Ch%206%20%20微分學(xué)基本定理及其應(yīng)用

1、 Ch 6 微分學(xué)基本定理及其應(yīng)用計(jì)劃課時(shí)： 22 時(shí) § 1 中值定理 一 極值概念：1 極值： 圖解，定義 ( 區(qū)分一般極值和嚴(yán)格極值. )2. 可微極值點(diǎn)的必要條件: Th ( Fermat ) ( 證 )函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn), 穩(wěn)定點(diǎn)的求法. 二. 微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 敘述為T(mén)h1. ( 證 ) 定理?xiàng)l件的充分但不必要性.2. Lagrange中值定理: 敘述為T(mén)h2. ( 證 ) 圖解 .用分析方法引進(jìn)輔助函數(shù), 證明定理. 用幾何直觀引進(jìn)輔助函數(shù)的方法Lagrange中值定理的各種形式. 關(guān)于中值點(diǎn)的位置. 系1 函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)且為I上的常值函數(shù). (

2、證) 系2 函數(shù)和在區(qū)間I上可導(dǎo)且 系3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某右鄰域上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo). 若存在 , 則右導(dǎo)數(shù)也存在, 且有(證)但是, 不存在時(shí), 卻未必有不存在. 例如對(duì)函數(shù) 雖然不存在, 但卻在點(diǎn)可導(dǎo)(可用定義求得).Th ( 導(dǎo)數(shù)極限定理 ) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域 內(nèi)連續(xù), 在內(nèi) 可導(dǎo). 若極限存在, 則也存在, 且 ( 證 )由該定理可見(jiàn), 若函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo), 則區(qū)間I上的每一點(diǎn), 要么是導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)點(diǎn), 要么是的第二類(lèi)間斷點(diǎn). 這就是說(shuō), 當(dāng)函數(shù)在區(qū)間I上點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)時(shí), 導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間I上不可能有第二類(lèi)間斷點(diǎn). 系4 ( 導(dǎo)函數(shù)的介值性 ) 若函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo), 且 ( 證 )Th (

3、Darboux ) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)且. 若為介于與之間的任一實(shí)數(shù), 則 設(shè) 對(duì)輔助函數(shù) , 應(yīng)用系4的結(jié)果. ( 證 )3. Cauchy中值定理: Th 3 設(shè)函數(shù)和在閉區(qū)間上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 和在內(nèi)不同時(shí)為零, 又 則在內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使 .證 分析引出輔助函數(shù) . 驗(yàn)證在上滿(mǎn)足Rolle定理的條件, 必有, 因?yàn)榉駝t就有.這與條件“和在內(nèi)不同時(shí)為零”矛盾. Cauchy中值定理的幾何意義. Ex 1P212 1 3 7； 三. 中值定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用: 1. 證明中值點(diǎn)的存在性: 例1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 則, 使得 .證 在Cauchy中值定理中取.例2 設(shè)函數(shù)在

4、區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且有.試證明: .2. 證明恒等式: 原理.例3 證明: 對(duì), 有 .例4 設(shè)函數(shù)和可導(dǎo)且又 則 .證明 . 例5 設(shè)對(duì), 有 , 其中是正常數(shù). 則函數(shù)是常值函數(shù). (證明 ).3. 證明不等式: 原理. 例6 證明不等式: 時(shí), .例7 證明不等式: 對(duì)，有. 4. 證明方程根的存在性: 例8 證明方程 在內(nèi)有實(shí)根.例9 證明方程 在內(nèi)有實(shí)根. Ex 1P212 4 9 11； § 2 不定式的極限 一. 型:Th 1 (Hospital法則 ) ( 證 ) 應(yīng)用技巧.例1 例2 .例3 . ( 作代換 或利用等價(jià)無(wú)窮小代換直接計(jì)算. )例4 . ( H

