華師大版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教學(xué)課件 第26章 小結(jié)與復(fù)習(xí)

1、第26章 二次函數(shù)小結(jié)與復(fù)習(xí)要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.二次函數(shù)的概念一般地，形如 (a，b，c是常數(shù)， )的函數(shù)，叫做二次函數(shù)yax2bxca 注意 (1)等號(hào)右邊必須是整式；(2)自變量的最高次數(shù)是2；(3)當(dāng)b0，c0時(shí)，yax2是特殊的二次函數(shù)2.二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)的圖象是一條 ，它是 對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸平行于_軸. 注意 二次函數(shù)yax2bxc的圖象的形狀、大小、開口方向只與a有關(guān)拋物線 軸 y 3.二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(a0)(1)一般式：_;(2)頂點(diǎn)式：_;y=a(x-h)2+k (a0)(3)交點(diǎn)式：_;y=a(x-x1)(x-x2) (a0)4.二次函數(shù)的平移一

2、般地，平移二次函數(shù)yax2的圖象可得到二次函數(shù)ya(xh)2k的圖象yax2上、下平移yax2k左、右平移2()y a x h左、右平移2()ya x hk上、下平移上、下移且左、右移注意 抓住頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化，熟記平移規(guī)律：左加右減，上加下減二次函數(shù)y=a(x-h)2+k yax2bxc開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最值a0a0增減性a0a05.二次函數(shù)的yax2bxc的圖象與性質(zhì)：a0 開口向上a 0 開口向下x=h(h , k)y最小=ky最大=k在對(duì)稱軸左邊， x y ；在對(duì)稱軸右邊， x y 在對(duì)稱軸左邊， x y ；在對(duì)稱軸右邊， x y 2bxa24(,)24bacbaay最小=244ac

3、bay最大=244acba6.二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式的關(guān)系：判別式=b2-4ac二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a0）的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的根不等式ax2+bx+c0（a0）的解集不等式ax2+bx+c0）的解集000 x=x1 ; x=x2沒(méi)有實(shí)數(shù)根xx2x x1的一切實(shí)數(shù)所有實(shí)數(shù)x1xx2無(wú)解無(wú)解x=2ba考點(diǎn)一 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)例1已知拋物線yax2bxc的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)，那么該拋物線有()A最小值3B最大值3C最小值2 D最大值2解析 由拋物線的開口向下，可得a0，所以拋物線有最大值，最大值為3.故選B.B針對(duì)訓(xùn)練1.拋物

4、線y=(x-2)2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）A.(-2,2) B. (2,-2) C. (2,2) D. (-2,-2)2.已知二次函數(shù)y=x2-x+c的頂點(diǎn)在x軸上，則c= .3.二次函數(shù)y=x2+bx+3 的對(duì)稱軸是直線x=2 ，則 b=_.C14-4例2 拋物線y=ax2+bx+c (a0)與x軸的公共點(diǎn)是（-1，0），（3，0），則這條拋物線的對(duì)稱軸為_.解析 拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是一對(duì)對(duì)稱點(diǎn).其實(shí)只要拋物線上兩點(diǎn)（x1，y0）、(x2，y0)的縱坐標(biāo)相等，這兩點(diǎn)就是一對(duì)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn).對(duì)稱軸計(jì)算公式是直線 ,因此這條拋物線的對(duì)稱軸是直線 .122xxx( 1) 312x

5、直線x=1針對(duì)訓(xùn)練4.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x-10123y105212則拋物線的對(duì)稱軸是 ；當(dāng)y5時(shí)，x的取值范圍是 .在此拋物線上有兩點(diǎn)A(3，y1)，B(4.5，y2)，試比較y1和y2的大小：y1_y2(填“”“”或“”).直線x=20 x0；b0；abc0；abc0；2ab0.A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)解析：由拋物線的開口向下，可知a0，由對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)可知a、b異號(hào)，即b0.由拋物線與y軸交于正半軸，可知c0，所以ac0.由對(duì)稱軸x=1可知，2a+b=0.當(dāng)x=1時(shí)，abc0，當(dāng)x=-1時(shí)，abc0 ； b2-4ac0； b

