一個新的可乘函數(shù)及其均值估計

1、一個新的可乘函數(shù)及其均值估計張 ?。ㄎ靼藏斀?jīng)學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西西安710061）摘要：基于著名的Dirichlet除數(shù)函數(shù)，引入了數(shù)論中的一個新的可乘函數(shù)，并利用解析方法及可乘性質(zhì)研究了這個數(shù)論函數(shù)的均值性質(zhì)，給出了其均值的一個較強(qiáng)的漸近公式。關(guān)鍵詞：可乘函數(shù)；均值；漸近公式中圖分類號：O156.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1000-274X(2004)0066-041引言及結(jié)論對任意正整數(shù)，我們定義函數(shù)為其中為除數(shù)函數(shù)，這樣定義的數(shù)論函數(shù)顯然是可乘的。本文的主要目的是研究的均值性質(zhì)，并給出一個較強(qiáng)的漸近公式。定理1對任意實(shí)數(shù)，我們有漸近公式其中：表示對所有素數(shù)求積；為任意給定的正數(shù)。 有意思

2、的是，對于，似乎不存在類似的漸近公式。2定理的證明為了完成定理的證明，我們先敘述一個簡單的引理，即著名的Perron公式1。引理1設(shè)，再設(shè)存在遞增函數(shù)及函數(shù)使得那末，對任意的及，當(dāng)及時有1）正整數(shù)時其中：是離最近的整數(shù)（為半奇數(shù)時，取）；。2)這里常數(shù)僅和有關(guān)。有了這個引理，就容易給出定理的證明。事實(shí)上對任意復(fù)數(shù)，設(shè)顯然則由Euler積公式（文獻(xiàn)2中定理11.7）可得其中為Riemann Zeta函數(shù)，并在處有1階極點(diǎn)，留數(shù)為1。由于，于是， 所以從而當(dāng)時，是絕對收斂的非零常數(shù)，然后在引理中取，可得將上式積分線移至處，于是取可得這就完成了定理的證明。參考文獻(xiàn)：1 PAN Cheng-dong,

3、 PAN Cheng-biao. Foundation of Analytic Number TheoryM. Beijing: Science Press, 1997.2 APSTOL T M. Introduction to Analytic Number TheoryM. New York: Springer-Verlag, 1976. (編輯曹大剛)A new multiplicative function and its mean value estimateZHANG Jian(Department of Applied Mathematics, Xian Economic Col

4、lege, Xian 710061, China)Abstract: A new multiplicative function is introduced,and an asymptotic formula on its mean value is given.Key words: multiplicative function; mean value; asymptotic formula作 者 簡 介張 健，女，陜西乾縣人，生于1963年9月。1984年畢業(yè)于漢中師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,2000年7月，西北大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究生課程班結(jié)業(yè)?，F(xiàn)為西安財經(jīng)學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，主講高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)與線性規(guī)劃、概率與數(shù)理統(tǒng)計等課程。近年來，在多種重要學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表科研論文20余篇。其中“Banach空間的次強(qiáng)收斂”，定義了一種新的收斂次強(qiáng)收斂，并討論了強(qiáng)收斂、弱收斂與次強(qiáng)收斂之間的關(guān)系；“關(guān)于正整數(shù)的立方部分”研究了兩個數(shù)列u(n)和v(n)（對于任意正整數(shù)n，定義u(n)為不大于n的最大立方數(shù)，v(n)為不小于n的最小立方數(shù)）的性質(zhì)，并給出