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文檔簡介
1、14.3空間直角坐標(biāo)系4.3.1空間直角坐標(biāo)系4.3.2空間兩點(diǎn)間的距離公式-學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航- -1了解空間直角坐標(biāo)系的建系方式.(難點(diǎn))2.能在空間直角坐標(biāo)系中求出點(diǎn)的坐標(biāo)和已知坐標(biāo)作出點(diǎn).(重點(diǎn)、易錯點(diǎn))3 .理解空間兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)過程和方法.(難點(diǎn))4.掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式,能夠用空間兩點(diǎn)間距離公式解決簡單的問題.(重點(diǎn))I_基礎(chǔ)初探教材整理 1 空間直角坐標(biāo)系閱讀教材 P134P135“例 1”以上部分,完成下列問題.1.空間直角坐標(biāo)系階段1認(rèn)知偵習(xí)質(zhì)疑2定義以空間中兩兩垂直且相交于一點(diǎn) 0 的二條直線分別為 x 軸、V 軸、z 軸.這時就說建立了空間直角坐標(biāo)系 Oxv 乙其中
2、點(diǎn) 0 叫做坐標(biāo)原點(diǎn),x 軸、V 軸、z 軸叫做坐標(biāo)軸.通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平 面,分別稱為 xOv 平面、yOz平面、zOx 平面3畫法在平面上畫空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 時,一般使/ xOy- i35 / yOz=90圖示IX丿0y說明本書建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系,即在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向 x 軸的正方向,食指指向 y 軸的正方向,中指指向 乙軸的正方向,則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系2.空間中一點(diǎn)的坐標(biāo)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可用有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)來表示,有序?qū)崝?shù)組(x, y, z) 叫做點(diǎn) M 在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作 M(x, y, z),其中
3、x 叫做點(diǎn) M 的 橫坐標(biāo),y 叫做點(diǎn) M 的縱坐標(biāo),z 叫做點(diǎn) M 的豎坐標(biāo).-O微牡驗(yàn)O-判斷(正確的打“V”,錯誤的打“X”)c).()【解析】 (1)錯誤.x 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)是縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)都為 0.(2)、(3)、(4)正確.【答案】(1)X V(3)VV教材整理 2 空間兩點(diǎn)間的距離公式閱讀教材 P136“練習(xí)”以下至 Pl37部分,完成下列問題.1.點(diǎn) P(x, y, z)到坐標(biāo)原點(diǎn) 0(0,0,0)的距離 |0P|= .X2+ y2+ z2.2 .任意兩點(diǎn)Pl(xi,yi,乙),P2(X2, y2, z2)間的距離|PlP2| =在空間直角坐標(biāo)系中,在Ox 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是
4、(0, b, c).(在空間直角坐標(biāo)系中,在yOz 平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定可寫成(0, b,(3)在空間直角坐標(biāo)系中,在Oz 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)可記作(0,0, c).(4)在空間直角坐標(biāo)系中,在xOz 平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a,0, c).(47(xi x2+( yi y2$+( zi z22.-o微體驗(yàn)-在空間直角坐標(biāo)系中,A( i,2,3), B(2,i, m),若|AB|= ii0,則 m 的值為5【解析】AB=P(-盯+( 21行(3-m)2= 110,(3 m)2= 100,3- m= 0.【答案】7 或 13小組合作型1中點(diǎn),G 在棱 CD 上,且 CG=4CD, H 為 C1G 的中點(diǎn)
5、,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系, 寫出 E、F、G、H 的坐標(biāo).【精彩點(diǎn)撥】 要求點(diǎn)的坐標(biāo),需求得橫、縱、豎坐標(biāo)的值,即確定出所求點(diǎn)的坐標(biāo).【自主解答】 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.點(diǎn) E 在 z 軸上,它的 x 坐 標(biāo)、y 坐標(biāo)均為 0,而 E 為 DD1的中點(diǎn),故其坐標(biāo)為 i0,0,2 1 1由 F 作 FM 1AD、FN JDC,由平面幾何知 FM = 2、FN = 2,貝 F 點(diǎn)1-1 1 、坐標(biāo)為 2, 2,0 .3f 3點(diǎn) G 在 y 軸上,其 x、z 坐標(biāo)均為 0,又 GD = 4,故 G 點(diǎn)坐標(biāo)為 0, 4, 0 117階段2.介作探究通關(guān)IIZ 空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定卜例在棱長為 1