6、+2a0. 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）A. B. C. D. 解析：由拋物線的開口向下，可知a0，由對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)可知a、b異號(hào)，即b0.由拋物線與y軸交于正半軸，可知c0，所以abc0.又拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以=b2-4ac0；因?qū)ΨQ軸小于x1，可得b+2a0.故正確答案為A.A例4在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yaxb和二次函數(shù)yax2bx的圖象可能為()解析：由yax2bx可知，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故可排除B、C選項(xiàng).又yaxb經(jīng)過(guò)一三象限時(shí)，a0，此時(shí)拋物線yax2bx的開口向上，故選A.A方法歸納此類問(wèn)題通常從比較簡(jiǎn)單的圖象（直線或雙曲線）出發(fā)，獲得與拋物線有關(guān)的字母的取值情

7、況，然后由字母的取值情況來(lái)判斷拋物線的大致位置.如果一致則有可能共存于統(tǒng)一坐標(biāo)系中，如不一致，則說(shuō)明不可能共存于統(tǒng)一坐標(biāo)系中.針對(duì)訓(xùn)練6.函數(shù) 與 ,（k0）在同一坐標(biāo)系上的圖象正確的是（ ）()yk xk2,kykxyx解析：由y=k(x-k)可得y=kx-k2,因k20，即一次函數(shù)y=k(x-k)交于y軸的負(fù)半軸，只有答案C符合要求，故選C.C考點(diǎn)二 求二次函數(shù)的解析式x4Oy-13 例5 你能求出圖中拋物線的解析式嗎？解析 圖象中提供了我們解題的很多信息，如可知道拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，0）和（3，0），還可以知道對(duì)稱軸是直線x=2及頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4).你有幾種方法可以求這

8、條拋物線的解析式，你最喜歡哪一種？方法一：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-h)2+k.由圖象可知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，與x軸相交于點(diǎn)（-1,0），（3,0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4），有y=a(x-1)2+4，代入（-1,0）.a(-1-1)2+4=0，a=-1，拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4.解：方法二：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-x1)(x-x2).由圖象可知拋物線與x軸相交于點(diǎn)（-1,0），（3,0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4），有y=a(x+1)(x-3)，代入（1,4）.4=a(1+1)(1-3)，a=-1，拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-3).方法三：設(shè)拋物線的解析式為y

9、=ax2+bx+c.由圖象可知拋物線與x軸相交于點(diǎn)（-1,0），（3,0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4），拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.00934abcabcabc有解得123abc 方法歸納知道頂點(diǎn)坐標(biāo)，通常設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k;知道拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，通常設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2);知道拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)，可選用一般式y(tǒng)=ax2+bx+c,三種情況都可以時(shí)選用最熟悉的方法.7.已知二次函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)，有最大值6，且其圖象過(guò)點(diǎn)(2，8)，則二次函數(shù)的解析式是 .y=-2(x-1)2-6針對(duì)訓(xùn)練8.二次函數(shù)y= ax2+bx+c的圖象如圖所示，求此函數(shù)解析式.-6

10、32-2解：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-x1)(x-x2).由圖象可知拋物線與x軸相交于點(diǎn)（-6,0），（2,0），與y軸的交點(diǎn)為（0,3），有y=a(x+1)(x-3)，代入（0,3）.3=a(0+6)(0-2)，a=-0.25，拋物線的解析式為y=-0.25(x+6)(x-2).考點(diǎn)三 二次函數(shù)的應(yīng)用例6 結(jié)合二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象，解答下列問(wèn)題： 寫出方程ax2+bx+c=0的根； 寫出不等式ax2+bx+c0的解集； 寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍； 若方程ax2+bx+c=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.x4Oy-13解析：本題結(jié)合圖象從中發(fā)現(xiàn)信息進(jìn)行

