第六章多元函數(shù)微分學(xué)ppt課件

1、第六章第六章 多多 元元 函函 數(shù)數(shù) 微微 分分 學(xué)學(xué)(一) 本 章 內(nèi) 容 小 結(jié)(二) 常見問題分類及解法(三) 思 考 題(四) 課 堂 練 習(xí)( (一一) ) 本章內(nèi)容小結(jié)本章內(nèi)容小結(jié)一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容 1、空間解析幾何簡(jiǎn)介2、矢量的概念，線性運(yùn)算及坐標(biāo)表示，兩向量的數(shù)量積與 向量積。3、平面的點(diǎn)法式與一般式方程，直線的標(biāo)準(zhǔn)式與一般式方 程，曲面與空間曲線，常見的二次曲面。4、多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的極限與連續(xù)。5、偏導(dǎo)數(shù)與全微分。6、多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法。7、多元函數(shù)的極值、最大值和最小值。二、對(duì)學(xué)習(xí)的建議二、對(duì)學(xué)習(xí)的建議 本章的第二節(jié)和第三節(jié)是空間解析幾何較深入的內(nèi)

2、容，學(xué)時(shí)較少的專業(yè)可以不學(xué)或選學(xué)，而對(duì)有些專業(yè)，如計(jì)算機(jī)專業(yè)，建筑工程專業(yè)，應(yīng)該是必修的內(nèi)容，為了配合本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，特提出如下建議，供讀者參考。 1、直線、平面方程是用坐標(biāo)法與向量相結(jié)合的方法建立起來的。學(xué)習(xí)空間解析幾何不僅要熟悉以上圖形，更應(yīng)深入理解采用數(shù)、形結(jié)合及運(yùn)用向量研究空間圖形的基本思想和方法。 2、學(xué)習(xí)空間解析幾何部分，應(yīng)注意對(duì)空間圖形想像力的培養(yǎng)，這也是學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分的需要。球面、柱面、錐面及旋轉(zhuǎn)曲面都比較重要，讀者能夠根據(jù)它們的方程辨認(rèn)，并畫出它們的圖形。 3、多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)是相對(duì)應(yīng)的，學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容，應(yīng)注意用對(duì)比的方法，先回顧一下一元函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容對(duì)理解

3、和掌握多元函數(shù)相應(yīng)的內(nèi)容是有幫助的。 4、偏導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是本章的重點(diǎn)，讀者務(wù)必理解偏導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義，并通過較多的練習(xí)，熟練、靈活的掌握連鎖法則，確保求導(dǎo)的正確性。 5、求解最值問題是多元函數(shù)微分學(xué)的重要應(yīng)用，應(yīng)給予足夠的重視。在實(shí)際問題求解中，關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式和約束條件關(guān)系式。建立函數(shù)關(guān)系式的能力，可通過一些習(xí)題來加強(qiáng)。若求出駐點(diǎn)是惟一的，而最值又存在，則該駐點(diǎn)的函數(shù)值三、本章關(guān)鍵詞三、本章關(guān)鍵詞就是最值。因此求最值的應(yīng)用問題，實(shí)際上就是求函數(shù)的駐點(diǎn)?？臻g解析幾何矢量曲面與曲線偏導(dǎo)數(shù)全微分多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)多元函數(shù)極值( (二二) ) 常見問題分類及解法常見問題分類及解法一

4、、求二元函數(shù)定義域的方法一、求二元函數(shù)定義域的方法0, 122012 二元函數(shù)定義域的求法與一元函數(shù)定義域的求法相同，即考慮分式的分母不能為零；負(fù)數(shù)不能開偶次方，零與負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù)，反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)的自變量部分只能在-1與1之間取值，正切函數(shù)的自變量部分不能等于 ， ， ，余切函數(shù)的自變量部分不能等于 ， ， ， ?？紤]到以上這些因素，建立不等式組，求出其解的交集，就是二元函數(shù)的定義域。定義域的代數(shù)表達(dá)式為 kkkk( , )| , 滿足的條件Dx yx y22ln()1 求函數(shù) 的定義域并做出定義域的圖形。yzyxxy例例1 1解解yOx122220000,1yxyxyyxyxy 要使函數(shù)

5、有意義，只需 ， 1，即 ， ，22( , )|01故定義域： ，Dx yyyxxy定義域圖形如圖6-1所示.圖6-1 例1函數(shù)定義域二、求二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方法二、求二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方法 1、利用一元函數(shù)求導(dǎo)法，只要記住對(duì)一個(gè)變量求導(dǎo)時(shí)，把另一個(gè)變量暫時(shí)看作常量就行。arctan 求 的偏導(dǎo)數(shù)。xzy例例2 2解解222111，zyxyxyxy22221.1zxxyyxyxy 2、二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)可引入中間變量，一般抽象的函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)也要引入中間變量。22 求 的偏導(dǎo)數(shù)。xyzye例例2 2解解22令 ，uyxy則 zuezxzuzuxx 02euex222xyxyezyzuzuyy 12

6、euey222(1 2).xyey注：因函數(shù)解析式明顯給出，也可直接求偏導(dǎo)。2, 設(shè) ，求偏導(dǎo)數(shù)。xzfxyy例例4 42設(shè) ，xuvxyy解解( , )則 zf u vzxzuzvuxv x 1uvffyzyzuzvuyv y 22.uvxfyfy3、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。一般有如下三種方法：(1) 公式法22lnarctan( ) 求由方程 所確定隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。yxyyf xx例例5 5解解221( , )ln()arctan2設(shè) ，yF x yxyx則xF222211xyxyxyx22xyxyyF222111yxxyyx22yxxy.所以 xyFdyxydxFxy (2) 全微分法2

