空間立體幾何的證明與計算(共18頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上空間立體幾何的證明與運(yùn)算1如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)。（1）求證：；（2）求證：；2如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，底面，且，、分別為、的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：3三棱柱，底面，為正三角形，且為中點(diǎn)ABCA1B1C1D（1）求證：平面平面（2）若AA1=AB=2，求點(diǎn)A到面BC1D的距離4斜三棱柱中，側(cè)面底面ABC，側(cè)面是菱形，E、F分別是，AB的中點(diǎn)（1）求證：EF平面； （2）求證：CE面ABC（3）求四棱錐的體積5如圖，在正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求CB1與平面所成角的正弦值6（本小題滿分14分）如圖，是邊長為的等邊三

2、角形，是等腰直角三角形，平面平面，且平面，.（1）證明：平面；（2）證明：.7如圖，四棱錐的底面為菱形，平面，、分別為、的中點(diǎn)EPACDBF（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積8如圖，直三棱柱中，D是棱上的動點(diǎn)（）證明：；（）若平面BDC1分該棱柱為體積相等的兩個部分，試確定點(diǎn)D的位置，并求二面角的大小9如圖，在四面體中，平面平面，90°，分別為棱，的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：平面平面10如圖所示，在三棱錐中，平面平面，（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值11（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底

3、面ABCD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中點(diǎn)（）求證：平面EAC平面PBC；（）求二面角P-AC-E的余弦值；（）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值參考答案1（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】試題分析：（1）與的交點(diǎn)為，連結(jié)，利用三角形的中位線得到線線平行，再利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明；（2）利用勾股定理證明底面三角形為直角三角形，得到，再利用直三棱柱得到，利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直解題思路:證明空間中的線線、線面平行或垂直時，要注意利用平面幾何中的平行或垂直關(guān)系，即立體問題平面化試題解析：（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)， 是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，

4、， ， 6分（2）在直三棱柱，底面三邊長， ， 8分又直三棱柱中 ，且 10分 12分而 ； 13分考點(diǎn)：1線面平行的判定定理；2線面垂直的判定定理與性質(zhì)2（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】試題分析：（1）中首先利用三角形中位線得到，進(jìn)而由，利用兩線平行推出線面平行的判定定理得到平面（2）中由等腰得到，利用平面得到，所以平面，試題解析：（1）、分別為、的中點(diǎn)， 2分又， 4分又平面，平面， 平面 6分（2）為等腰底邊上的中線，平面，平面，又，且，平面又平面， 10分，且，平面又平面，。 13分考點(diǎn)：1線面平行的判定；2線面垂直的判定與性質(zhì)3（1）詳見解析；（2）【解析】試題分析：（1）證明兩

5、平面互相垂直，一般方法是在其中一個平面中找到一條垂直于另一條平面線段，這樣就能將面與面垂直轉(zhuǎn)化成求線與面的垂直；（2）求點(diǎn)到平面的距離，需要過此點(diǎn)做一條垂直于平面的線段，這條線段即為點(diǎn)到平面的距離，此題重要的是找到這條線段，而從點(diǎn)向作一條垂直于的線段正好為此點(diǎn)到平面的高線。試題解析：（1）因為為正三角形且為中點(diǎn)，所以；又因為底面且平面，所以，所以根據(jù)定理知道平面；又因為過平面，所以得到平面平面。（2）從點(diǎn)向作一條垂直于的線段交于E，因為，又因為在第一問中證得平面，所以，平面；所以點(diǎn)A到面BC1D的距離即為的長度。又因為AA1=AB=2，且為正三角形，所以得到、，那么由相似于，所以，解得?？键c(diǎn)：

6、1線與面垂直的判定；2相似三角形和勾股定理4（1）見解析（2）見解析（3）【解析】試題分析：（1）利用線面平行的判定定理，線線平行，線面平行，做輔助線，取BC中點(diǎn)M，連結(jié)FM，根據(jù)平行的傳遞性，可證四邊形為平行四邊形，,（2）兩平面垂直，其中一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面，根據(jù)這一定理，連,易證CE， ，根據(jù)定理得證；（3）連接，四邊形是平行四邊形，所以四棱錐 ，利用CE面ABC，=試題解析：（1）證明：取BC中點(diǎn)M，連結(jié)FM，在ABC中，F(xiàn)，M分別為BA，BC的中點(diǎn)， FM ACE為的中點(diǎn)，AC FM 四邊形為平行四邊形 平面，平面， EF平面 4分； （2）證明： 連接，四邊形

7、是菱形，為等邊三角形E是的中點(diǎn)CE 四邊形是菱形 , CE 側(cè)面底面ABC, 且交線為AC，面 CE面ABC 8分；（3）連接，四邊形是平行四邊形，所以四棱錐 由第（2）小問的證明過程可知 面ABC 斜三棱柱中， 面ABC 面 面在直角中， 四棱錐 = 12分；考點(diǎn)：1線面平行的判定2線面垂直的判定3面面垂直的性質(zhì)4體積公式5（1）詳見解析；（2） 【解析】試題分析：（1）證明一條直線與平面平行，只需要在這個平面內(nèi)找到一條同此直線平行的線即可；（2）求一條直線與另一個平面的夾角正弦值，我們可以把其轉(zhuǎn)化為求這條直線與另一條與平面垂直的直線的余弦值即可。試題解析：（1）因為，分別為棱，的中點(diǎn)，所有

