投資收益和風(fēng)險(xiǎn)的模型

1、投資收益和風(fēng)險(xiǎn)的模型0 引言在現(xiàn)代商業(yè)、金融的投資中，任何理性的投資者總是希望收益能夠取得最大化，但是他也面臨著不確定性和不確定性所引致的風(fēng)險(xiǎn)。而且，大的收益總是伴隨著高的風(fēng)險(xiǎn)。在有很多種資產(chǎn)可供選擇，又有很多投資方案的情況下，投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)就越小。為了同時(shí)兼顧收益和風(fēng)險(xiǎn)，追求大的收益和小的風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)成一個(gè)兩目標(biāo)決策問題，依據(jù)決策者對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)的理解和偏好將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)單目標(biāo)最優(yōu)化問題求解。隨著投資者對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)的日益關(guān)注,如何選擇較好的投資組合方案是提高投資效益的根本保證。傳統(tǒng)的投資組合遵循“不要將所有的雞蛋放在一個(gè)藍(lán)子里”的原則, 將投資分散化。 1 問題的提出某公司有數(shù)額為M（較大）的

2、資金，可用作一個(gè)時(shí)期的投資，市場(chǎng)上現(xiàn)有5種資產(chǎn)（Si）(如債券、股票等)可以作為被選的投資項(xiàng)目，投資者對(duì)這五種資產(chǎn)進(jìn)行評(píng)估，估算出在這一段時(shí)期內(nèi)購(gòu)買Si的期望收益率（ri）、交易費(fèi)率(pi)、風(fēng)險(xiǎn)損失率(qi)以及同期銀行存款利率r0（r0=3%）在投資的這一時(shí)期內(nèi)為定值如表1，不受意外因素影響,而凈收益和總體風(fēng)險(xiǎn)只受ri,pi,qi影響，不受其他因素干擾 ?，F(xiàn)要設(shè)計(jì)出一種投資組合方案, 使凈收益盡可能大, 風(fēng)險(xiǎn)盡可能小.表1投資項(xiàng)目Si 存銀行S0期望收益率ri(%) 風(fēng)險(xiǎn)損失率qi(%)3 27 22 25 23 210 2.4 1.6 5.2 2.2 1.5交易費(fèi)率pi(%)0 1 2

3、4.5 6.5 2S1 S2 S3 S4 S5其中i=0,1,2,3,4,5.2 問題假設(shè)及符號(hào)說明2.1 問題假設(shè)(1)總體風(fēng)險(xiǎn)可用投資的這五種中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量；(2)在投資中,不考慮通貨膨脹因素, 因此所給的Si的期望收益率ri為實(shí)際的平均收益率；(3)不考慮系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn), 即整個(gè)資本市場(chǎng)整體性風(fēng)險(xiǎn), 它依賴于整個(gè)經(jīng)濟(jì)的運(yùn)行情況, 投資者無法分散這種風(fēng)險(xiǎn), 而只考慮非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn), 即投資者通過投資種類的選擇使風(fēng)險(xiǎn)有所分散；(4)不考慮投資者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的心理承受能力。2.2 符號(hào)說明xi：購(gòu)買第i種資產(chǎn)的資金數(shù)額占資金總額的百分比；Mxi：購(gòu)買第i種資產(chǎn)的資金數(shù)額； Mx0：存銀行的金額； f

4、(xi)：交易費(fèi)用； R：凈收益；Q：總體風(fēng)險(xiǎn)； i：第i種投資的凈收益率。 3 模型的分析與建立令交易費(fèi)用Mxipi,xi>0(i=0,1, ,5) f(xi)=0,x=0i則凈收益為R=M(1+ri)xi-Mi=05總體風(fēng)險(xiǎn)為Q= maxMxiqi 0i5約束條件為f(x)+Mxii=0i=055i=M可以簡(jiǎn)化約束條件為(1+p)xii=05i=1同時(shí)將M=M(1+pi)xi代入，得i=05R=M(1+ri)xi-M(1+pi)xi=M(ri-pi)xii=0i=0i=0555略去M,原問題化為雙目標(biāo)決策問題:max R=xi(ri-pi)i=05minQ= maxxiqi （3.1

