2015屆高三藝術(shù)班數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料第二章第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用]

1、第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用一、必記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)1 幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，a>0且a1，b0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，a>0且a1，b0)冪函數(shù)模型f(x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0，n0)2三種函數(shù)模型性質(zhì)比較yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖像的變化隨

2、x值增大，圖像與y軸接近平行隨x值增大，圖像與x軸接近平行隨n值變化而不同二、必明2個(gè)易誤區(qū)1易忽視實(shí)際問(wèn)題的自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域2注意問(wèn)題反饋在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性三、必會(huì)1個(gè)方法解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題以上過(guò)程用框圖表示如下：考點(diǎn)一一次函數(shù)與二次函數(shù)模型1.某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方

3、式是月租20元，B種方式是月租0元一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時(shí)間t(分鐘)與電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差()A10元B20元 C30元 D.元解析：選A依題意可設(shè)sA(t)20kt，sB(t)mt，又sA(100)sB(100)，100k20100m，得km0.2，于是sA(150)sB(150)20150k150m20150×(0.2)10，即兩種方式電話費(fèi)相差10元，選A.2(2013·北京西城區(qū)抽檢)將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元出售時(shí)，能賣(mài)出400個(gè)若該商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少20個(gè)，為了賺取最大的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每

4、個(gè)()A115元 B105元 C95元 D85元解析：選C設(shè)售價(jià)定為(90x)元，賣(mài)出商品后獲得利潤(rùn)為：y(90x80)(40020x)20(10x)(20x)20(x210x200)20(x210x200)20，當(dāng)x5時(shí)，y取得最大值，即售價(jià)應(yīng)定為：90595(元)，選C.3為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國(guó)家科研部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為：yx2200x80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100

5、元該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？解：設(shè)該單位每月獲利為S，則S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因?yàn)?00x600，所以當(dāng)x400時(shí)，S有最大值40 000.故該單位不獲利，需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼40 000元，才能不虧損求解一次函數(shù)與二次函數(shù)模型問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)；(2)確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來(lái)確定，常用待定系數(shù)法；(3)解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問(wèn)題考點(diǎn)二分段函數(shù)模型提高過(guò)江

6、大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時(shí))(1)由題意：當(dāng)0x20時(shí)，v(x)60；當(dāng)20x200時(shí)，設(shè)v(x)

7、axb.由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當(dāng)0x20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時(shí)，其最大值為60×201 200；當(dāng)20<x200時(shí)，f(x)x(200x)2.當(dāng)且僅當(dāng)x200x，即x100時(shí)，等號(hào)成立所以當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間(20,200上取得最大值綜上，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間上取得最大值f(x)max3 333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/小時(shí)應(yīng)用分段函數(shù)模型的關(guān)注點(diǎn)(1)實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價(jià)與

8、路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解(2)構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，做到分段合理、不重不漏(3)分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分別在國(guó)內(nèi)和國(guó)外上市銷售，并且價(jià)格根據(jù)銷售情況不斷進(jìn)行調(diào)整，結(jié)果40天內(nèi)全部銷完公司對(duì)銷售及銷售利潤(rùn)進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如圖所示，其中圖(一條折線)、圖(一條拋物線段)分別是國(guó)外和國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系，圖是每件樣品的銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系(1)分別寫(xiě)出國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量f(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系及國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量g(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系；(2)國(guó)外和國(guó)內(nèi)的日銷售利潤(rùn)之和有沒(méi)有可能恰

9、好等于6 300萬(wàn)元？若有，請(qǐng)說(shuō)明是上市后的第幾天；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)圖是兩條線段，由一次函數(shù)及待定系數(shù)法，得f(t)圖是一個(gè)二次函數(shù)的部分圖像，故g(t)t26t(0t40)(2)每件樣品的銷售利潤(rùn)h(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系為h(t)故國(guó)外和國(guó)內(nèi)的日銷售利潤(rùn)之和F(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系為F(t)當(dāng)0t20時(shí)，F(xiàn)(t)3tt324t2，F(xiàn)(t)t248tt0，F(xiàn)(t)在上是增函數(shù)，F(xiàn)(t)在此區(qū)間上的最大值為F(20)6 000<6 300.當(dāng)20<t30時(shí)，F(xiàn)(t)60.由F(t)6 300，得3t2160t2 1000，解得t(舍去)或t30.當(dāng)30<t40時(shí)

