菲涅耳衍射夫瑯和費(fèi)衍射和傅立葉變換

1、第四章 菲涅耳衍射、夫瑯和費(fèi)衍射和傅立葉變換利用基爾霍夫或瑞利-索末菲衍射公式計(jì)算衍射光場復(fù)振幅分布雖然準(zhǔn)確，但是在計(jì)算積分時(shí)存在數(shù)學(xué)上的困難。在一定條件下對(duì)瑞利-索末菲衍射公式進(jìn)行近似，便可以將衍射現(xiàn)象劃分為兩種類型菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射，也稱近場衍射與遠(yuǎn)場衍射。§4-1 菲涅耳衍射夫瑯和費(fèi)衍射的劃分先簡單分析一下單色光經(jīng)過衍射小孔后的衍射現(xiàn)象。下圖表示一個(gè)單色平面波垂直照射到圓孔上（圓孔直徑大于波長）的情形。若在離很近的K1處觀察透過的光，將看到邊緣比較銳利的光斑，其形狀、大小和圓孔基本相同，可看作是圓孔的投影。這時(shí)光的傳播可看作是直線進(jìn)行的。若距離再遠(yuǎn)些，例如在K2處，將看到

2、一個(gè)邊緣模糊的略大的圓光斑，光斑內(nèi)有一圈圈的亮暗環(huán)，這時(shí)光斑已不能看作是圓孔的投影了。隨著距離的增大，光斑范圍將不斷擴(kuò)大，但光斑中圓環(huán)數(shù)目則逐漸減?。ㄈ鏚3處的情況），而且環(huán)紋中心的明暗也表現(xiàn)為交替出現(xiàn)。當(dāng)觀察平面距離很遠(yuǎn)時(shí)，如在K4處，將看到一個(gè)較大的中間亮，邊緣暗，且在邊緣外有較弱的亮暗交替的光斑。此后觀察距離再增大時(shí)，只是光斑擴(kuò)大，但光斑形狀不變。通常菲涅耳衍射指近場衍射，夫瑯和費(fèi)衍射指遠(yuǎn)場衍射。下面我們根據(jù)瑞利-索末菲衍射公式來討論遠(yuǎn)和近的范圍是怎樣劃分的?？紤]無限大的不透明屏上的一個(gè)有限孔徑對(duì)單色光的衍射。設(shè)平面屏有直角坐標(biāo)系(x1，y1)，在平面觀察區(qū)域有坐標(biāo)系(x，y)，兩者坐標(biāo)

3、平行，相距z。一、 菲涅耳衍射（近場衍射）在第三章里我們已經(jīng)得到開孔的瑞利-索末菲衍射公式是在圖所示的坐標(biāo)系下，上式可以寫為假設(shè)觀察屏和衍射屏的距離z遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的線度和觀察范圍的線度，那么在z軸附近又的情況下，忽略二階以上小量，有所以這一近場近似公式稱為菲涅耳衍射公式。使以上近似成立的觀察區(qū)稱菲涅耳衍射區(qū)。使菲涅耳衍射公式成立的條件是即二、 夫瑯和費(fèi)衍射（遠(yuǎn)場衍射）菲涅耳衍射公式是如果我們的觀察區(qū)域遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于衍射孔線度，即，那么上式又可進(jìn)一步近似為這樣我們對(duì)菲涅耳衍射公式的進(jìn)一步近似稱遠(yuǎn)場近似，得到的衍射公式稱為夫瑯和費(fèi)衍射公式，這一積分公式相對(duì)菲涅耳衍射公式在數(shù)學(xué)上又簡單了一些。對(duì)應(yīng)的衍射區(qū)域稱

4、夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)。容易看出，滿足夫瑯和費(fèi)衍射的條件是即這是一個(gè)很強(qiáng)的條件，比如當(dāng)=600nm，孔徑為直徑2mm時(shí)，要觀察夫瑯和費(fèi)衍射，觀察位置必須在遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1666mm的地方。實(shí)際中，往往用，即來確定出現(xiàn)夫瑯和費(fèi)衍射的位置。§4-2 幾種典型的夫瑯和費(fèi)衍射在無限遠(yuǎn)處觀察的衍射是嚴(yán)格的夫瑯和費(fèi)衍射，用一正透鏡在后焦面上觀察的衍射就是這種情況。夫瑯和費(fèi)衍射在分析光學(xué)儀器的極限分辨本領(lǐng)時(shí)有著重要的意義。夫瑯和費(fèi)衍射計(jì)算較為簡單，同時(shí)它與傅立葉變換有著直接的聯(lián)系，為此我們有必要進(jìn)行專門的討論。我們已經(jīng)得到夫瑯和費(fèi)衍射公式是如果令，并根據(jù)傅立葉變換的定義，則所以觀察屏上的光強(qiáng)分布可以看出，觀察屏