6、的正方體 ABCD-A1B1C1D1中,E、F 分別是 D1D、BD 的6由 H 作 HK JCG 于 K,由于 H 為 C1G 的中點(diǎn),故 HK = 2、CK = -DK = 8.故 H 點(diǎn)坐標(biāo)為 0,8,1.1 建立空間直角坐標(biāo)系時應(yīng)遵循以下原則(1) 讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi);(2) 充分利用幾何圖形的對稱性.2求某點(diǎn)的坐標(biāo)時,一般先找出這一點(diǎn)在某一坐標(biāo)平面上的射影,確定其 兩個坐標(biāo),再找出它在另一軸上的射影 (或者通過它到這個坐標(biāo)平面的距離加上 正負(fù)號),確定第三個坐標(biāo).I_I再練一題1 在棱長都為 2 的正三棱柱 ABC-AiBiCi中,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系, 并寫
7、出三棱柱 ABC-AiBiCi各頂點(diǎn)的坐標(biāo)【解】 取 BC,BiCi的中點(diǎn)分別為 O, 0i,連接 OA, OOi,根據(jù)正三棱柱的幾何性質(zhì),OA, OB,OOi兩兩互相垂直,且 OA=X2=3,以 OA, OB,OOi所在的直線分別為 x 軸、y 軸、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則正三棱柱 ABC-AiBiCi各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:A( 3, 0,0), B(0,i,0), C(0, i,0), Ai( 3, 0,2), Bi(0,i,2), Ci(0, i,2).7求點(diǎn) P 關(guān)于 x 軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求點(diǎn) P 關(guān)于 xOy 平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo);求點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) M(2, 1,
8、4)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).【精彩點(diǎn)撥】 對照空間點(diǎn)的對稱的規(guī)律直接寫出各點(diǎn)的坐標(biāo).【自主解答】(1)由于點(diǎn) P 關(guān)于 x 軸對稱后,它在 x 軸的分量不變,在 y軸、z 軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù),所以對稱點(diǎn)坐標(biāo)為Pi( 2, 1, 4).(2) 由于點(diǎn) P 關(guān)于 xOy 平面對稱后,它在 x 軸、y 軸的分量不變,在 z 軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù),所以對稱點(diǎn)坐標(biāo)為P2( 2,1, 4).(3) 設(shè)對稱點(diǎn)為 P3(x, y,z),則點(diǎn) M 為線段 PP3的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得 x = 2X2 ( 2) = 6,y= 2X( 1) 1 = 一 3, z= 2X( 4) 4=一 12,所以 P3的坐
9、標(biāo)為(6, 3, 12).名師1 求空間對稱點(diǎn)的規(guī)律方法卜例求空間對稱點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P( 2,1,4).8空間的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱問題,要掌握對稱點(diǎn)的變化規(guī)律,才能準(zhǔn)確求解對稱點(diǎn)的問題常常采用 關(guān)于誰對稱,誰保持不變,其余 坐標(biāo)相反”這個結(jié)論.2 空間直角坐標(biāo)系中,任一點(diǎn) Px, y, z 的幾種特殊對稱點(diǎn)的坐標(biāo)如下1關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 Pi x, y, z ;2關(guān)于 x 軸橫軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 P2X, y, z ;3關(guān)于 y 軸縱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 P3 x, y, z ;4關(guān)于 z 軸豎軸 對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 P4 x, y, z ;5關(guān)于 x
10、Oy 坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 P5X, y, z ;6關(guān)于 yOz 坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 P6 x, y, z ;7關(guān)于 xOz 坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 P7X, y, z.I_I再練一題2.已知 M(2,1,3),求 M 關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn) Mi, M 關(guān)于 xOy 平面對稱的點(diǎn) M2, M 關(guān)于 x 軸、y 軸對稱的點(diǎn) M3, M4.【解】 由于點(diǎn) M 與 Mi關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以 Mi( 2, 1, 3);點(diǎn) M 與M2關(guān)于 xOy 平面對稱,橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不變,豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù),所以M2(2,i, 3); M 與 M3關(guān)于 x 軸對稱,則 M3的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)變
