復(fù)合函數(shù)含義

1、復(fù)合函數(shù)含義： 函數(shù)y=log2x是對數(shù)函數(shù)，那么函數(shù)y=log2(2x-1)是什么函數(shù)呢?我們可以這樣理解：設(shè)y=log2u，u=2x-1，因此函數(shù)y=log2(2x-1)是由對數(shù)函數(shù)y=log2u和一次函數(shù)u=2x-1經(jīng)過復(fù)合而成的。一般地：若，又，且值域與定義域的交集不空，則函數(shù)叫的復(fù)合函數(shù)，其中叫外層函數(shù)，叫內(nèi)層函數(shù)，簡而言之，所謂復(fù)合函數(shù)就是由一些初等函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)。 簡言之：復(fù)合函數(shù)就是: 把一個函數(shù)中的自變量替換成另一個函數(shù)所得的新函數(shù). 例如: f(x) = 3x+5, g(x) = x2+1; 復(fù)合函數(shù)f(g(x)即把f(x)里面的x換成g(x), f(g(x) = 3g

2、(x)+5 = 3(x2+1)+5 = 3x2+8. 對于有關(guān)復(fù)合函數(shù)定義域問題我們可以分成以下幾種常見題型：（一）求復(fù)合函數(shù)表達(dá)式；（二）求復(fù)合函數(shù)相關(guān)定義域；（三）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；（四）函數(shù)性質(zhì)等與復(fù)合函數(shù)結(jié)合。新課程中復(fù)合函數(shù)相關(guān)題：7，如果，證明：。8、已知函數(shù)與分別由下表給出，那么12341234234121439、設(shè)函數(shù)，函數(shù)，求。7、已知是一個定義在R上的函數(shù)，求證：（1）是偶函數(shù)；（2）是奇函數(shù)。20、求滿足下列條件的函數(shù)的解析式：（1）；（2）。22、如果，試求的表達(dá)式，并猜一猜的表達(dá)式。23、（1）函數(shù)與的圖象之間有什么關(guān)系？（2）已知函數(shù)的圖象如圖所示，畫出下列函數(shù)的圖

3、象：；。（必修1 p94 ）已知，則已知與分別由下表給出， 1234123423412143那么已知函數(shù)，求； 若函數(shù)求變題：已知函數(shù)，求：；的定義域；已知函數(shù)，求. （一）求復(fù)合函數(shù)表達(dá)式；例1.已知f(x)=x+，g(x)=x2-2，求fg(x)和gf(x)的解析式。 例2、（1）設(shè) f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 求fg(x)（或gf(x)）。（2）已知：f(x)=x2-x+3 求：f() f(x+1)（二）求復(fù)合函數(shù)相關(guān)定義域；一、已知的定義域，求復(fù)合函數(shù)的定義域 由復(fù)合函數(shù)的定義我們可知，要構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)的值域必須包含于外層函數(shù)的定義域之中，因此可得其方法為：若的定

4、義域?yàn)椋蟪鲋械慕獾姆秶?，即為的定義域。例1 已知的定義域?yàn)?，求定義域。 解 因?yàn)閺?fù)合函數(shù)中內(nèi)層函數(shù)值域必須包含于外層函數(shù)定義域中，即 即或故的定義域?yàn)椤驹u注】所謂定義域是指函數(shù)中自變量的取值范圍，因此我們可以直接將復(fù)合函數(shù)中看成一個整體，即由可得，解出的范圍即可。（2006年湖北卷）設(shè)，則的定義域?yàn)?（B） A. B. C. D. 二、已知復(fù)合函數(shù)的定義域，求的定義域方法是：若的定義域?yàn)?，則由確定的范圍即為的定義域。例2 若函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域解 ， ，故函數(shù)的定義域?yàn)椤驹u注】由的定義域?yàn)榈茫械耐瑢W(xué)會誤將此的范圍當(dāng)作的定義域，為了更易分清此非彼，我們可將令成一個整體，即，先解出的

5、定義域，即為的定義域。 三、已知復(fù)合函數(shù)的定義域，求的定義域 結(jié)合以上一、二兩類定義域的求法，我們可以得到此類解法為：可先由定義域求得的定義域，再由的定義域求得的定義域。 例3 已知的定義域?yàn)椋蟮亩x域。 解 由的定義域?yàn)榈?，故即得定義域?yàn)椋瑥亩玫?，所以故得函?shù)的定義域?yàn)?四、已知的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域 若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集。 例4 已知函數(shù)定義域?yàn)槭?，且求函?shù)的定義域 解 ，又 要使函數(shù)的定義域?yàn)榉强占希仨毲抑恍?，即，這時函數(shù)的定義域?yàn)椤驹u注】由于所得不等式組中兩個不等式的四個“

