全概率公式及其應(yīng)用

1、1全概率公式及其應(yīng)用(清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 葉俊)命題趨勢(shì)：即使是填空題和選擇題， 只考單一知識(shí)點(diǎn)的試題很少， 大多數(shù)試題是考查考 生的理解能力和綜合應(yīng)用能力。要求大家能靈活地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，建立起正確的概率模型， 綜合運(yùn)用極限、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、極值、積分、廣義積分以及級(jí)數(shù)等知識(shí)去解決問(wèn)題。1.全概率公式和 Bayes 公式概率論的一個(gè)重要內(nèi)容是研究怎樣從一些較簡(jiǎn)單事件概率的計(jì)算來(lái)推算較復(fù)雜 事件的概率，全概率公式和 BayesBayes 公式正好起到了這樣的作用。對(duì)一個(gè)較復(fù)雜的事件A A,如果能找到一伴隨 A A 發(fā)生的完備事件組B1,B2，而計(jì)算各個(gè)Bi的概率與條件概率P(A| Bi)相對(duì)又

2、要容易些，這時(shí)為了計(jì)算與事件A有關(guān)的概率，可能需要使用全概率公式和 BayesBayes 公式。背景：例如，在醫(yī)療診斷中，為了診斷出現(xiàn)癥狀A(yù)的患者，到底患了疾病B1,B2中的哪一種，可用BayesBayes 公式算出在癥狀A(yù)的情況下，起因于疾病Bj的概率P(BiA)，而后按各個(gè)后驗(yàn)概率P(BA)的大小來(lái)推斷患者患哪種病的可能性最大.完備事件組的理解： 所有病因都知道，且沒(méi)有并發(fā)癥。定義 稱事件族B1,B2/為樣本空間門(mén)的一個(gè)劃分(也稱B1, B2為一Q0個(gè)完備的事件組)，如果滿足BjBj =(i = j)且Bj二門(mén)。進(jìn)而，如還有i三P(Bi) 0,i = 1,2,，則稱B1,B2/為樣本空間門(mén)

3、的一個(gè)正劃分。一般地，劃分可用來(lái)表示按某種信息分成的不同情況的總和，若劃分越細(xì)，則相應(yīng)的信息更詳盡。定理 1 1 ( (全概率公式) )設(shè)事件B1, B2.為樣本空間門(mén)的一個(gè)正劃分，則對(duì)任何一個(gè)事件A, ,有P(A)二瓦P(Bi)P(ABi)i二定理 2 2 但 ayesayes 公式) )設(shè)E，B2,為樣本空間門(mén)的一個(gè)正劃分，事件A滿足P(A) 0, ,則2P(Bi)P(ABJP(A)若將它與全概率公式結(jié)合起來(lái) ，就是 BayesBayes 公式的以下的常用形式P(Bi)P(ABi)P(BA) =m、八蘭，i = 1,2，m)m)工P(Bj)P(ABj)j =1公式的直觀理解：如果我們把Bi

4、看成是導(dǎo)致事件A發(fā)生的各種可能“原因”，那 么，全概率公式告訴我們，事件A發(fā)生的概率恰好是事件A在這些“原因”下發(fā)生的條件概率的加權(quán)平均，其中的權(quán)重分別為P( Bi).而已知“結(jié)果”找“原因”的問(wèn)題則可以用 BayesBayes 公式來(lái)計(jì)算。且告訴我們“Bi導(dǎo)致A”的可能性的大小恰與乘積P(BJP(BjA)成比例.2.幾個(gè)典型的例子2.12.1 樹(shù)狀圖法例 1 1 某商場(chǎng)出售的燈泡來(lái)自甲、乙、丙三個(gè)工廠，甲廠產(chǎn)品占80%80%合格率為 90%90%乙廠產(chǎn)品占 10%10%合格率為 95%95%甲廠產(chǎn)品占 10%10%合格率為 80%80%某顧客購(gòu)買(mǎi)了一燈 泡，求它是合格品的概率。2.22.2

5、一般方法(公式法)例 2 2 假設(shè)有兩箱同種零件：第一箱內(nèi)裝5050 件，其中 1010 件一等品；第二箱內(nèi)裝 3030 件，其中 1818 件一等品?，F(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后隨機(jī)取出兩個(gè) 零件(取出的零件均不放回)，試求：(1 1 )先取出的零件是一等品的概率p p;(2 2)在先取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是一等品的條件概率q q。解引進(jìn)下列事件：Hi= 被挑出的是第 i i 箱(i=1,2i=1,2)Aj= =第 j j 次取出的零件是一等品 (j j= 1 1, 2 2)由條件知P(H1)= P(H2)=2p(4丨比)珂，P(A1|H2)遷(1)(1