5、ospital法則失效的例 )二. 型:Th 2 (Hospital法則 ) ( 證略 )例5 .例6 . 註: 關(guān)于當(dāng)時(shí)的階.例7 . ( Hospital法則失效的例 ) Ex 1P225 1 ，2； . 三. 其他待定型: .前四個(gè)是冪指型的.例8 例9 .例10 .例11 .例12 .例13 .例14 設(shè) 且 求解 . Ex 1P225 1 § 3 Taylor公式 一. 問(wèn)題和任務(wù): 用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的可能性; 對(duì)已知的函數(shù), 希望找一個(gè)多項(xiàng)式逼近到要求的精度. 二. Taylor( 16851731 )多項(xiàng)式:分析前述任務(wù)，引出用來(lái)逼近的多項(xiàng)式應(yīng)具有的形式定義 Taylo

6、r 多項(xiàng)式 及Maclaurin多項(xiàng)式 例1 求函數(shù)在點(diǎn)的Taylor 多項(xiàng)式. ( 留作閱讀 ) 三. Taylor公式和誤差估計(jì):稱(chēng) 為余項(xiàng). 稱(chēng)給出的定量或定性描述的式為函數(shù)的Taylor公式. 1. 誤差的定量刻畫(huà)( 整體性質(zhì) ) Taylor中值定理:Th 1 設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足條件: > 在閉區(qū)間上有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù); > 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù).則對(duì) 使 .證 1P229231.稱(chēng)這種形式的余項(xiàng)為L(zhǎng)agrange型余項(xiàng). 并稱(chēng)帶有這種形式余項(xiàng)的Taylor公式為具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式. Lagrange型余項(xiàng)還可寫(xiě)為 .時(shí), 稱(chēng)上述Taylor公式為Maclau

7、rin公式, 此時(shí)余項(xiàng)常寫(xiě)為 . Ex 1P234 1（4）.2. 誤差的定性描述( 局部性質(zhì) ) Peano型余項(xiàng):Th 2 若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù), 且存在, 則 , . 證 設(shè), . 應(yīng)用Hospital法則次, 并注意到存在, 就有 = .稱(chēng)為T(mén)aylor公式的Peano型余項(xiàng), 相應(yīng)的Maclaurin公式的Peano型余項(xiàng)為. 并稱(chēng)帶有這種形式余項(xiàng)的Taylor公式為具Peano型余項(xiàng)的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ). 四. 函數(shù)的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展開(kāi): 1. 直接展開(kāi): 例2 求 的Maclaurin公式.解 . 例3 求

8、 的Maclaurin公式.解 , .例4 求函數(shù)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .解 . .例5 把函數(shù)展開(kāi)成含項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .( 1P179 E5, 留為閱讀. ) 2. 間接展開(kāi): 利用已知的展開(kāi)式, 施行代數(shù)運(yùn)算或變量代換, 求新的展開(kāi)式. 例6 把函數(shù)展開(kāi)成含項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .解 , .例7 把函數(shù)展開(kāi)成含項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .解 , 注意, . 例8 先把函數(shù)展開(kāi)成具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 . 利用得到的展開(kāi)式, 把函數(shù)在點(diǎn)展開(kāi)成具Peano型余項(xiàng)的Tayl

9、or公式.解 . =+ 例9 把函數(shù)展開(kāi)成具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 ，并與的相應(yīng)展開(kāi)式進(jìn)行比較. 解 ; .而 . 五. Taylor公式應(yīng)用舉例: 1. 證明是無(wú)理數(shù): 例10 證明是無(wú)理數(shù).證 把展開(kāi)成具Lagrange型余項(xiàng)的Maclaurin公式, 有 .反設(shè)是有理數(shù), 即和為整數(shù)), 就有 整數(shù) + .對(duì)也是整數(shù). 于是, 整數(shù) = 整數(shù)整數(shù) = 整數(shù).但由 因而當(dāng) 時(shí)，不可能是整數(shù). 矛盾.2. 計(jì)算函數(shù)的近似值: 例11 求精確到的近似值.解 .注意到 有 . 為使,只要取. 現(xiàn)取, 即得數(shù)的精確到的近似值為 . 3. 利用Taylor公式求極限: 例12 求極

