cosxsin x)dx度較好的近似等式dy?；騠 (x)f(x)f (x) X(3)式是計算零點附近的函數(shù)值當X很小時，有下列近似計算公式:

5、ln(1 x)f(x)微分在近似計算中的應用:在f X。0的條件下，以微分dy f x0 x近似代替增量f X0Xf X0時，相對誤差當X 0時趨于零。因此，在X很小時，有精確即f x0Xf x0X0特別地，當x00, x很小時，有f(x)f(0)f (0)x(3)(3)對1 xsin xtgx例證明:(當X很小時)由f(x) f(0) f (0)x因為f(0)1 f (0)丄(111nX)|x_ 1故，當x很小時，n1 X 1Xn例 2 2 一個充好氣的氣體，r 4m m,升空后，因外面氣壓降低，氣球半徑r增大了 10cm10cm, 求體積增加了多少？43解：因為Vr33所以V dv (4r

6、3) x 4 r2x3234 3.14 40.120(m )例 3 3 求、4.2的近似值.解設f (x). x，取X。4, x 0.2，則1x 4.2f (x)f(4)2 f (4)21 x所以.4.2f(4) f (4)(4.2 4)2.05或者：4.2, 4(10.05)2.1 0.052(1 0.5 0.05)2.052.2.微分的幾何意義為了對微分有比較直觀的了解，我們來說明微分的幾何意義。函數(shù)y f x的圖形是一條曲線。對于某一固疋的x0值，曲線上有yo當自變量x有微小增量x時，就得x0 x, y0y. .從圖 2-22-2 可知：MQ x,QN y。過 M M 點作曲線的切線，它

7、的傾角為，則QP MQ tan x f x0,dy QP。由此可見，當y是曲線y fx上的 M M 點的縱坐標的增量時，dy就是曲線的切線上 M M在直角坐標系中,一個確定點M X0,到曲線上另一點N圖2-2點的縱坐標的相應增量。當x很小時，y dy比x小得多。們可以用切線段來近似代替曲線段。3.3.微分運算法則及微分公式表由dy f xdx，很容易得到微分的運算法則及微分公式表（當du v du dv，d Cu Cdu，d u v vdu udv，u vdu udvdvv微分公式表：1d x x dx，d sin x cos xdx，d cosx sin xdx，d tan x sec2xd

8、x，d cot xcsc2xdx，d secxsecx tanxdx，d cscxcsc x cot xdx，d axaxIn adx，d exexdx，因此在點M的鄰近，我u、v都可導）d logax1xln adx，d Inxdx，x1d arcs in x -dx，V1 x2d arccosx_1_-1 x2dx，1 d arctanx2dx，1 x21 d arccotx2dx。1 x注：上述公式必須記牢，對以后學習積分學很有好處，而且上述公式要從右向左背。例如: dxx1dx d ax b，a1 axdx一dax。In a4.4.復合函數(shù)微分法則與復合函數(shù)的求導法則相應的復合函數(shù)的微分法則可推導如下:由此可見，無論u是自變量還是另一個變量的可微函數(shù)， 微分形式dy f u du保持不 變。這一性質稱為微分形式不變性。這性質表示，當變換自變量時（即設u為另一變量的任一可微函數(shù)時），微分形式dy f u du并不改變。例 4 4 求y esinx的微分解dy d（esinx） esinxdsinx esinxcosxdx自我訓練：（1 1）y In 1 ex，求dy。（2 2）y In p a2x，求dyx 0。（3 3）有一半徑為R的鐵球，鍍上 0.01cm0.01cm 厚的銀，問大約用多少體積的銀。小結：