第3章-微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用總結(jié)(共18頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1基礎(chǔ)知識詳解先回顧一下第一章的幾個重要定理1、 ，這是極限值與函數(shù)值（貌似是鄰域）之間的關(guān)系2、 ，這是兩個等價無窮小之間的關(guān)系3、零點定理：條件：閉區(qū)間a,b上連續(xù)、 (兩個端點值異號)結(jié)論：在開區(qū)間(a,b)上存在 ，使得 4、介值定理：條件：閉區(qū)間a,b上連續(xù)、 結(jié)論：對于任意，一定在開區(qū)間(a,b)上存在，使得。5、介值定理的推論：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定可以取得最大值M和最小值m之間的一切值。第三章 微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、羅爾定理條件：閉區(qū)間a,b連續(xù)，開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，f(a)=f(b)結(jié)論：在開區(qū)間(a,b)上存在 ，使得2、拉格朗日中值定理條

2、件：閉區(qū)間a,b連續(xù)，開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)結(jié)論：在開區(qū)間(a,b)上存在 ，使得3、柯西中值定理條件：閉區(qū)間a,b連續(xù)，開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)， 結(jié)論：在開區(qū)間(a,b)上存在 ，使得拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情況，當(dāng)g(x)=x時，柯西中值定理就變成了拉格朗日中值定理。4、對羅爾定理，拉格朗日定理的理解。羅爾定理的結(jié)論是導(dǎo)數(shù)存在0值，一般命題人出題證明存在0值，一般都用羅爾定理。當(dāng)然也有用第一章的零點定理的。但是兩個定理有明顯不同和限制，那就是，零點定理兩端點相乘小于0，則存在0值。而羅爾定理是兩個端點大小相同，則導(dǎo)數(shù)存在0值。如果翻來覆去變形無法弄到兩端相等，那么還是別用羅爾定理了

3、，兩端相等，證明0值是采用羅爾定理的明顯特征。拉格朗日定理是兩個端點相減，所以一般用它來證明一個函數(shù)的不等式：； 一般中間都是兩個相同函數(shù)的減法，因為這樣便于直接應(yīng)用拉格朗日，而且根據(jù)拉格朗日的定義，一般區(qū)間就是 。5、洛必達法則應(yīng)用注意正常求極限是不允許使用洛必達法則的，洛必達法則必須應(yīng)用在正常求不出來的不定式極限中。不定式極限有如下7種： 每次調(diào)用洛必達方法求解極限都必須遵從上述守則。6、泰勒公式求極限。如果極限是 那么就在 附近展開。如果極限是，那么就變形成，再在附近展開。一般都是化成用邁克勞林展開式展開。那么展開多少步呢？一般分子分母展開的冪應(yīng)該是一樣的，便于上下幾次方相抵消，分子分母

4、尾部都跟著一個皮亞諾型余項。如果展開了，發(fā)現(xiàn)分母是表面外觀的2次方，而上面如果展開后分子的結(jié)果為0，則還要繼續(xù)往更高階次展開。分母一定會跟著分子有同樣階的。算吧，很大的計算量。7、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)曲線的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間。條件：閉區(qū)間a,b連續(xù)，開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù) 結(jié)論1： 在閉區(qū)間a,b上單增（單減）結(jié)論2： 則此點一定是可靠而全面的對單調(diào)的分界點8、函數(shù)曲線的凹凸性和拐點（左右凹凸變化的分界點）方法一：條件：區(qū)間連續(xù)。結(jié)論：若，則該曲線在(x1,x2)凹若，則該曲線在(x1,x2)凸方法二：條件：閉區(qū)間a,b連續(xù)，開區(qū)間(a,b)存在一階和二階導(dǎo)數(shù)結(jié)論1： 在a,b凹； 在a,b凸；