10、限 .解 , ; .4 證明不等式： 原理. 例13 證明: 時(shí), 有不等式 . Ex 1P234 2（2）（4），4 . § 4導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)上的應(yīng)用 一、函數(shù)的單調(diào)性與極值判法 1、單調(diào)性判法：Th 1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 則在內(nèi)(或) 在內(nèi) ( 或 ).證 ) ) 證.Th 2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 則在內(nèi)( 或) > 對(duì) 有 ( 或; > 在內(nèi)任子區(qū)間上2. 單調(diào)區(qū)間的分離: 的升、降區(qū)間分別對(duì)應(yīng)的非負(fù)、非正值區(qū)間.例1 分離函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.二. 可微極值點(diǎn)判別法: 極值問(wèn)題: 極值點(diǎn), 極大值還是極小值, 極值是多少.1. 可微極值點(diǎn)的必要條件: 函數(shù)的駐點(diǎn)和

11、(連續(xù)但)不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為可疑點(diǎn), 可疑點(diǎn)的求法.2. 極值點(diǎn)的充分條件: 對(duì)每個(gè)可疑點(diǎn), 用以下充分條件進(jìn)一步鑒別是否為極值點(diǎn).Th 4 (充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù), 在鄰域和內(nèi)可導(dǎo). 則 > 在內(nèi) 在內(nèi)時(shí), 為的一個(gè)極小值點(diǎn); > 在內(nèi) 在內(nèi)時(shí), 為的一個(gè)極大值點(diǎn); > 若在上述兩個(gè)區(qū)間內(nèi)同號(hào), 則不是極值點(diǎn).Th 5 (充分條件)設(shè)點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)且存在.則 > 當(dāng)時(shí), 為的一個(gè)極大值點(diǎn); > 當(dāng)時(shí), 為的一個(gè)極小值點(diǎn).證法一 當(dāng)時(shí), 在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)與異號(hào),證法二 用Taylor公式展開(kāi)到二階, 帶Peano型余項(xiàng).Th 6 (充分條件 ) 設(shè),而.則 &

12、gt; 為奇數(shù)時(shí), 不是極值點(diǎn); > 為偶數(shù)時(shí), 是極值點(diǎn). 且對(duì)應(yīng)極小; 對(duì)應(yīng)極大. 例2 求函數(shù)的極值. 1P190 E3 例3 求函數(shù)的極值. 1P190 E43. 函數(shù)的最值: 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且僅有有限個(gè)可疑點(diǎn). 則 =; .函數(shù)最值的幾個(gè)特例:> 單調(diào)函數(shù)的最值:> 如果函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)且僅有一個(gè)駐點(diǎn), 則當(dāng)為極大值點(diǎn)時(shí), 亦為最大值點(diǎn); 當(dāng)為極小值點(diǎn)時(shí), 亦為最小值點(diǎn).> 若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)且僅有一個(gè)極大(或小)值點(diǎn), 則該點(diǎn)亦為最大(或小)值點(diǎn).> 對(duì)具有實(shí)際意義的函數(shù), 常用實(shí)際判斷原則確定最大(或小)值點(diǎn). Ex 1P269270 1（1）（3

13、） 2，6（2）（4）； B三. 最值應(yīng)用問(wèn)題:A1.5km1kmDEC 例4 、兩村距輸電線(xiàn)（直線(xiàn)）分別為 和（如圖），長(zhǎng). 現(xiàn)兩村合用一臺(tái)變壓器供電. 問(wèn)變壓器設(shè)在何處,輸電線(xiàn)總長(zhǎng)最小.解 設(shè)如圖，并設(shè)輸電線(xiàn)總長(zhǎng)為.則有 , , 解得 和 ( 捨去 ). 答： 四. 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式:我們?cè)谇懊婧?jiǎn)介過(guò)用中值定理或Taylor公式證明不等式的一些方法. 其實(shí), 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法至少可以提出七種 . 本段僅介紹利用單調(diào)性或極值證明不等式的簡(jiǎn)單原理.1. 利用單調(diào)性證明不等式: 原理: 若, 則對(duì), 有不等式.例5 證明: 對(duì)任意實(shí)數(shù)和, 成立不等式 證 取在內(nèi).于是, 由 , 就有