5、） 0i55(1+pi)xi=1i=0 s. t .xi0i=0,1, ,5以下設(shè)ri-pi>0，否則不對(duì)該資產(chǎn)投資。 4 模型的求解4.1 固定R使Q最小的模型固定R使Q最小，將模型（3.1）化為minQ= maxqixi， 0i55(ri-pi)xi=R,(1)i=05s. t . (1+pi)xi=1,(2) （4.1）i=0xi0i=0,1, ,5此模型又可改寫為min y(r0-p0)x0+(r1-p1)x1+ +(r5-p5)x5=R(1+p0)x0+(1+p1)x1+ +(1+p5)x5=1s. t . xiqiyxi0,y0i=0,1, ,5令i=(ri-pi)(1+pi

6、)，則i必大于0,否則, i表示第i種投資的凈收益率，若10, 則不對(duì)Si投資, 因?yàn)閷?duì)該項(xiàng)目投資純收益率不如存銀行, 而風(fēng)險(xiǎn)損失率又大于存銀行。將i從小到大排序,設(shè)k最大, 則易見對(duì)模型（4.1）的可行解必有0.03Rk.當(dāng)R=0.03時(shí), 所有資金都存銀行,Q=0; 當(dāng)R=k時(shí), 所有資金用于購(gòu)買Si , Q= qk；當(dāng)0.03<R<k時(shí),有如下結(jié)論7。 1+pk7x1q1= =x5q5。而對(duì)于固定收益使風(fēng)險(xiǎn)最小的模型來說，這結(jié)論也可換句話說：在前5項(xiàng)投資總額一定的前提下，各項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)損失相等即x1q1=x2q2= =x5q5時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)最小8。證：設(shè)y1,y2, ,y5是滿

7、足x1q1=x2q2= =x5q5的一組解，即y1q1=y2q2= =y5q5=Q*。顯然此時(shí)Q*為總體風(fēng)險(xiǎn)。由于前5項(xiàng)投資總額M是一定的，只要改變其中一項(xiàng)的值，便會(huì)導(dǎo)致總體風(fēng)險(xiǎn)增加。（比如說將y1的值增加為y1*會(huì)使得y1*q1>Q*，總體風(fēng)險(xiǎn)顯然增加；反之，若減小y1的值，必然會(huì)導(dǎo)致另外一項(xiàng)或幾項(xiàng)的值，總體風(fēng)險(xiǎn)自然增加。）因此,當(dāng)R(0.03,k)時(shí)，可按以下步驟求出最優(yōu)解：1）將（1）式和（2）5QQ式消去x0；2）將xi=代入解出Q；3）由xi=，1i5，x0=1-(1+pi)xiqiqii=1求出最優(yōu)解。所以，我們算得如下結(jié)果:（1）R=0.03時(shí)，x0=1,x1=x2=x3=

8、x4=x5=0,Q=0；（2）R=0.26時(shí)，x0=x2=x3=x4=x5=0,x1=,Q=；表1最小風(fēng)收益R險(xiǎn)度Q 投資Si的資金百分比xi （i=0,1,2,3,4,5.） x0 x1 x20.0000 x3 0.0000 x4 0.0000 x5 0.0000 0.03000.04000.05000.06000.07000.08000.09000.10000.11000.12000.13000.14000.15000.16000.17000.18000.19000.20000.2100 0.0000 1.0000 0.0000 0.0002 0.9397 0.0104 0.0156 0.

9、0048 0.0113 0.0166 0.0311 0.0096 0.0226 0.0332 0.0467 0.0144 0.0339 0.0498 0.0005 0.8793 0.0207 0.0007 0.8190 0.0311 0.0010 0.7587 0.0415 0.0622 0.0191 0.0453 0.0664 0.0012 0.6984 0.0519 0.0778 0.0239 0.0566 0.0830 0.0015 0.6380 0.0622 0.0933 0.0287 0.0679 0.0996 0.0017 0.5777 0.0726 0.1089 0.0335 0

10、.0792 0.1162 0.0020 0.5174 0.0830 0.1245 0.0383 0.0905 0.1328 0.0022 0.4571 0.0933 0.1400 0.0431 0.1018 0.1494 0.0025 0.3967 0.1037 0.1556 0.0479 0.1131 0.1660 0.0027 0.3364 0.1141 0.1711 0.0527 0.1245 0.1825 0.0030 0.2761 0.1245 0.1867 0.0574 0.1358 0.1991 0.0032 0.2158 0.1348 0.2023 0.0622 0.1471