11、解題.解：（1）由圖象可知，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于（-1,0），（3,0）兩點(diǎn).方程的根為x1=-1，x2=3；（2）由圖象可知當(dāng)-1x3時(shí)，函數(shù)的圖象位于x軸的上方，所以不等式的解集為-1x1;(4)要使得有ax2+bx+c=k兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即直線x=k與二次函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，k的取值范圍為k5.方法歸納根據(jù)二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解或不等式的解集，要注意觀察圖象與x軸的交點(diǎn).一元二次方程的根就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；不等式的解集就是當(dāng)函數(shù)值大于0或小于0時(shí)自變量的取值范圍.9.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程 ax

12、2+bx+c-8=0的根的情況是（ ） A.有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根 C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根x8OyC針對(duì)訓(xùn)練解析：y=ax2+bx+c-8相當(dāng)于將y=ax2+bx+c向下平移8個(gè)單位，此時(shí)y=ax2+bx+c-8與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即ax2+bx+c-8=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.故選C.x11，x23 1x410.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：(1)方程ax2+bx+c0的兩個(gè)根是_(2)不等式ax2+bx+c0的解集是_(3)若方程ax2+bx+ck沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是_例7某商場(chǎng)試銷一種成本為每件60元

13、的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)符合一次函數(shù)ykxb，且x65時(shí)，y55；x75時(shí)，y45.(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為W元，試寫出利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？(3)若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不低于500元，試確定銷售單價(jià)x的范圍解析 (1)將x65，y55和x75，y45代入ykxb中解方程組即可(2)根據(jù)利潤(rùn)等于每件利潤(rùn)乘以銷售量得到利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式綜合頂點(diǎn)式和自變量的取值范圍可求得最大利潤(rùn)(3)令利潤(rùn)W500，將二次函數(shù)轉(zhuǎn)

14、化為一元二次不等式，然后求解集并作出判斷解：（1）根據(jù)題意，得65557545kbkc解得k=-1,b=120.故所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+120.（2） W=(x-60)(-x+120)=-x2+180 x-7200=-(x-90)2+900,拋物線的開口向下， 當(dāng)x90時(shí)，W隨x的增大而增大，而60 x60（1+45%），即60 x87,當(dāng)x=87時(shí)，W有最大值，此時(shí)W=-(87-90)2+900=891.（3）由W500，得500-x2+180 x-7200.解得 70 x110.60 x87，故銷售單價(jià)的范圍為70 x87.方法歸納求解與二次函數(shù)有關(guān)的最優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要通過(guò)分

15、析題意，運(yùn)用二次函數(shù)及其性質(zhì)建立數(shù)學(xué)模型，然后再利用配方法或公式法求得最大值.一定要注意：頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，二次函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最值；定點(diǎn)橫坐標(biāo)不在自變量取值范圍時(shí)，要根據(jù)題目條件，具體分析，才能求出符合題意的最值.針對(duì)訓(xùn)練 11.一家電腦公司推出一款新型電腦，投放市場(chǎng)以來(lái)3個(gè)月的利潤(rùn)情況如圖所示，該圖可以近似看作為拋物線的一部分，請(qǐng)結(jié)合圖象，解答以下問(wèn)題：(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式；(2)該公司在經(jīng)營(yíng)此款電腦過(guò)程中，第幾月的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？(3)若照此經(jīng)營(yíng)下去，請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)的知識(shí)，對(duì)公司在此款電腦的經(jīng)營(yíng)狀況(是否虧損？何時(shí)虧損？)作預(yù)測(cè)分析解：(1)因圖象