6、)由全概率公式，知3p = p(A) = P(H1)P(AH)P(H2)P(AW2)4(2)(2)由條件概率的定義和全概率公式，知PJPGIHJ P(H2)P(AA|H2)51衛(wèi)211L7】=丄2.512 2 50 492 30 294 4929例 3 3 采購(gòu)員要購(gòu)買(mǎi) 1010 個(gè)一包的電器元件. .他的采購(gòu)方法是：從一包中隨機(jī)抽查 3 3 個(gè)，如這 3 3 個(gè)元件都是好的，他才買(mǎi)下這一包 假定含有 4 4 個(gè)次品的包數(shù)占 30%30%，而 其余包中各含 1 1 個(gè)次品 求采購(gòu)員拒絕購(gòu)買(mǎi)的概率。解記R =取到的是含 4 個(gè)次品的包, =取到的是含 1 個(gè)次品的包,A =采購(gòu)員拒絕購(gòu)買(mǎi)則B1,

7、 B2構(gòu)成樣本空間的一個(gè)正劃分，且P(BJ =0.3, P(B2)=0.7.又由古典概型計(jì)算知C3C65P(ABJ=13C106C3C93P(AB2)=1_ 3C1010從而由全概率公式得到I3 57323P(A) =P(BJP(AB1)+ P(B2)P(AB2)=材；二=呂.10 610 1050例 4 4 已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3 3 件合格品和 3 3 件次品，乙箱中僅裝有 3 3 件合格品，從甲箱中任取 3 3 件放入乙箱后，試求從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率。解設(shè) A A 表示事件 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品 ”，根據(jù)全概率公式，有3P(A)八P(A|X二k)

8、P(X二k)k=0q =P(A2|A)二P(AA2)P(AI)1Pw0 3 1 2C3C31C3C33Ce6C62C3C333C33C6C66= 0.4855752.32.3 首步分析法與末步分析法例 5 5 （賭徒輸光問(wèn)題）設(shè)甲有賭本i i _ 1元，其對(duì)手乙有賭本a-i .0元.每賭一次 甲以概率p贏一元，而以概率q =1- p輸一元假定不欠不借，賭博一直到甲乙中有一人輸光才結(jié)束.因此，兩個(gè)人中的贏者最終有總賭資a元.求甲輸光的概率.解 一般地，我們以R記甲有賭本i元而最終輸光的概率.而求此概率的關(guān)鍵是給 出下面的事件關(guān)系式，其方法稱為首步分析法.記事件A =甲有賭本 i i 元，但最終輸

9、光, ,B= =甲第 1 1 次賭贏.于是我們有P（A|B戶P（AG,P（A |B）= P（A_J.由上述關(guān)系式及全概率公式，我們得到p =P（A）=P（A |B）P（B）+P（A|B）P（B）=P（AGP+ P（A_i）q= PP +qp（1 1）這是一個(gè)常系數(shù)二階差分方程，且滿足兩個(gè)邊界條件：P0=P（甲有賭本 0 元而最終輸光）=1, ,Pa=P（甲有賭本 a 元而最終輸光）=0.為解（1 1）, ,注意到它等價(jià)于p（Pi 1一pJ二q（Pi一Pi_J.1故當(dāng)pn0且p式一時(shí)，由p0=1得到2i -1Pi一P1=瓦1-qP1-1.-1.6（P1k4令i =a, ,再利用pa= 0可解出7

10、q_(qp ipPi =1 7IP丿1從而得到，當(dāng)p 0且p（即p = q）時(shí)有2/、aq而當(dāng)p =q時(shí)，還是由式，我們有2Pi -p1二i -1 p1 -1令i二a, ,可得a 1p1. 從而有pi=1.aa例 6 6 連續(xù)地拋擲一個(gè)很不均勻的硬幣 n n 次 假定這n次拋擲并不相互獨(dú)立：第 1 1 次 出現(xiàn)正面的概率為_(kāi)：匚，第 2 2 次后每次出現(xiàn)與前一次相同的面的概率為 ： 求第 n n 次時(shí) 出現(xiàn)正面的概率，并討論n n 時(shí)的情況。解 令A(yù)n= =第 n n 次出現(xiàn)正面, ,并記欲求之概率為P（An）二Pn,n,n - -1. .這時(shí)Ana發(fā)生與否與An發(fā)生與否是密切相關(guān)的，若An發(fā)

11、生了，則An,發(fā)生的概率就為P,所以,P（An卅An） =P。同理，卩（人*十代）=1_0。顯然，代，代是|的一個(gè)劃分.利用全概率公式，我們有Pn十卩（代卅）=P（代卅代廳（代）+P（A |A1）P（A1）Pi=q8二Pn1-：（1 - Pn（21）Pn1由于口二：，故由遞推計(jì)算可得9Pn = 2：-1 2 -1 Pz 1 -1 -：=2：-1 2 P 1 -：12：- 12：- 1221 T:2 -1nJ- - - 2 -1nj若：-1 2 2i 若 B B =1=13.全概率公式和 Bayes 公式的應(yīng)用3.13.1 與離散型隨機(jī)變量的結(jié)合例 7 7 設(shè)一個(gè)人在一年中患感冒的次數(shù)X X 服