10、，F(xiàn)(t)60.由F(t)在 (30,40上是減函數(shù)，得F(t)<F(30)6 300.故國(guó)外和國(guó)內(nèi)的日銷售利潤(rùn)之和可以恰好等于6 300萬(wàn)元，為上市后的第30天考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)模型一片森林原來(lái)面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù)，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來(lái)的.(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？(1)設(shè)每年降低的百分比為x(0<x<1)則a(1x)10a，即(1x)10，解得x1.(2)設(shè)經(jīng)過(guò)m年剩余面

11、積為原來(lái)的，則a(1x)ma，即，解得m5.故到今年為止，已砍伐了5年(3)設(shè)從今年開(kāi)始，以后砍了n年，則n年后剩余面積為a(1x)n.令a(1x)na，即(1x)n，解得n15.故今后最多還能砍伐15年應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)注意的問(wèn)題(1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問(wèn)題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來(lái)解決(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型(3)ya(1x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解提醒：解指數(shù)不等式時(shí)，一定要化為同底，且注意對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性(2013

12、3;長(zhǎng)春聯(lián)合測(cè)試)某位股民購(gòu)進(jìn)某支股票，在接下來(lái)的交易時(shí)間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為()A略有盈利 B略有虧損C沒(méi)有盈利也沒(méi)有虧損 D無(wú)法判斷盈虧情況解析：選B設(shè)該股民購(gòu)這支股票的價(jià)格為a，則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a(110%)na×1.1n，經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為a×1.1n×(110%)na×1.1n×0.9na×(1.1×0.9)n0.99n·a<a，故該股民這支股票略有虧損課后作業(yè) (2013&

13、#183;陜西高考)在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為_(kāi)(m)解析：設(shè)矩形花園的寬為y m，則，即y40x，矩形花園的面積Sx(40x)x240x(x20)2400，當(dāng)x20 m時(shí)，面積最大答案：20據(jù)調(diào)查，蘋(píng)果園地鐵的自行車存車處在某星期日的存車量為4 000輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0.3元，普通車存車費(fèi)是每輛一次0.2元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系是()Ay0.1x800(0x4 000) By0.1x1 200(0x4 000)Cy0.1x800(0x4 000) Dy0.1x1 200(0

14、x4 000)解析：選Dy0.2x(4000x)×0.30.1x1 200.(0x4 000)做一做1(2014·南昌質(zhì)檢)往外埠投寄平信，每封信不超過(guò)20 g，付郵費(fèi)0.80元，超過(guò)20 g而不超過(guò)40 g，付郵費(fèi)1.60元，依此類推，每增加20 g需增加郵費(fèi)0.80元(信的質(zhì)量在100 g以內(nèi))如果某人所寄一封信的質(zhì)量為72.5 g，則他應(yīng)付郵費(fèi)()A3.20元B2.90元 C2.80元 D2.40元解析：選A由題意得20×3<72.5<20×4，則應(yīng)付郵費(fèi)0.80×43.20(元)故選A.2(2014·廣州模擬)在某

15、個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()Ay2x Byx21Cy2x2 Dylog2x解析：選D根據(jù)x0.50，y0.99，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x2.01，y0.98，代入計(jì)算，可以排除B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)ylog2x，可知滿足題意故選D.3一種產(chǎn)品的成本原為a元，在今后的m年內(nèi)，計(jì)劃使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是關(guān)于經(jīng)過(guò)年數(shù)x(0<xm)的函數(shù)，其關(guān)系式y(tǒng)f(x)可寫(xiě)成_解析：依題意有ya(1p%)x(0<xm)答案：ya(1p%)x(0<x

16、m)4某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y48x8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？解：(1)每噸平均成本為(萬(wàn)元)則4824832，當(dāng)且僅當(dāng)，即x200時(shí)取等號(hào)年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低，最低為32萬(wàn)元(2)設(shè)可獲得總利潤(rùn)為R(x)萬(wàn)元，則R(x)40xy40x48x8 00088x8 000(x220)21 680(0x210)R

17、(x)在上是增函數(shù)，x210時(shí)，R(x)有最大值為(210220)21 6801 660.年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是1 660萬(wàn)元5設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a0)，小王騎自行車以勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速?gòu)囊业胤祷氐郊椎赜昧?0分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過(guò)的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖像為()解析：選D注意到y(tǒng)為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過(guò)的路程”而不是位移，用定性分析法不難得到答案為D.6某電視新產(chǎn)品投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷售100臺(tái)，第二個(gè)月銷售200臺(tái)，第三個(gè)月銷售400臺(tái)，第四個(gè)月銷售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量

