CH 21 曲線積分與曲面積分的計算

1、CH 21 曲線積分與曲面積分的計算1兩類曲線積分的計算法（1） 設(shè)曲線由給出，則 （2）若由，起點對應(yīng)，終點對應(yīng)，則 （3）若曲線由給出，則 （4）若由確定，起點對應(yīng)，終點對應(yīng)，則 2兩類曲面積分的計算法 （1）若曲面由給出，在面上的投影區(qū)域為，則 （正負號由的側(cè)向確定），若曲面由給出，也有相應(yīng)的公式。 （2）若曲面。設(shè)曲面無重點，同時函數(shù)為均在上具有對和的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且Jacobi矩陣在上的秩為2，可得 這里 其中為平面上的變化區(qū)域，正負號對應(yīng)的兩個側(cè)。§1第一型線面積分例1 求，其中是球面與平面的交線。解法1 解法2 求曲線的參數(shù)方程。由，消去，得即 令，則于是得到兩組參數(shù)方程

2、 我們可任選一組，例如第一組。顯然，被積函數(shù)和都具有輪換對稱性，則解法3 作坐標旋轉(zhuǎn)。就坐標是，新坐標是，旋轉(zhuǎn)角為，則旋轉(zhuǎn)變換的一般公式為 ， 因為平面的單位法矢為，則它與軸的夾角余弦為。下面分兩步進行旋轉(zhuǎn)，先將平面旋轉(zhuǎn)，得新坐標系；再將平面旋轉(zhuǎn)，得新坐標系。即 由旋轉(zhuǎn)公式得 于是得 在這組變換下，曲線：，變?yōu)?，?注1 三種解法各具特點：解法1技巧性強，直接利用了幾何意義，而不必化為定積分。解法2常規(guī)的方法，即 寫出參數(shù)方程 套公式 計算定積分這里主要難在第一步，寫參數(shù)方程。通過解法2，給出了一種求參數(shù)方程的方法。解法3先通過坐標旋轉(zhuǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為另一個與之等價的問題，再按常規(guī)的方法計算。坐

3、標系下的線積分 坐標系下的線積分 寫出參數(shù)方程 套公式 計算定積分在新的坐標下，曲線有簡單的參數(shù)方程。這個解法表明，可以適當?shù)剞D(zhuǎn)化問題，例如作坐標旋轉(zhuǎn)，從而獲得簡單的參數(shù)方程。§2 第二型線面積分例1 計算曲線積分，（1）是球面三角形，的邊界線，從球的外側(cè)看去，的方向為逆時針方向；（2）是球面和柱面的交線位于平面上方的部分，從軸上點看去，是順時針方向。解 （1）顯然，具有輪換對稱性，且被積表達式也具有輪換對稱性，將分為三段：， （，） ：， （，）：， （，）則 或 注1 這里利用輪換對稱性使計算化簡，都是寫為某積分的3倍。它們的區(qū)別在于第一種方法：積分表達式不變，積分化為上的積分的3倍。第二種方法：積分曲線不變，積分化為表達式中第一項積分的3倍。問題1 是否可化為既是上的積分的3倍，又是表達式中第一項積分的3倍，即（2）曲線關(guān)于平面對稱，且方向相反同理 故 下面求曲線的參數(shù)方程。方法1 利用球面的參數(shù)方程，代入柱面方程得，于是得的參數(shù)方程， ， ， 從到方法2 利用柱面的參數(shù)方程，代入球面方程，得的參數(shù)方程， ， ， 從到不妨取方法1中的參數(shù)方程進行計算， 注2 這里利用對稱性（不是輪換對稱性），立即可知前兩項的積分為0。值得注意的是第二型的曲線積分與第一型的曲線積分對稱性的應(yīng)用是不同的。例如第一項積分，曲線關(guān)于平面對