11、0.2157 0.0035 0.1554 0.1452 0.2178 0.0670 0.1584 0.2323 0.0037 0.0951 0.1556 0.2334 0.0718 0.1697 0.2489 0.0040 0.0348 0.1660 0.2489 0.0766 0.1810 0.2655 0.0046 0.0000 0.1897 0.2846 0.0876 0.1097 0.3036 0.2589 0.3884 0.1195 0.0000 0.2132 0.0062 0.00000.2200 0.2300 0.2400 0.2500 0.26/1.010.0093 0.000

12、0 0.3858 0.4160 0.1781 0.00000.5471 0.1800 0.2525 0.0000 0.7084 0.00000.2722 0.0000 0.1160 0.0000 0.00000.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0131 0.0000 0.01700.00000.0209 0.0000 0.8701 0.0000 0.0238 0.00000.99010.0000最小風(fēng)險(xiǎn)度Q隨收益R的變化趨勢(shì)圖最小風(fēng)險(xiǎn)度Q收益R4.2 固定Q使R最大的模型max R=(ri-pi)xi，i=05xiqiQ,5s. t .(1+pi

13、)xi=1,i=0xi0,(i=0,1, ,5.)xi=Qqi。證明：反證法。假設(shè)i>j，xj>0，而xi<Qqi。選取充分小的正數(shù)，使得(xi+)qi<Q，(1+pi)<xj(1+pj)。令xi*=xi+，xj*=xj-(1+pi)(1+pj)，當(dāng)ki,j時(shí)，令xk*=xk，則xk*0，且xk=055*k(1+pk)=ki,j*x*k*k(1+pk)+(xi+)(1+pi)+xj-(1+pi)(1+pj)(1+pj)=1， 5x由此結(jié)論, 我們可將i從大到小排序, 使i最大的k 應(yīng)盡量滿足xkqk=Q, 若還有多余資金, 再投資i次大的, 。對(duì)于不同的Q ,會(huì)有

14、不同的投資方案, 我們可以算出Q的臨界值, 從而確定各項(xiàng)目的投資值。因此，設(shè)1>2>3>4>5>0 , 則可用下面的方法算出各臨界值c1，c2，c3，c4，c5。只有一種投資時(shí), c1(1+p1)=q1,c1=q1(1+p1)=0.023762。當(dāng)有兩種投資時(shí), 將x1=c2q1,x2=c2q2，代入x1(1+p1)+x2(1+p2)=1，得c2=q1q2+p1)q2+(1+p2)q1=0.009449。 同理可得：c3=q1q2q3+p1)q2q3+(1+p2)q1q3+(1+p3)q1q2=0.007941， c4=q1q2q3q4+p1)q2q3q4+(1+

15、p2)q1q3q4+(1+p3)q1q2q4+(1+p4)q1q2q3=0.005736c5=q1q2q3q4q5+p1)q2q3q4q5+(1+p2)q1q3q4q5+(1+p3)q1q2q4q5+(1+p4)q1q2q3q5+(1+p5)q1q2q3q4=0.004131于是得最優(yōu)解：當(dāng)Q=0.000000時(shí)，x0=1,x1=x2=x3=x4=x5=0。當(dāng)0<Q0.004131時(shí)，x1=Qq1,x2=Qq2,x3=Qq3,x4=Qq4,x5=Qq5,x0=1-(1+pi)xi。i=15當(dāng)0.004131<Q0.005736時(shí)，x1=Qq1,x2=Qq2,x3=Qq3,x4=Qq

16、4,x5=1-(1+pi)xi+p5),x0=0。i=14當(dāng)0.005736<Q0.007941時(shí)，x1=Qq1,x2=Qq2,x3=Qq3,x4=1-(1+pi)xi+p4),x5=x0=0。i=13當(dāng)0.007941<Q0.009449時(shí)，x1=Qq1,x2=Qq2,x3=1-(1+pi)xi+p3),x4=x5=x0=0。I=12當(dāng)0.009449<Q0.023762時(shí)，x1=Qq1,x2=1-(1+p1)x1(1+p2),x3=x4=x5=x0=0。當(dāng)Q>0.023762時(shí)，x1=+p1),x2=x3=x4=x5=x0=0。當(dāng)然，我們也可以換個(gè)角度來考慮上面這個(gè)