6、端點(diǎn)”都含有字母，所以既要分別判斷它們左、右端點(diǎn)值的大小，還要交叉判斷第一個不等式的左端點(diǎn)與第二個不等式的右端點(diǎn)和第一個不等式的右端點(diǎn)與第二個不等式的左端點(diǎn)的大小，需要特別指出的是，函數(shù)的定義域不能是空集。   （三）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的核心內(nèi)容之一，也是高考中重點(diǎn)考查的知識，又多以考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性居多. 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的復(fù)合規(guī)律為：若函數(shù)y=f(u)與u=g(x)的增減性相同(相反)，則y=fg(x)是增(減)函數(shù)，可概括為“同增異減” . 定理：設(shè)y=f(u)，u=g(x)，已知u=g(x)在a，b上是單調(diào)增(減)函數(shù)，y=f(u)在區(qū)間g(a)，

7、g(b)(或g(b)，g(a)上是單調(diào)增(減)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在a，b上一定是單調(diào)函數(shù)，并有以下結(jié)論： u=g(x)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)y=f(u)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)y=fg(x)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù) 判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的步驟如下：(1)求復(fù)合函數(shù)定義域；(2)將復(fù)合函數(shù)分解為若干個常見函數(shù)(一次、二次、冪、指、對函數(shù))；(3)判斷每個常見函數(shù)的單調(diào)性；(4)將中間變量的取值范圍轉(zhuǎn)化為自變量的取值范圍；(5)求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。 一、外函數(shù)與內(nèi)函數(shù)只有一種單調(diào)性的復(fù)合型：例1 (95·全國·理)已知函數(shù)y=loga(2-ax)在0,1上是x

8、的減函數(shù)，則a的取值范圍是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).2，+)解：設(shè)y= logau，u=2-ax，a是底數(shù)，所以a>0， 函數(shù)y=loga u在u0,1上是減函數(shù)，而u=2-ax在區(qū)間x0,1上是減函數(shù)， y= logau是u(0, +)上的增函數(shù)，故a>1，還要使2-ax>0在區(qū)間上總成立，令g(x)= 2-ax，由 ，解得a<2，1<a<2，故選(B).二、外函數(shù)只有一種單調(diào)性，而內(nèi)函數(shù)有兩種單調(diào)性的復(fù)合型：例2 (84·全國·理)函數(shù)y=log0.5(x2+4x+4)在什么區(qū)間上是增函

9、數(shù)？解：令y= log0.5u，u= x2+4x+4，由x2+4x+4>0知函數(shù)的定義域?yàn)閤0，因y= log0.5u在u(0,+)上是減函數(shù)，而u= x2+4x+4在x(-，-2)上是減函數(shù)，在(-2，+ )上是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合規(guī)律知，函數(shù)y=log0.5(x2+4x+4) 在x(-，-2)上是增函數(shù).例3.討論函數(shù)y=0.8x2-4x+3的單調(diào)性。 解：函數(shù)定義域?yàn)镽。 令u=x2-4x+3，y=0.8u。 指數(shù)函數(shù)y=0.8u在(-，+)上是減函數(shù)， u=x2-4x+3在(-，2上是減函數(shù)，在2，+)上是增函數(shù)， 函數(shù)y=0.8x2-4x+3在(-，2上是增函數(shù)，在2，+)上是減函

10、數(shù)。 這里沒有第四步，因?yàn)橹虚g變量允許的取值范圍是R，無需轉(zhuǎn)化為自變量的取值范圍。三、外函數(shù)有兩種單調(diào)性，而內(nèi)涵數(shù)只有一種單調(diào)性的復(fù)合型：例5 (96·全國·理)在下列各區(qū)間中，函數(shù)y=sin(x+)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )(A).， (B).0， (C).-，0 (D). ， 解：令y=sinu，u=x+，y=sinu在u 2k- ，2k+ (kZ)上單調(diào)遞增，在u 2k+ ，2k+ (kZ)上單調(diào)遞增，而u=x+在R上是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合規(guī)律，由2k- x+2k+ 得2k- x2k+，當(dāng)k=0時，- x，而0，- ，故選(B) .例6.討論函數(shù)y=(log2x)

11、2+log2x的單調(diào)性。 解：顯然函數(shù)定義域?yàn)?0，+)。 令 u=log2x，y=u2+u u=log2x在(0，+)上是增函數(shù)， y=u2+u在(-，上是減函數(shù)，在，+)上是增函數(shù)(注意(-，及，+)是u的取值范圍)因?yàn)閡log2x，0x，(u log2x x) 所以y=(log2x)2+log2x在(0，上是減函數(shù)，在，+)上是增函數(shù)。四、外函數(shù)與內(nèi)函數(shù)都有兩種單調(diào)性的復(fù)合型： 例7、(89·全國·理)已知函數(shù)f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) ( )(A).在區(qū)間(-1，0)上是減函數(shù)； (B).在區(qū)間(0， 1)上是減函數(shù)；(C)

12、.在區(qū)間(-2，0)上是增函數(shù)； (D).在區(qū)間(0， 2)上是增函數(shù).解：令g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，則(1) g(x) =-(u-1) 2+9在u(-，1上是增函數(shù)，與u=2-x2具有相同的增減性，由2-x21得 x-1或x1，而u在x(-，-1上是增函數(shù)，u在x1,+)上是減函數(shù)，g(x)在區(qū)間(-，-1上是增函數(shù), 在區(qū)間1，+)上是減函數(shù).(2) g(x) =-(u-1) 2+9在u1,+)上是減函數(shù)，與u=2-x2具有相反的增減性，由2-x21得 -1x1，而u=2-x2在x -1,0 上是增函數(shù)，在x(0， 1)上是減函數(shù)，g(x) =-(u-1)