16、過(guò)原點(diǎn)，則設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx，由圖象的點(diǎn)的含義，得134224abab解得a=-1,b=14.故所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+14x.(2) y=-x2+14x=-(x-7)2+49.即當(dāng)x=7時(shí)，利潤(rùn)最大，y=49(萬(wàn)元）(3) 沒(méi)有利潤(rùn)，即y=-x2+14x=0.解得x1=0(舍去）或x2=14,而這時(shí)利潤(rùn)為滑坡狀態(tài)，所以第15個(gè)月，公司虧損.例8如圖，梯形ABCD中，ABDC，ABC90，A45，AB30，BCx，其中15x30.作DEAB于點(diǎn)E，將ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在F處，DF交BC于點(diǎn)G.(1)用含有x的代數(shù)式表示BF的長(zhǎng)；(2)設(shè)四邊形DEBG的面積為S，

17、求S與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？并求出這個(gè)最大值解析 (1)由ABC90，A45，可知AEDEx，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到EFAEx，所以可求BF的長(zhǎng)(2)利用梯形的面積公式就可以確定S與x的函數(shù)關(guān)系式(3)將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，然后確定最值解：（1）由題意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.BF=2x-30.（2）F=A=45，CBF-=ABC=90，BGF=F=45，BG=BF=2x-30.所以SDEF-SGBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2= x2+60 x-450.1212121232（3）S= x2+60 x-450= (x-20)2+15

18、0.a= 0,152030，當(dāng)x=20時(shí)，S有最大值，最大值為150.323232方法歸納與面積有關(guān)的二次函數(shù)問(wèn)題，一般以圖形中某一動(dòng)線段的長(zhǎng)為未知數(shù)，利用三角形、四邊形的有關(guān)性質(zhì)以及圖形之間的相互關(guān)系，可以構(gòu)建圖形面積和相關(guān)線段長(zhǎng)或線段長(zhǎng)與線段長(zhǎng)之間的二次函數(shù)關(guān)系.處理這類問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題意和幾何圖形的特點(diǎn)求出其面積的二次函數(shù)表達(dá)式，再通過(guò)配方成頂點(diǎn)式或利用最值公式求解.針對(duì)訓(xùn)練12.張大伯準(zhǔn)備用40m長(zhǎng)的木欄圍一個(gè)矩形的羊圈，為了節(jié)約材料同時(shí)要使矩形的面積最大，他利用了自家房屋一面長(zhǎng)25m的墻，設(shè)計(jì)了如圖一個(gè)矩形的羊圈.（1）請(qǐng)你求出張大伯矩形羊圈的面積； （2）請(qǐng)你判斷他的設(shè)計(jì)方案是否

19、合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又該如何設(shè)計(jì)？并說(shuō)明理由.25m解：（1）由題意，得羊圈的長(zhǎng)為25m,寬為(40-25)2=7.5(m). 故羊圈的面積為257.5=187.5(m2)（2）設(shè)羊圈與墻垂直的一邊為xm,則與墻相對(duì)的一邊長(zhǎng)為(40-2x)m,羊圈的面積S=x(40-2x)=-2x2+40 x=-2(x-10)2+200,(0 x20).因?yàn)?1020，所以當(dāng)x=10時(shí)，S有最大值，此時(shí)S=200.故張大伯的設(shè)計(jì)不合理.羊圈與墻垂直的兩邊長(zhǎng)為10m,而與墻相對(duì)的一邊長(zhǎng)為(40-2x)m=20m.考點(diǎn)四 二次函數(shù)與幾何的綜合例9 如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)D的坐標(biāo)是 ，以點(diǎn)

20、C為定點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c 恰好經(jīng)過(guò)x軸上A、B兩點(diǎn).(0, 3)(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式解析 利用菱形的四條邊相等及對(duì)邊平行結(jié)合直角坐標(biāo)系可求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過(guò)設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c來(lái)求拋物線的解析式，因?yàn)辄c(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，所以也可以通過(guò)設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k來(lái)求拋物線的解析式解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CMx軸，垂足為M，M由拋物線的對(duì)稱性可知，AM=BM.在RtAOD和RtBMC中，OD=MC，AD=BC，RtAODRtBMC.OA=MB=MA.設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2m,在RtAOD 中，有 解得 m=1.222( 3 =2 )mm） （DC=2