12、從參數(shù)為 5 5 的 PoissonPoisson 分布，假設(shè)現(xiàn)在市場(chǎng)上正在銷(xiāo)售一種預(yù)防感冒的新型特效藥，對(duì) 75%75%的人來(lái)說(shuō)，服用這種藥可將上述的參數(shù)減少到3,3,而對(duì)另外 25%25%的人則無(wú)效 求對(duì)于在試用期內(nèi)恰患兩次感冒的服藥的人，此藥對(duì)他有效的可能性有多大。解我們記 A=A=“任意選取一人，此藥對(duì)此人有效”. .而我們要求的概率為P(AX = 2). .由 題設(shè)條件知31P(A) , P(A). .44而討論(1)Pn, ,故lim pnn20(2)Pn，只有當(dāng) T 時(shí), ,nmpn才存在且等于-2(3(3)對(duì)一般 0 0 :：1 1 有-n. .|-lim pn= limn：1

13、 21心二2210故由 BayesBayes 公式知P(X二k A)3ke3k!k!(k = 0,1,2,). .11k!心(n - k)!(P)ke：(1 - p)r_ (P)ke-egp)一Cp)k-PP(AX 訃 PXP(X二2A)P(A)2A)P(A)+ p(x = 2A)P(A)32e；32!432eB3 . 52e.丄2!42!40.8886. .例 8 8 （PoissonPoisson 分布在隨機(jī)選擇下的不變性，也稱為隨機(jī)分流的不變性）假設(shè)某段時(shí)間里來(lái)百貨公司的顧客數(shù)服從參數(shù)為的 PoissonPoisson 分布，而在百貨公司里每個(gè)顧客購(gòu)買(mǎi)電視機(jī)的概率為p,p,且每個(gè)顧客是否

14、購(gòu)買(mǎi)電視機(jī)是獨(dú)立的，問(wèn)在這段時(shí)間內(nèi)，百貨公司內(nèi)購(gòu)買(mǎi)電視機(jī)的人數(shù)為k k 的概率有多大？解 記 X X 為百貨公司售出電視機(jī)的臺(tái)數(shù)，而 N N 為這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入百貨公司的人數(shù)，故由全概率公式知P(X = k)八P(X = k N = n)P(N = n)n=0QO=Z P(X = k N = n)nH0n!由于在已知有 N=nN=n 名顧客進(jìn)入百貨公司的條件下，百貨公司售出電視機(jī)的臺(tái)數(shù)服從參 數(shù)為 n n和 p p 二項(xiàng)分布，即P(X = kN = n)=C：pk(1 - p)n-kn k.0nkc) nP(X = k)kk “、n-k兒eCnP (1一P)n=kn!n!(S)kp(1 - P)

15、%乩Z - - I L_皿-n*k!(n - k)!n!=(P)ke: (1 - p)212e eek!k!即 X X 服從參數(shù)為pp 的 PoissonPoisson 分布。13例 9 9 設(shè)隨機(jī)變量 X X 和 Y Y 獨(dú)立，其中 X X 的概率分布為（1 2X03 0.7而 Y Y 的概率密度為 f f （y y），求隨機(jī)變量 U=U= X+YX+Y 的概率密度 g g （u u）解設(shè)F （y）為丫的分布函數(shù)，則由全概率公式,知U=X+Y的分布函數(shù)為FU（u）= P（U乞u） = P（X丫 乞u）二P（X丫 乞u |X二1）P（X二1） P（X丫 乞u | X二2）P（X二2）二0.3P

16、（丫 乞u一1| X = 1）0.7P（丫 乞u一2 | X = 2）由于 X X 和丫獨(dú)立，可見(jiàn)FU（u）二0.3PW豈u一1） 0.7P（丫 豈u一2）二0.3F(u -1)0.7F(u -2)由此，得 u u 的概率密度為g(u)二局(u) =0.3F (u - 1)0.7F (u-2)= 0.3f (u -1)0.7f (u -2). .例 1010 從集1,2/ , N中任意相繼不放回地取出兩個(gè)數(shù)X1, X2，求P（X2解由全概率公式得NP(X2XJ二P(X2X1|X k)P(X廠k)k =1而由于P(X2 k |X廠k)=N k，從而N -13.23.2 隨機(jī)和的相關(guān)問(wèn)題的計(jì)算3.33.3 其他應(yīng)用（如分布參數(shù)為隨機(jī)的概率問(wèn)題的計(jì)算等）XJN八P(X2k三1k|X廠k)丄1NP(X2NX1)八kdN - k 1N -1 N1(N_k)=.N(N-1)y2144.全概率公式的推廣與應(yīng)用4.14.1 連續(xù)型隨機(jī)變量的情形15P(B)“ P(