7、22()( , ) 求由方程 確定的隱函數(shù) z 的偏導(dǎo)數(shù)。其中 可微。xyzf xyzz x yf例例6 6解解因?yàn)榈忍?hào)右端為抽象函數(shù)，222.故設(shè)中間變量 uxyz( )則原方程為 ，xyzf u()( )所以 ，d xyzdf u因此有dxdydz222( ) ()f u d xyz( )(222)f uxdxydyzdzxydxdyz dxz dy( ) ( )f u d u( )222 ()xyf uxdxydyz z dxz dy12( )2( )12( )2( )xxyyzxf uzz f u dxzyf uzz f u dy0所以1 2( )1 2( )xxf uzzf u 1

8、2( ).1 2( )yyf uzzf u (3) 對(duì)隱函數(shù)求，可對(duì)方程兩端 求導(dǎo)。注意 是 的函數(shù)，暫時(shí)看作常數(shù)，若求，方程兩端對(duì) 求導(dǎo)，注意 是 的函數(shù)， 暫時(shí)看作常數(shù)。如例6。zxzxxzyyzyyx1( )(22)，xxzf uxzz1 2( )1 2( )；xxf uzzf u 1( )(22)，yyzf uyzz1 2( ).1 2( )yyf uzzf u 求出函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù). 就每一個(gè)駐點(diǎn)考察 B2-AC 的正負(fù)，判定極值點(diǎn). 若有極值，再根據(jù) A (或 C ) 的正負(fù)判斷其為極大還是極小值，進(jìn)而討論極值與最值. 若是應(yīng)用問題，需根據(jù)題目條件首先寫出取極值的目標(biāo)函數(shù)，求出駐點(diǎn)

9、，若駐點(diǎn)惟一，最值又存在，則此點(diǎn)即為所求，不需驗(yàn)證，依題意，指出駐點(diǎn)處為最大或最小值即可.三、求二元函數(shù)的極值與最值的方法三、求二元函數(shù)的極值與最值的方法1、基本步驟 求出函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，解出駐點(diǎn).33( )3 求 的極值。f xxyxy例例7 7解解223333，xyfxyfyx解得駐點(diǎn) (0,0)，(1,1)，636又 ，xxxyyyfxffy 290對(duì)于點(diǎn) (0,0)，BAC( )在點(diǎn) (0， 0)不取極值；f x227060對(duì)于點(diǎn)(1,1)，BACA ( )1.在點(diǎn) (1,1)取得極小值 (1,1)f xf 1122121222112212610.42 設(shè)有需求函數(shù) ，其中 ，分別是

10、對(duì)兩種商品的需求量， ， 是相應(yīng)的價(jià)格，生產(chǎn)兩種商品的總成本函數(shù)是 ，問兩種商品生產(chǎn)多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？QPQPQQPPKQQQQ例例8 8解解112226404由需求函數(shù)知 ， PQPQ故總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)1122PQPQK222211221122264042QQQQQQQQ221122122624052QQQQQQ1212212642040 1020解方程組 ，QQLQQLQQ得駐點(diǎn) (5,3)1112224210而，QQQQQ QLLL 236040.所以 ，且BACA 于是，生產(chǎn)第一種商品5單位，第二種商品3單位時(shí)利潤(rùn)最大。(此題在求出駐點(diǎn)后，也可根據(jù)步驟，直接得出結(jié)果!)2、若是條件

11、極值問題，利用拉格朗日乘數(shù)法 其關(guān)鍵在于根據(jù)問題寫出要求極值的目標(biāo)函數(shù)與條件函數(shù)。構(gòu)造出拉格朗日函數(shù)，求出駐點(diǎn)。之后，根據(jù)問題的實(shí)際性，定出極大值或極小值。221 拋物面 被平面 截得一個(gè)橢圓。求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)和最短距離。zxyxyz例例9 9解解( , , )設(shè)橢圓上任一點(diǎn) x y z222原點(diǎn)到它的距離為 ，dxyz2222. 取目標(biāo)函數(shù)為dxyz222221 問題即為 在條件 ， 的條件下的極值.xyzzxyxyz22222212121222( , , )()(1)220220201拉格朗日函數(shù)為 xyzF x y zxyzxyzxyzFxxFyyFzxyzxyz 121212131

12、3221313222323，解方程組得，xxyyzz 顯然222max22295 3，dxyz222min11195 3.dxyz(三三)思考題思考題答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案001 , , ?、可微二元函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的必要條件是什么Zf x yxy2、對(duì)于條件極值問題，我們解決它的關(guān)鍵是什么? 3、“多元函數(shù)定義域的求法與一元函數(shù)定義域的求法相同”該命題正確嗎?4、二元函數(shù)在某點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在與可微之間有何關(guān)系?(四四)課堂練習(xí)題課堂練習(xí)題答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案 221 ln .、求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xxyxyyyf222 .，求、yy xzZxd23sin .、，求dzZf uvutvtdt2201ln4 lim.1、求xxyeyxy返返 回回00001 ,0.、是xyfxyfxy返返 回回2、是根據(jù)問題寫出要求極值的目標(biāo)函數(shù)和條件函數(shù),然后 構(gòu)造函數(shù)求駐點(diǎn),根據(jù)問題的實(shí)際性,求出極值.返返 回回3、正確.返返 回回4、偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是函數(shù)可微的充分條件，而偏導(dǎo)數(shù)存在 是函數(shù)可微的必要條件.返返 回回1、：解22 ,ln,