18、y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x之間關(guān)系的是()Ay100x By50x250x100Cy50×2x Dy100log2x100解析：選C根據(jù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型7一水池有兩個(gè)進(jìn)水口，一個(gè)出水口，每個(gè)水口的進(jìn)、出水速度如圖甲、乙所示某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示給出以下3個(gè)論斷：0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水，則一定正確的是()A BC D解析：選A由甲、乙兩圖知，進(jìn)水速度是出水速度的，所以0點(diǎn)到3點(diǎn)不出水，3點(diǎn)到4點(diǎn)也可能一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，一個(gè)出水口出水，但總蓄水量降低，4點(diǎn)到6點(diǎn)也可能兩個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，一個(gè)出水

19、口出水，一定正確的是.8某種新藥服用x小時(shí)后血液中的殘留量為y毫克，如圖所示為函數(shù)yf(x)的圖像，當(dāng)血液中藥物殘留量不小于240毫克時(shí)，治療有效設(shè)某人上午8：00第一次服藥，為保證療效，則第二次服藥最遲的時(shí)間應(yīng)為()A上午10：00 B中午12：00C下午4：00 D下午6：00解析：選C當(dāng)x時(shí)，設(shè)yk1x，把(4,320)代入，得k180，y80x.當(dāng)x時(shí)，設(shè)yk2xb.把(4,320)，(20,0)代入得解得y40020x.yf(x)由y240，得或解得3x4或4<x8，3x8.故第二次服藥最遲應(yīng)在當(dāng)日下午4：00.故選C.9.一高為H，滿缸水量為V的魚(yú)缸截面如圖所示，其底部破了一

20、個(gè)小洞 ，滿缸水從洞中流出若魚(yú)缸水深為h時(shí)的水的體積為v，則函數(shù)vf(h)的大致圖像可能是圖中的_解析：當(dāng)h0時(shí)，v0可排除、；由于魚(yú)缸中間粗兩頭細(xì)，當(dāng)h在附近時(shí)，體積變化較快；h小于時(shí)，增加越來(lái)越快；h大于時(shí)，增加越來(lái)越慢答案：10.如圖，書(shū)的一頁(yè)的面積為600 cm2，設(shè)計(jì)要求書(shū)面上方空出2 cm的邊，下、左、右方都空出1 cm的邊，為使中間文字部分的面積最大，這頁(yè)書(shū)的長(zhǎng)、寬應(yīng)分別為_(kāi)解析：設(shè)長(zhǎng)為a cm，寬為b cm，則ab600 cm，則中間文字部分的面積S(a21)(b2)606(2a3b)6062486，當(dāng)且僅當(dāng)2a3b，即a30，b20時(shí)，S最大486 cm2.答案：30 cm,

21、20 cm11某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3 860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷售額為500萬(wàn)元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7 000萬(wàn)元，則x的最小值是_解析：七月份的銷售額為500(1x%)，八月份的銷售額為500(1x%)2，則一月份到十月份的銷售總額是3 8605002 ，根據(jù)題意有3 86050027 000，即25(1x%)25(1x%)266，令t1x%，則25t225t660，解得t或者t(舍去)，故1x%，解得x20.答案：2012(2013·昆明質(zhì)檢)某地近年來(lái)持續(xù)

22、干旱，為倡導(dǎo)節(jié)約用水，該地采用了“階梯水價(jià)”計(jì)費(fèi)方法，具體方法：每戶每月用水量不超過(guò)4噸的每噸2元；超過(guò)4噸而不超過(guò)6噸的，超出4噸的部分每噸4元；超過(guò)6噸的，超出6噸的部分每噸6元(1)寫(xiě)出每戶每月用水量x(噸)與支付費(fèi)用y(元)的函數(shù)關(guān)系；(2)該地一家庭記錄了去年12個(gè)月的月用水量(xN*)如下表：月用水量x(噸)34567頻數(shù)13332請(qǐng)你計(jì)算該家庭去年支付水費(fèi)的月平均費(fèi)用(精確到1元)；(3)今年干旱形勢(shì)仍然嚴(yán)峻，該地政府號(hào)召市民節(jié)約用水，如果每個(gè)月水費(fèi)不超過(guò)12元的家庭稱為“節(jié)約用水家庭”，隨機(jī)抽取了該地100戶的月用水量作出如下統(tǒng)計(jì)表：月用水量x(噸)1234567頻數(shù)10201616151