11、為原來的相反數(shù),即 M3(2, 1, 3),同理 M4( 2,1, 3).探究共研型空間兩點(diǎn)間的距離已知兩點(diǎn) P(1,o,1)與 Q(4,3, 1),請求出 P、Q 之間的距離.【提示】|PQ 匸1 42+ 0 32+ 1 + 12= . 22.探究 2 上述問題中,若在 z 軸上存在點(diǎn) M,使得|MP 匸|MQ|,請求出點(diǎn) M 的坐標(biāo).探究 19【提示】 設(shè) M(0,0, z),由 |MP| = |MQ|,得(1)2+ 02+ (z 1)2= 42+ 32+ ( 1 z)2,10=2,點(diǎn) M 在 AiCi上,|MCi匸 2RiM|, N 在 DiC 上且為 DiC 的中點(diǎn),求線段 MN 的長
12、度.【精彩點(diǎn)撥】先建立空間直角坐標(biāo)系,求出點(diǎn) M、N 的坐標(biāo),然后利用兩 點(diǎn)間的距離公式求解.【自主解答】 如圖所示,分別以 AB,AD,AAi所在的直線為 x 軸、y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系.由題意可知 C(3,3,0),D(0,3,0),|DDi| = |CCi匸 |AAi|= 2,Ci(3,3,2), Di(0,3,2),N 為 CDi的中點(diǎn),M 是 AiCi的三分之一分點(diǎn)且靠近 Ai點(diǎn),M(i,i,2).由兩點(diǎn)間距離公式,得例如圖 4-3-1 所示,在長方體 ABCD-AiBiCiDi中,|AB|= AD 匸 3, AAi|wc圖 4-3-iN|,3, i11|MN匸i2+ 3
13、 i2+ i 22X12利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求線段長度問題的一般步驟為 :再練一題3.如圖 4-3-2 所示,直三棱柱 ABC-AiBiCi中,|CiC|= |CB|= |CA|= 2, AC 丄CB, D , E 分別是棱 AB, BiCi的中點(diǎn),F(xiàn) 是 AC 的中點(diǎn),求 DE, EF 的長度.圖 4-3-2【解】 以點(diǎn) C 為坐標(biāo)原點(diǎn),CA、CB、CCi所在直線為 x 軸、y 軸、z 軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.|CiC 匸 |CB|=|CA|= 2,C(0,0,0), A(2,0,0), B(0,2,0), Ci(0,0,2), Bi(0,2,2),名13由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,D
14、(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),JDE|h.; 102+112+0-22h5,|EF| /0-12+1-02+2-02=6.1.點(diǎn) A( 1,2,1)在 x 軸上的投影點(diǎn)和在 xOy 平面上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)分別為()A.(- 1,0,1), (- 1,2,0)B.(- 1,0,0), (- 1,2,0)C.(- 1,0,0), (- 1,0,0)D.(- 1,2,0), (- 1,2,0)【解析】 點(diǎn) A( 1,2,1)在 x 軸上的投影點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一 1,縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為 0,故為(-1,0,0), 點(diǎn) A(- 1, 2,1)在 xOy 平面上橫、 縱坐標(biāo)不變且豎坐標(biāo)是
15、0,故為(-1,2,0).【答案】 B2.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) P(3,4,5)與 Q(3 , - 4,- 5)兩點(diǎn)的位置關(guān)系是()A .關(guān)于 x 軸對稱B.關(guān)于 xOy 平面對稱C.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱階段3.體驗(yàn)落實(shí)評價1oD.以上都不對【解析】點(diǎn) P(3,4,5)與 Q(3,- 4,- 5)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同, 而縱、 豎坐標(biāo) 互為相反數(shù),所以兩點(diǎn)關(guān)于 x 軸對稱.【答案】A3已知 A(3,2, 4), B(5, 2,2),則線段 AB 中點(diǎn)的坐標(biāo)為_.【解析】設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(xo, yo, zo),“3+ 52 2 - 4+ 2貝Uxo=廠=4, yo=廠=0, zo=2= 1,中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,。,一 1).【答案】(4,o, 1)4._設(shè) A(4, 7,1),B(6,2, z), AB|= 11,則 z=_.【解析】由 AB 匸“ 6 42+ 2+ 72+ z 12二 11,解得 z= 7 或5.【答案】
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