圓錐曲線的基本量問題

1、. 圓錐曲線的基本量問題考情分析 把握方向 圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，是高考的命題的熱點之一，其特點是用代數(shù)的方法研究和解決幾何問題，所以它是數(shù)形結(jié)合思想的典型載體。圓錐曲線的基本量是XX近幾年來高考中的熱點問題，在近三年的高考中均有所體現(xiàn)，考查內(nèi)容如下表所示：高考年份填空題解答題知識點2010年第6題中心在坐標原點的雙曲線的標準方程、圓錐曲線的統(tǒng)一定義2011年第18題橢圓的標準方程2012年第8題第19題雙曲線的性質(zhì)、橢圓的性質(zhì)、直線方程、兩點間的距離公式由上表可以看出，在XX近三年的高考中，主要考察的是圓錐曲線的基本量及其方程（特別是離心率的考查），弱化了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，而

2、且又以橢圓與雙曲線的性質(zhì)考查為主。備考策略 提升信心1XX高考的圓錐曲線的考查方式與其他新課標地區(qū)不同，淡化雙曲線與拋物線，淡化直線與圓錐曲線的關(guān)系，以橢圓為載體的綜合問題是考查的重點。2新型的圓錐曲線的試題主要呈現(xiàn)以下特點：（1）在曲線的準線、漸近線、離心率上做文章，圍繞圓錐曲線的定義、性質(zhì)、幾何量的含義進行解題，主要考查處理有關(guān)問題的基本技能、基本方法；（2）橢圓處于更加突出的位置，幾乎所有的解答題都會圍繞橢圓展開；（3）與圓一起出現(xiàn)，特別是直線與圓的位置關(guān)系，相切的內(nèi)容更是?？純?nèi)容。3.找出題中的等量關(guān)系（或不等關(guān)系）利用表示關(guān)系式中的量，再代入求解小題訓練 激活思維1.等軸雙曲線C的中

3、心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2 = 4x的準線交于A、B兩點，AB =，則C的實軸長為.12.已知雙曲線的右焦點為若以為圓心的圓與此雙曲線的漸近線相切，則該雙曲線的離心率為.答案：3.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為,點P為雙曲線上位于第一象限內(nèi)一點，且的面積為6，則點P的坐標為提示：注重方法的選擇4.（2012蘇北四市元月）已知橢圓的方程為，過橢圓的右焦點且與軸垂直的直線與橢圓交于兩點，橢圓的右準線與軸交于點，若為正三角形，則橢圓的離心率為5.已知、分別是橢圓的左、右焦點, 點是橢圓上的任意一點, 則的取值X圍是答案：提示：整體消元；或焦半徑公式（文科學生適當掌握一些焦半徑（橢圓）知識會有

4、幫助）6.設(shè)P為雙曲線上除頂點外的的任意一點，分別為左右點，內(nèi)切圓交實軸于點M，則值為說明：本題目的在于強化定義的運用核心問題 聚焦突破如圖，在平面直角坐標系中，為橢圓的四個頂點，為其右焦點，直線與直線相交于點T，線段與橢圓的交點恰為線段的中點，則該橢圓的離心率為.變式訓練：已知為雙曲線的左準線與x軸的交點，點，若滿足的點在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為變式拓展 分類解密題型一：直接求出，求解例1：已知圓錐曲線的標準方程或易求時，可利用率心率公式來解決。（2012XX期末）已知橢圓過點，其左右焦點分別是，且，則橢圓的離心率為題型二：構(gòu)造、的齊次式，解出根據(jù)題設(shè)條件，借助、之間的關(guān)系，構(gòu)造、的關(guān)

5、系（特別是齊二次式），進而得到關(guān)于的一元方程，從而解得離心率。例2：已知、是雙曲線（）的兩焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是解：如圖，設(shè)的中點為，則的橫坐標為，由焦半徑公式， 即，得，解得（舍去）題型三：采用離心率的定義以及橢圓的定義（或統(tǒng)一定義）求解例3：（1）設(shè)橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_。解：（2）設(shè)橢圓（）的右焦點為，右準線為，若過且垂直于軸的弦的長等于點到的距離，則橢圓的離心率是.解：如圖所示，是過且垂直于軸的弦，于，為到準線的距離，根據(jù)橢圓的第二定義，題型四：建立不等關(guān)系求解離心率的X