17、模型。為了能夠給不同風(fēng)險(xiǎn)承受能力的投資者提供某種風(fēng)險(xiǎn)水平下的最優(yōu)投資組合的決策方案，我們必須確定最優(yōu)收益值R和最小風(fēng)險(xiǎn)度Q的值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。maxR=(r0-p0)x0+(r1-p1)x1+ +(r5-p5)x5，x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4+1.02x5=1,0.024x1Q,0.016x2Q,0.052x3Q, s.t0.022x4Q,0.015x5Q,xi0,(i=0,1,2,3,4,5.)為此編寫MATLAB程序（見附錄），從風(fēng)險(xiǎn)度Q=0開始，以每次增加0.001的風(fēng)險(xiǎn)度進(jìn)行搜索5。根據(jù)附錄中程序一，最優(yōu)收益值R和最小風(fēng)險(xiǎn)度Q以及投資額分配之間的對(duì)

18、應(yīng)關(guān)系計(jì)算結(jié)果列表如下：風(fēng)險(xiǎn)度最優(yōu)收益投資Si的資金百分比xi （i=0,1,2,3,4,5.）Q0 0.0010 0.0020 0.0030 0.0040 0.0050 0.0060 0.0070 0.0080 0.0090 0.0100 0.0110 0.0120 0.0130 0.0140 0.0150 0.0160R0.0300 0.0702 0.1103 0.1505 0.1907 0.2044 0.2092 0.2130 0.2167 0.2193 0.2219 0.2245 0.2271 0.2297 0.2322 0.2348 0.2374x01.0000 0.7577 0.5

19、153 0.2730 0.0306 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000x10.0000 0.0417 0.0833 0.1250 0.1667 0.2083 0.2500 0.2917 0.3333 0.3750 0.4167 0.4583 0.5000 0.5417 0.5833 0.6250 0.6667x20.0000 0.0625 0.1250 0.1875 0.2500 0.3125 0.3750 0.4375 0.4927 0.4317 0.3708

20、0.5266 0.2489 0.1879 0.1269 0.0660 0.0051x30.0000 0.0192 0.0385 0.0577 0.0769 0.0962 0.1154 0.1346 0.1538 0.1731 0.1923 0.0000 0.2308 0.2500 0.2692 0.2885 0.3077x40.0000 0.0455 0.0909 0.1364 0.1818 0.0285 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000x50.0000 0.0667 0.1

21、333 0.2000 0.2667 0.3333 0.2396 0.1162 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0170 0.0180 0.0190 0.0200 0.0210 0.0220 0.0230 0.0240 0.0250 0.09900.2400 0.2426 0.2451 0.2477 0.2503 0.2529 0.2555 0.2574 0.2574 0.25740.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000

22、0 0.00000.7083 0.7500 0.7917 0.8333 0.8750 0.9167 0.9583 0.9901 0.9901 0.99010.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.2723 0.2321 0.1918 0.1515 0.1112 0.0710 0.0307 0.0000 0.0000 0.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0000 0.0000 0.

23、0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000最優(yōu)收益R隨風(fēng)險(xiǎn)度Q的變化趨勢(shì)圖最優(yōu)收益R0.010.020.030.04風(fēng)險(xiǎn)度Q0.070.080.090.1按照收益風(fēng)險(xiǎn)最大原則, 可取模型max，5(1+pi)xi=1,s. ti=0x0,(i=0,1, ,5.)i由于q0=0，因而取x0=1,x1=x2= =x5=0時(shí)，max=+。當(dāng)然，也可取模型minQR，5(1+pi)xi=1,s.ti=0x0,(i=0,1, ,5.)i同上，由于q0=0，因而取x0=1,x1=x2= =x5=0時(shí)，minQR=0，從而可知, 全部錢存銀行是