13、2+9在區(qū)間-1，0上是減函數(shù), 在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù).故選(A)五、利用復(fù)合函數(shù)求參數(shù)取值范圍。 求參數(shù)的取值范圍是一類重要問題，解題關(guān)鍵是建立關(guān)于這個參數(shù)的不等式組，必須將已知的所有條件加以轉(zhuǎn)化。 例8.已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+3a)在區(qū)間2，+)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。 分析如下： 令u=x2-ax+3a，y=u。 因?yàn)閥=u在(0，+)上是減函數(shù) f(x)=(x2-ax+3a)在2，+)上是減函數(shù) u=x2-ax+3a在2，+)上是增函數(shù)，且對任意x2，+)，都有u0。對稱軸x=在2的左側(cè)或過(2，0)點(diǎn)，且u(2)0。 -4a4 例9.若f(x)=loga(

14、3-ax)在0，1上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_。 令u=-ax+30，y=logau，由于a作對數(shù)的底數(shù)，所以a0且a1，由u=-ax+30得x。在0，1上，且u是減函數(shù)。 f(x)=loga(3-ax)在0，1上是減函數(shù)。 y=logau是增函數(shù)，且0，1(-， 1a3 所以a的取值范圍是(1，3)。（四）函數(shù)性質(zhì)等與復(fù)合函數(shù)結(jié)合。 1 設(shè)f(x)，則ff() ( B ) ABCD 2若函數(shù)f（x2） 則f（2）· f（98）的值為_2_3、已知函數(shù)，則方程的解集為 4已知函數(shù)的圖象過（1，0），則的圖象一定過點(diǎn)（ B ）A（1，2） B（2，1）C（0，2） D（2，

15、0）5Oxy函數(shù)y = f(x)的圖象、已知函數(shù)y = f(|x|)的圖象如下左圖所示，則函數(shù)y = f(x)的圖象不可能是 ( )OxyOxyOxyOxyABCD6.若函數(shù)則y=f(1x)的圖象可以是 （ C ） A B C D7.定義在R上的增函數(shù)f(x)滿足ff(x)=x,則f(x)|-|f(x)-1|的范圍是( B )A. B.-1,1 C. D. （A） （B） （C） （D）8 (2006年山東卷）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),則,f(6)的值為 (B)(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2復(fù)合函數(shù)習(xí)題1、函數(shù)lgf(x)·g(x)的定義域

16、為M，lgf(x)的定義域?yàn)镹，lgg(x)的定義域?yàn)镻，則M、N、P間的關(guān)系是 （ ）A、MÊ（NÇP） B、MÊNÊP C、M=（NÇP） D、MÊ（NÈP）2、若g(x)是奇函數(shù)，且F(x)=ag(x)+bx3+5在（0，+¥）內(nèi)有最大值12，則F(x)在（¥，0）內(nèi)有 （ ） A、最小值12 B、最大值12 C、最小值2 D、最小值23、設(shè)log2log (log2x)=log3log(log3y)=log5log(log5z)=0，則x、y、z有大小關(guān)系是（ ）A、z<x<y B、x

17、<y<z C、y<z<x D、z<y<x4、設(shè)有函數(shù)f(x)=x1, g(x)=, h(x)=3x，則函數(shù)hg1f(x)的值域是（ ）A、0，+¥） B、（1，+¥） C、（0，+¥） D、1，+¥）5、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是1，1那么函數(shù)flog(x21)的定義域是_6、已知函數(shù)f(x)的最小正周期是8，且對等式f(4+x)=f(4x)恒成立，則f(x)的奇函偶性是_（填“奇、偶、非奇、非偶”）7、函數(shù)y=+的值域是_8、已知函數(shù)y=log2(x22)的值域?yàn)?,log214，則函數(shù)的定義域是_9、已知logay=

18、(logax)2+logax3（其中a>1 ），當(dāng)y最大值為時求實(shí)數(shù)a、x之值10、已知函數(shù)f(x)滿足：(1)f()=1,(2)值域?yàn)?，1(3)嚴(yán)格遞減(4)f(xy)=f(x)+f(y)（1）、求證不在f(x)定義域內(nèi)；（2）、求解不等式。 11、 若y = f ( x ) 的定義域是0，1，則 f ( x + a ) + f (2 x + a) ( )的定義域?yàn)椋?A）12、關(guān)于x的函數(shù)在1，+上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( D ） A（,0） B(1,0) C(0,2D(,1) 13、已知單調(diào)函數(shù)y=f(x)的定義域是0,2,且,那么函數(shù)的定義域是_ 14. 已知函數(shù),則的單調(diào)減區(qū)間是_.15、已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)設(shè)g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)設(shè)(x)=g(x)f(x),試問 是否存在實(shí)