高考熱點(diǎn)--圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題

1、高考熱點(diǎn)-圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題高考在考什么【考題回放】1已知雙曲線(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(C )A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+)2 P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最大值為（ B ）A. 6 B.7 C.8 D.93拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值是( A )A B C D4已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率

2、e的最大值為：（B）(A) (B) (C) (D)5已知拋物線y2=4x,過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則y12+y22的最小值是 32 .6設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值.【專家解答】（1）法1：直線l過(guò)點(diǎn)M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.記A(x1,y1),B(x2,y2)，由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo) (x1,y1)、 (x2,y2)是方程組 的解. 將代入并化簡(jiǎn)得(4+k2)x2+2kx-3=0，所

3、以于是設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y), 則消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0 當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程，所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2-y=0 解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上，所以 得，所以當(dāng)時(shí)，有 并且 將代入并整理得 4x2+y2-y=0 當(dāng)x1=x2時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（0，2）、（0，2），這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）也滿足，所以點(diǎn)P的軌跡方程為 （2）由點(diǎn)P的軌跡方程知所以 故當(dāng)，取得最小值，最小值為當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為高考要考什么【考點(diǎn)透視】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題，因其考查的知識(shí)容量大、分析能力要

4、求高、區(qū)分度高而成為高考命題者青睞的一個(gè)熱點(diǎn)?！緹狳c(diǎn)透析】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題的討論常用以下方法解決：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點(diǎn)在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過(guò)解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來(lái)表示這個(gè)函數(shù)，通過(guò)討論函數(shù)的值域來(lái)求參數(shù)的變化范圍。（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式

5、。因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于： 通過(guò)參數(shù)簡(jiǎn)明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)； 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來(lái)幫助求解諸如最值、范圍等問(wèn)題；（6）構(gòu)造一個(gè)二次方程，利用判別式D0。突破重難點(diǎn)【范例1】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值，且cosF1PF2的最小值為（）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； （）若已知D(0,3)，M、N在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上且，求實(shí)數(shù)l的取值范圍講解()由題意c2=5設(shè)|PF1|+|PF2|=2a（），由余弦定理, 得 又， 當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)，|PF1|PF2| 取最大值，此時(shí)cosF1PF2取最小值，令，解得a2=9，b2=4，故所求P的軌跡方程為. （）

6、設(shè)N(s,t)，M(x,y)，則由，可得(x，y-3) =l(s，t-3)，故x=ls，y=3+l(t-3). M、N在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上，且，消去s可得，解得，又|t|2，解得，故實(shí)數(shù)l的取值范圍是【點(diǎn)晴】為了求參數(shù)的取值范圍，只要列出關(guān)于參數(shù)的不等式，而建立不等式的方法有多種方法，諸如：判別式法、均值不等式法、有界性法等等【文】已知點(diǎn)M(-2，0)，N(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為W.（）求W的方程；（）若A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.解：（）依題意，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所求方程為： （x0）（）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為

7、xx0，此時(shí)A（x0，），B（x0，），2 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxb，代入雙曲線方程中，得：(1k2)x22kbxb220依題意可知方程1有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則解得|k|1，又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b22綜上可知的最小值為2【范例2】給定點(diǎn)A(-2,2)，已知B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，試求B點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：因?yàn)闄E圓的，所以，而為動(dòng)點(diǎn)B到左準(zhǔn)線的距離。故本題可化為，在橢圓上求一點(diǎn)B，使得它到A點(diǎn)和左準(zhǔn)線的距離之和最小，過(guò)點(diǎn)B作l的垂線，垂點(diǎn)為N，過(guò)A作

8、此準(zhǔn)線的垂線，垂點(diǎn)為M，由橢圓定義于是 為定值其中，當(dāng)且僅當(dāng)B點(diǎn)AM與橢圓的定點(diǎn)時(shí)等點(diǎn)成立，此時(shí)B為所以，當(dāng)取得最小值時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)晴】在處理許多與焦點(diǎn)有關(guān)的距離和差最值問(wèn)題時(shí)，常常用圓錐曲線的定義化折為直，是一種簡(jiǎn)便而有效的好方法?！疚摹奎c(diǎn)A（3，2）為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y2=4x上移動(dòng)，若|PA|+|PF|取得最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1，設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，則|PA|+|PF|=|PA|+d。要使|PA|+|PF|取得最小值，由圖3可知過(guò)A點(diǎn)的直線與準(zhǔn)線垂直時(shí)，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P

9、（1，2）?！痉独?】已知P點(diǎn)在圓x2+(y-2)2=1上移動(dòng)，Q點(diǎn)在橢圓上移動(dòng),試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過(guò)圓心O1時(shí)|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.設(shè)Q(x，y)，則|O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2) 將代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因?yàn)镼在橢圓上移動(dòng)，所以-1y1，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)【點(diǎn)晴】1.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題往往與圓心有關(guān)；2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問(wèn)題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見(jiàn)的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視?！疚?/p>

10、】設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最大值。解: 依題意可設(shè)P(0,1), Q(x,y),則 |PQ|=,又因?yàn)镼在橢圓上,所以x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2 =(1a2)(y )2+1+a2 .因?yàn)閨y|1,a1, 若a, 則|1, 當(dāng)y=時(shí), |PQ|取最大值;若1a0，所以。10已知A（2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)連線的斜率分別為kPA和kPB，且滿足kPAkPB=t (t0且t1).（）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（）當(dāng)t0時(shí)，曲線C的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點(diǎn)Q使得F1Q

11、F2=120O，求t的取值范圍解：() 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),依題意得=ty2=t(x24)+=1，軌跡C的方程為+=1（x2）. () 當(dāng)1t0時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2, 則r1+ r2=2a=4.在F1PF2中，|F1F2|=2c=4, F1PF2=120O，由余弦定理得4c2=r+r2r1r2cos120= r+r+ r1r2= (r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2, 16（1+t）12, t.所以當(dāng)t0時(shí)，曲線上存在點(diǎn)Q使F1QF2=120O 當(dāng)t1時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2, 則r1+ r2=2a= -4t