5、結(jié)論2： 則此點一定是全面的但僅是可能的拐點。然后驗證的符號。異號則一定為拐點。9函數(shù)在區(qū)間上的極值點，最值點。定理1：極值點處的導(dǎo)數(shù) 定理2：條件： 在 點處連續(xù)，在附近的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)結(jié)論： 則在點取得極大值。 則在點取得極小值。若左右鄰域內(nèi)符號不變，則該點無極值。定理3：條件： 在 點處的一階導(dǎo)數(shù)結(jié)論： ，則在點取得極小值。 ，則在點取得極小值。,則該點可能是極值，也可能不是極值。總結(jié)：一階導(dǎo)數(shù)就能得出極值點。二階導(dǎo)數(shù)也能得出，但二階導(dǎo)數(shù)有限制。最值：在極值中挑出個最大的，最小的點，再跟兩端的值大小比較一下，得到的就是閉區(qū)間最大值，最小值。10、曲率曲率定義是： ，曲率半徑用a表示，是曲

6、率的導(dǎo)數(shù)，即。 所謂曲率半徑，是指如果在該點出以這么半徑畫一個圓，那么該圓的圓弧點上處處的曲率都是K。如何推導(dǎo)曲率？課本典型題：2擴展三個定理的條件都是閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導(dǎo)。然后羅爾定律是f(a)=f(b),結(jié)論是導(dǎo)數(shù)為0。拉格朗日中值定理結(jié)論是存在導(dǎo)數(shù)。柯西定理形象來說是拉格朗日中值定理的變形（見物理意義）。羅爾定理拉格朗日中值定理柯西定理微分中值定理這部分看起來特別重要。因為它涉及到幾個定理。羅爾定理常用于以下幾種題：1 在（a，b）上是否存在零點？顯然，只要找到的a和b即可。找到了還能知道至少有幾個零點，以及每個零點的區(qū)域。如已知，說明有幾個實根？范圍是什么？等。2 證明在（a，b）上

7、是否存在零點？注意1是是否存在零點。故可以求出，這樣就成了求在(a,b)上是否存在零點。和1一樣的方法了。3 證明的根不超過多少個。如證明其根不超過3個。那么，記住用反證法+羅爾定理。設(shè)根有四個，分別為x1<x2<x3<x4。則由羅爾定理，肯定有三個不等的根，有兩個不等的根，有一個不等的根。但是算到時，結(jié)果卻是無根。故假設(shè)錯誤，根不超過3個。拉格朗日中值定理常用于證明不等式：1 證明，想辦法把整個式子都變變形，最重要的是把變成兩個同函數(shù)相減的方式，的形式，再用拉格朗日中值定理改為導(dǎo)數(shù)的形式與兩端比較?？挛髦兄刀ɡ沓Ｓ糜谧C明不等式：1 證明 方法：把原式轉(zhuǎn)換成或的形式。因為柯西

8、中值定理實質(zhì)是兩個函數(shù)相除轉(zhuǎn)換成導(dǎo)數(shù)相除，因此要想法給弄成除的形式。拉格朗日中值定理是弄成減的形式。然后證明一下兩個導(dǎo)數(shù)相除大于或者小于1就行了證明函數(shù)恒等，證明原則：1 ，【當(dāng)然還有個條件就是f,g在(a,b)存在導(dǎo)數(shù)】2 找到任意一點，使得如果還需要驗證連續(xù)2洛必達法則應(yīng)用有兩個條件 ，即必須存在結(jié)果，可以是無窮大，也可以是0等，但不能是諸如之類的沒具體的玩意。但是注意，如果用洛必達法則算出就是這類沒具體的玩意，也不能證明該函數(shù)除法式無極限。只能證明洛必達法則此時適用性太小。3洛必達法則應(yīng)用 求1的七種類型的未定式極限 確定無窮小的階是多少K階無窮小的定義：若，則稱是的K階無窮小。無窮小階

9、的運算法則：設(shè)f(x)是x的n階無窮小，g(x)是x的m階無窮小，則有：f(x)+g(x)是x的min( n , m )階無窮小f(x)*g(x)是x的n+m階無窮小f(x)/g(x)是x的abs( n - m)階無窮小這一節(jié)內(nèi)容關(guān)于應(yīng)用洛必達法則討論極限的問題我學(xué)的很差。泰勒中值定理的來源想象：任何一個函數(shù)f(x)，在0點附近都可以曲線化直的表示成用導(dǎo)數(shù)一算，恰好有故在點處可得泰勒展開公式：（前提：f(x)在含的某個開區(qū)間（a , b）上具有（n+1）階的導(dǎo)數(shù)，這樣才能得到拉格朗日余項）當(dāng)n=0時，其中是n=0時的拉格朗日余項拉格朗日余項為：換成表示為：這樣表示很常見（不要求精確時）可使用佩