8、根據(jù)三角形的中位線定理得到；又因為，所以根據(jù)平行的傳遞性得到；又因為，所以平面。（2）因為且，所以平面；求與平面的正弦值，即可以轉(zhuǎn)化為求與的余弦值；又因為，所以與所在的三角形是正三角形；那么兩條直線的余弦值就是?？键c(diǎn)：1直線與平面平行的判定；2直線與平面所成角的求解。6見解析.【解析】試題分析：第一問根據(jù)線面平行的判定定理的內(nèi)容，重點(diǎn)找出相應(yīng)的平行線即可得出結(jié)果，第二問注意應(yīng)用好空間的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，注意與垂直相關(guān)的定理和結(jié)論理解透徹即可.試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)、， 1分是等腰直角三角形， 2分又平面平面，平面平面，平面， 3分由已知得平面， 4分又，四邊形為平行四邊形， 5分， 6分

9、而平面，平面，平面. 7分（2）為的中點(diǎn)，為等邊三角形， 8分由（1）知平面，而平面，可得， 9分，平面， 10分而平面， 11分又， 12分而，平面， 13分又平面，. 14分考點(diǎn)：空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，空間想象能力、運(yùn)算能力和邏輯推理能力7（1）見試題解析；（2） 【解析】（1）要證明平面,可證明,；（2）由及可得.試題分析：試題解析：（1）連結(jié),由已知得與都是正三角形,所以, （1分）因為,所以,（2分）又平面,所以,（4分）因為,所以平面（6分）因為，（2分）且， （4分）所以，考點(diǎn)：1.線面垂直的證明；2三棱錐的體積.8（）詳見解析；（）【解析】試題分析：（）由直棱錐可得平面，從

10、而可得，由直角可得。根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面，從而可得（）根據(jù)體積關(guān)系可計算得出為中點(diǎn) 以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向、為軸正向、為軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的長為1，則可得各點(diǎn)的坐標(biāo)從而可得各向量的坐標(biāo)根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0可分別求得面和面的法向量從而可求得兩法向量夾角的余弦值從而可得兩法向量夾角所求二面角為銳角等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角試題解析：解：（）平面，（1分）又，即，平面，又平面，；（4分）（），依題意， ，為中點(diǎn)；（7分）（法1）取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，面面面 ，得點(diǎn)與點(diǎn)重合，且是二面角的平面角 （10分）設(shè)，則，得二面角的大小為（12分）（法2）以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，

11、為軸正向、為軸正向、為軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的長為1，則 （8分）作中點(diǎn)，連結(jié)，則，從而平面，平面的一個法向量 （9分）設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，故二面角為 （12分）考點(diǎn)：1線面垂直；2二面角9（1）詳見解析；（2）詳見解析；【解析】試題分析：（1）要證線面平行，可以尋找線線平行，而由三角形中位線可得線線平行；（2）要證面面垂直可以尋找線面垂直，而已知面面垂直，由此可推得線面垂直；試題解析：（1）因為，分別為棱，的中點(diǎn)，所以， 又平面，平面，故平面（2）因為，分別為棱，的中點(diǎn)，所以，又°，故因為平面平面，平面平面， 且平面，所以平面又平面，平面平面 考點(diǎn)：1.線面平

12、行的判定定理；2.面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理；10（1），（2）直線與平面所成角的正弦值等于.【解析】試題分析：（1）為了證明平面，則需利用平面平面，為此過做于，由兩個平面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，進(jìn)而得到平面，又 ，故平面（2）作出直線與平面所成角，為此連結(jié)，平面 ，則為求直線與平面所成角，在中計算即可得到試題解析：（1）過做于平面平面，平面平面平面 又 平面（2）平面 連結(jié)則為求直線與平面所成角 又 又直線與平面所成角的正弦值等于.考點(diǎn)： 線面垂直的判定，直線與平面所成的角11（）見解析；（）（）【解析】試題分析：（）由 PC平面ABCD，得到 ACPC由AC2+BC2=AB2，得到 A

13、CBCAC平面PBC即得平面EAC平面PBC（）由（）知AC平面PBC，根據(jù)ACCP，ACCE，知PCE即為二面角P-AC-E的平面角在PCB中，得到PE=CE=，由余弦定理得（）作PFCE，F(xiàn)為垂足由（）知平面EAC平面PBC，推出PF平面EAC，連接AF，得到PAF就是直線PA與平面EAC所成角 11分由sinPAF =得到直線PA與平面EAC所成角的正弦值 試題解析：（）PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPCAB=4，AD=CD=2，AC=BC=AC2+BC2=AB2，ACBC又BCPC=C，AC平面PBCAC平面EAC，平面EAC平面PBC 4分（）由（）知AC平面PBC，ACCP，ACCE