6、圍.例4：（1）若雙曲線（a0,b0）上橫坐標為的點到右焦點的距離大于它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值X圍是解析： 由題意可知即解得利用圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)建立不等關(guān)系求解.（2）雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值X圍為分析 ：求雙曲線離心率的取值X圍需建立不等關(guān)系，題設(shè)是雙曲線一點與兩焦點之間關(guān)系應(yīng)想到用雙曲線第一定義.如何找不等關(guān)系呢. 解析：|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=|PF2|=，|PF2|即 所以雙曲線離心率的取值X圍為點評：本題建立不等關(guān)系是難點，如果記住一些雙曲線重要結(jié)論（雙曲線上任

7、一點到其對應(yīng)焦點的距離不小于）則可建立不等關(guān)系使問題迎刃而解. 變式訓練：設(shè)橢圓的左、右焦點為，左準線為，為橢圓上一點，垂足為，若四邊形為平行四邊形，則橢圓的離心率的取值X圍為_（3）已知橢圓右頂為A,點P在橢圓上，O為坐標原點，且OP垂直于PA，則橢圓的離心率e的取值X圍為解：設(shè)P點坐標為（）,則有消去得若利用求根公式求運算復(fù)雜，應(yīng)注意到方程的一個根為a,由根與系數(shù)關(guān)系知由得變式訓練：橢圓：的兩焦點為，橢圓上存在點使. 則橢圓離心率的取值X圍為解析： 設(shè)將代入得求得 .點評：中，是橢圓中建立不等關(guān)系的重要依據(jù)，在求解參數(shù)X圍問題中經(jīng)常使用，應(yīng)給予重視.運用函數(shù)思想求解離心率例5：設(shè)，則雙曲線

8、的離心率e的取值X圍是解析：由題意可知題型五：圓錐曲線定義、焦半徑公式的運用例6：如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為，ABPOxy（第19題）已知和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點P（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值變式訓練：已知某橢圓的交點是，過點且垂直于軸的直線與橢圓的一個交點為，且，橢圓上不同的兩點，滿足條件成等差數(shù)列。(1) 求該橢圓的方程；(2) 求弦中點的橫坐標?！緦ｎ}總結(jié) 畫龍點睛】精要歸納：1.離心率問題的求解方法：（1）建立一個關(guān)于的齊次等式，再消除，求出；（

9、2）建立一個關(guān)于的齊次不等式，再消除，求出的X圍；（3）利用定義或題中蘊含的幾何關(guān)系，直接建立等式或不等式來求解。（4）在求解圓錐曲線離心率取值X圍時，一定要認真分析題設(shè)條件，合理建立不等關(guān)系，把握好圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，記住一些常見結(jié)論、不等關(guān)系，在做題時不斷總結(jié)，擇優(yōu)解題.尤其運用數(shù)形結(jié)合時要注意焦點的位置等.2.圓錐曲線的顯著特點是用代數(shù)的方法解決幾何問題，它的重點是用數(shù)形結(jié)合的思想把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。在圓錐曲線問題中轉(zhuǎn)化后常出現(xiàn)多字母的等式（不等式）的化簡，對字母運算能力要求較高。求圓錐曲線的標準方程包括“定位”和“定量”兩方面，“定位”是指確定橢圓與坐標系的相對位置，在中心為原點

10、的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式；“定量”則是確定、的具體值，常用待定系數(shù)法。專題檢測 水到渠成1.設(shè)點P在橢圓1(ab0)上，直線l的方程為x，且點F的坐標為(c，0)，作PQl于點Q若P、F、Q三點構(gòu)成一個等腰直角三角形，則橢圓的離心率_2.如圖，已知橢圓的左、右準線分別為，且分別交軸于兩點，從上一點發(fā)出一條光線經(jīng)過橢圓的左焦點被軸反射后與交于點，若，且，則橢圓的離心率等于3.已知雙曲線的左，右焦點分別為,點P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為解：|PF1|=4PF2|,|PF1|-|PF2|=3|PF2|=，|PF2|即所以雙曲線離心率的取值X圍為4.已知，分別為的左、右焦點，P為雙曲線右支上任一點，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值X圍是解析 ，欲使最小值為，需右支上存在一點P，使，而即所以.5.（11年蘇北四市二模）在平面直角坐標系xOy中，橢圓1(ab0)的左焦點為F，右頂點為A，