10、亞諾余項：（注意：不是拉格朗日余項的n+1次方）最開始推導(dǎo)時，x在0處的仿f（x）多項式稱為麥克勞林公式，是泰勒公式的簡單形式。使用邁克勞林公式時，對應(yīng)拉格朗日余項可以改為但是注意這僅是邁克勞林時用。故可以不記這個特殊形式的式子。只記基本的式子佩亞諾余項x0=0即可。常用的麥克勞林公式（泰勒公式涉及大量運算，而卻常考這幾個式子的變形）顯然n從1開始顯然n從0開始顯然n從1開始顯然n從0開始麥克勞林展開式比較容易，可以現(xiàn)用現(xiàn)推導(dǎo)大體記一下，然后根據(jù)推出的前兩個值就能想到全部的結(jié)論。一般第二個值如果是負的，就說明會有（-1）（k+1）次方等注意。擴展：本節(jié)課的“泰勒公式（及其擴展公式）”可以做什么

11、？1 對型的函數(shù)式，可以用泰勒公式求極限，還可以用來確定無窮小的階。設(shè)，并有泰勒公式：，其中，A為非零常數(shù)，其中，B為非零常數(shù)，顯然這個得零是因為f比g更快趨近于0而已求極限的情況一般都是兩個無關(guān)的函數(shù)相減。如cosx-ln(1+x)啊，cosx-ex啊，很多式子還伴隨的是除法形式，因為這樣能將多余的無窮小系數(shù)給約為0.舉例中的x是bx，xt的變形式。若求得泰勒公式，則xa時，f(x)是x-a的n階無窮小2由泰勒公式求其實就是將用泰勒公式展開后得到第n階的通項公式，顯然為,因此顯然值為導(dǎo)出即可。注意的是，有時候并不能得出。而是其他形式，如展開式n階通項為，顯然結(jié)果是。得出的結(jié)果奇形怪狀的都有，

12、有些n是從3,開始的，這時候就還得考慮等。因此也要注意考慮n。3由含佩亞諾余項的泰勒公式可以得到的含佩亞諾余項的泰勒公式，其中b為常數(shù)，m為自然數(shù)，只需令即可。顯然在佩亞諾余項上可以隨意換項。4在求的三階麥克勞林式時，顯然分別展開3階的結(jié)果為=(+OX3)*(+OX3)將其乘開時為取三階麥克勞林式，只需加階數(shù)的式子即可本節(jié)在泰勒公式的變形靈活運用上掌握的不好。本節(jié)涉及大量運算，但大部分都是前面給出的五個基本公式的變形。因此一定要熟練背誦使用尋找拐點還是劃分單調(diào)區(qū)間的點，都是找f(x)或者f(x)等于0，或者不存在的點。定義要求是在（開區(qū)間）可導(dǎo)，閉區(qū)間連續(xù)，但是得到的范圍就按連續(xù)的區(qū)間來，即閉區(qū)間1根據(jù)定義，求極值總結(jié)的三種方法：基本定義兩端異號若則在x0處可能是最大最小值也可能沒有極值。說不準(zhǔn)。2可導(dǎo)函數(shù)求極值（或最值）的步驟：求出導(dǎo)數(shù)求出=0的駐點和不可導(dǎo)點。（如果是求最值還要求定義域端點）得出點后求極值要判斷駐點不可導(dǎo)點兩端導(dǎo)數(shù)是否異號。異號的話則該點為極值點。（求最值還可以不看導(dǎo)數(shù)兩旁異號，直接帶進去求出所有值就比較出最大最小值了）3若在（任意的一個）定義區(qū)間內(nèi)只有一個駐點