24、最優(yōu)解。對(duì)于此問題, 其他投資的收益與風(fēng)險(xiǎn)損失率都不影響該最優(yōu)解, 故這種模型不夠好。由偏好系數(shù)法, 我們選取偏好系數(shù)(01),建立模型max(1-)R-y，5xi(1+pi)=1,i=0txiqiy, s.x0,(i=0,1,2,3,4,5.)i具體數(shù)據(jù)可應(yīng)用參數(shù)規(guī)劃法進(jìn)行計(jì)算。權(quán)重r最小風(fēng) 險(xiǎn)度Q投資Si的資金百分比xi （i=0,1,2,3,4,5）x00.0000 0.0000 0.0000 0.0000x10.9901 0.3309 0.2149 0.1719x20.0000 0.4963 0.3223 0.2579x30.0000 0.1527 0.0992 0.0794x40.0

25、000 0.0000 0.0000 0.1876x50.0000 0.0000 0.3438 0.27510,0.7200 0.02380.7210,0.7920 0.0079 0.7930,0.9070 0.0052 0.9090,0.9750 0.00410.9760,10.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 風(fēng)險(xiǎn)度Q隨權(quán)重r的變化趨勢(shì)圖附錄一模型一Lingo 語(yǔ)句min y(r0-p0)x0+(r1-p1)x1+ +(r5-p5)x5=R(1+p0)x0+(1+p1)x1+ +(1+p5)x5=1s. t . xiqiyxi0,y

26、0,(i=0,1, ,5.)min=y;0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-0.02)*x5=0.03;x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4+1.02*x5=1;0.024*x1<=y;0.016*x2<=y;0.052*x3<=y;0.022*x4<=y;0.015*x5<=y;模型一Matlab 程序>> R=0.03>> while R<0.26/1.01;C= 0 0 0 0

27、0 0 1;A= 0 0.024 0 0 0 0 -1;0 0 0.016 0 0 0 -1;0 0 0 0.052 0 0 -1;0 0 0 0 0.022 0 -1;0 0 0 0 0 0.015 -1;B= 0;0;0;0;0;Aeq= 0.03 0.26 0.2 0.205 0.165 0.19 0;1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02 0; Beq= R;1;Vlb= 0;0;0;0;0;0;0;% or Vlb= zeros(7,1);Vub= ;x,fval= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);RQ=fvalx=x'plot

28、(R, Q, 'm.')axis(0 0.3 0 0.03)xlabel('收益R')ylabel('最小風(fēng)險(xiǎn)度Q')title('最小風(fēng)險(xiǎn)度Q隨收益R的變化趨勢(shì)圖')hold onR=R+0.01;grid onendR=0.26/1.01;C= 0 0 0 0 0 0 1;A= 0 0.024 0 0 0 0 -1;0 0 0.016 0 0 0 -1;0 0 0 0.052 0 0 -1;0 0 0 0 0.022 0 -1;0 0 0 0 0 0.015 -1;B= 0;0;0;0;0;Aeq= 0.03 0.26 0.2

29、 0.205 0.165 0.19 0;1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02 0; Beq= R;1;Vlb= 0;0;0;0;0;0;0;% or Vlb= zeros(7,1);Vub= ;x,fval= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub)程序二模型二Matlab 程序>> Q=0>> while (1.1-Q)>1 % or Q<0.1;C= -0.03 -0.26 -0.20 -0.205 -0.165 -0.19;A= 0 0.024 0 0 0 0;0 0 0.016 0 0 0;0 0 0 0.05

30、2 0 0;0 0 0 0 0.022 0;0 0 0 0 0 0.015;B= Q;Q;Q;Q;Q;Aeq= 1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02;Beq= 1;Vlb= 0;0;0;0;0;0;% or Vlb= zeros(5,1);Vub= ;x,fval= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);QR=-fvalx=x'plot(Q,R,'m.')axis(0 0.1 0 0.5)xlabel('風(fēng)險(xiǎn)度Q')ylabel('最優(yōu)收益R')title('最優(yōu)收益R隨風(fēng)險(xiǎn)度Q的變化趨

31、勢(shì)圖')hold onQ=Q+0.001;grid onenda=0;while(1.1-a)>1c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065;beq=1;A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')axis(0 0.1 0 0.5)hold ona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')模型三Lingo 語(yǔ)句max(1-)R-y，5xi(1+pi)=1,i=0txiqiy, s.x0,(i=0,1,2,3,4,5.)imax=(1-0.2)*(