14、 , 即 . 2. 不等式原理: 不等式原理: 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且; 又 則 時(shí), (不等式原理的其他形式.)例6 證明: 時(shí), .例7 證明: 時(shí), .2. 利用極值證明不等式:例8 證明: 時(shí), . Ex 1P269270 3，10； § 5 凸性 拐點(diǎn) 一 凸性的定義及判定：1 凸性的定義：由直觀引入. 強(qiáng)調(diào)曲線(xiàn)彎曲方向與上升方向的區(qū)別.定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù). 若對(duì), 恒有 , 或. 則稱(chēng)曲線(xiàn)在區(qū)間上是凹(或凸)的. 若在上式中, 當(dāng)時(shí), 有嚴(yán)格不等號(hào)成立, 則稱(chēng)曲線(xiàn)在區(qū)間上是嚴(yán)格凹(或嚴(yán)格凸)的. 凹和凸也分別稱(chēng)為上凸和下凸.凸性的幾何意義: 倘有切線(xiàn),

15、 與切線(xiàn)的位置關(guān)系; 與弦的位置關(guān)系; 曲線(xiàn)的彎曲方向.2 利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線(xiàn)的凸向:Th 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù), 則在內(nèi) 在內(nèi)嚴(yán)格上凸; 在內(nèi)嚴(yán)格下凸.該判別法也俗稱(chēng)為“雨水法則”.證法一 ( 用Taylor公式 ) 對(duì) 設(shè), 把在點(diǎn)展開(kāi)成具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式, 有 .其中和在與之間. 注意到 , 就有 , 于是 若有 上式中, 即嚴(yán)格上凸. 若有 上式中, 即嚴(yán)格下凸.證法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 則有, 不妨設(shè),并設(shè) ,分別在區(qū)間和上應(yīng)用Lagrange中值定理, 有,.有 又由 ， <, ， 即 ， 嚴(yán)格下凸.可類(lèi)證的情況.3

16、凸區(qū)間的分離: 的正、負(fù)值區(qū)間分別對(duì)應(yīng)函數(shù)的下凸和上凸區(qū)間. 二. 曲線(xiàn)的拐點(diǎn): 拐點(diǎn)的定義. 例1 確定函數(shù)的上凸、下凸區(qū)間和拐點(diǎn). 4P154 E20解 的定義域?yàn)?. 令, 解得 .在區(qū)間內(nèi)的符號(hào)依次為，. 拐點(diǎn)為: 倘若注意到本題中的是奇函數(shù), 可使解答更為簡(jiǎn)捷.三. Jensen不等式及其應(yīng)用:Jensen不等式: 設(shè)在區(qū)間上恒有( 或, 則對(duì)上的任意個(gè)點(diǎn) , 有Jensen不等式: ( 或,且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.證 令, 把表為點(diǎn)處具二階Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式，仿前述定理的證明，注意 即得所證.對(duì)具體的函數(shù)套用Jensen不等式的結(jié)果, 可以證明一些較復(fù)雜的不等式. 這種證明不等式的方法稱(chēng)為Jensen不等式法或凸函數(shù)法. 具體應(yīng)用時(shí), 往往還用到所選函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性.例2 證明: 對(duì) 有不等式 .例3 證明均值不等式: 對(duì), 有均值不等式 .證 先證不等式. 取. 在內(nèi)嚴(yán)格上凸, 由Jensen不等式, 有 .由 . 對(duì)用上述已證結(jié)果, 即得均值不等式的左半端.例4 證明: 對(duì), 有不等式 . (