5、上的衍射花樣形狀主要由決定。下面利用分析幾種典型的夫瑯和費(fèi)衍射。一、 矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射設(shè)矩孔的邊長分別為Lx，Ly，在單位振幅的平行光垂直照明的情況下，衍射屏后表面的復(fù)振幅與屏的透過率函數(shù)是相等的，即而所以觀察屏上的復(fù)振幅為觀察屏上的光強(qiáng)分布為二、 圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射對(duì)于圓孔，采用極坐標(biāo)系。單位振幅的平行光垂直照明的情況下觀察屏處的復(fù)振幅分布其圖形如下觀察屏處的強(qiáng)度分布其圖形如下可以看出，中央有一強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其它條紋的亮斑（這一亮斑叫愛里斑），中央亮斑的半徑，而D就是光學(xué)儀器的相對(duì)孔徑，D越大，亮斑的半徑越小，也就是由于衍射產(chǎn)生的象模糊越小，光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)越高。三、 正弦型振幅光柵的夫瑯

6、和費(fèi)衍射l×l正方形正弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過率為方孔內(nèi)沿x1方向按正弦規(guī)律變化，對(duì)同一x1值，透過率不因y1變化而變化，光柵的空間頻率為f0，m是小于1的正數(shù)。正弦型振幅光柵的透過率示意如圖。則夫瑯和費(fèi)衍射的復(fù)振幅分布為而所以觀察面上的復(fù)振幅觀察面上的光強(qiáng)度分布圖形如下注意分析交叉項(xiàng)，使最大的點(diǎn)在，使最大的點(diǎn)在，兩者相距。由下圖可以看出，隨著，（蘭線）越來越小，所以可以忽略。 所以其圖形為可以看出近似后與近似前幾乎沒有差別。當(dāng)m不同時(shí)，兩側(cè)的尖峰幅度發(fā)生改變，m越大，兩側(cè)的峰越高。如下圖。m=0.5m=1當(dāng)f0改變時(shí)，側(cè)峰與中央主峰的距離發(fā)生改變。f0越大，距離越大，見圖。在x軸上

7、I(x,0)的分布和光強(qiáng)分布如下可以看出，正弦振幅型光柵的衍射只有三級(jí)衍射分量。作為分光元件，只有±1分量起作用。由于一級(jí)極大的位置在處，其相應(yīng)的色散。若是按照瑞利判據(jù)（一條譜線的極大值與另一條譜線的第一個(gè)極小值重合，兩條譜線恰好能分辨）能分辨的兩個(gè)波長差，則因?yàn)椋逯底V線的底半寬又應(yīng)滿足，所以，所以光柵的分辨本領(lǐng)，M是光柵的總條數(shù)。四、 正弦型位相光柵的夫瑯和費(fèi)衍射正弦型位相光柵的復(fù)振幅透過率函數(shù)為用單位振幅平面波照明，則所以忽略交叉項(xiàng)，得其圖形如下由于零級(jí)條紋色散為零，無分光作用，如果適當(dāng)選取m，使J0(m/2)=0，則零級(jí)條紋消失，零級(jí)條紋的能量轉(zhuǎn)移到其它有色散的條紋上，這樣

8、色散條紋就更明亮。§4-3 菲涅耳衍射1、 菲涅耳衍射公式的兩種形式（1） 卷積形式是點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)。（2） 傅立葉變換形式2、 傳遞函數(shù)我們對(duì)卷積形式的衍射公式兩邊取傅立葉變換，則而在P86已經(jīng)得到如果略去高次項(xiàng)，則所以這就是在頻域中的近似菲涅耳衍射近似公式。3、 匯聚球面波照明衍射屏坐標(biāo)系如圖所示，會(huì)聚球面波的中心(X,Y)在觀察屏上。會(huì)聚球面波照明衍射屏，復(fù)振幅透過率t(x1，y1)。在近軸近似下，在衍射屏前表面的復(fù)振幅為衍射屏后的復(fù)振幅可以寫為所以觀察屏上的復(fù)振幅為而以平面波照射透過率為t(x1，y1)的衍射屏，在觀察屏上的夫瑯和費(fèi)衍射的復(fù)振幅分布是可以看出，對(duì)于中心在觀察面上的

9、會(huì)聚球面波，其菲涅耳衍射花樣與平面波垂直照射的夫瑯和費(fèi)衍射花樣是一樣的，只不過中心偏移到球面波中心。如果會(huì)聚球面波的中心在觀察屏的原點(diǎn)處，則與夫瑯和費(fèi)衍射完全一樣。對(duì)其它形式的照明，數(shù)學(xué)上計(jì)算將十分復(fù)雜。實(shí)際中往往用菲涅耳波帶法或考紐曲線法解決菲涅耳衍射問題。本章習(xí)題解答（P119）2.單位平面波垂直照射雙矩孔解：上孔中心（0，/2），下孔中心（0，-/2）；所以雙孔的透過率函數(shù)為根據(jù)夫瑯和費(fèi)衍射公式所以其光強(qiáng)分布圖為在x軸和y軸上的光強(qiáng)分布為 3.單位振幅平面波照射正方形環(huán)孔解：透過率函數(shù)根據(jù)夫瑯和費(fèi)衍射公式所以其光強(qiáng)空間分布為7.解：（1）根據(jù)所以所以，?？梢钥闯?，隨著z的變化，圓孔菲涅耳衍射圖樣中心有亮暗變化。（2）. 所以 ?？梢钥闯?，隨著z的變化，菲涅耳衍射圖樣中心也有亮暗變化。8.解：單位振幅平面波垂直入射，則觀察面上菲涅耳衍射的復(fù)振幅為所以當(dāng)為實(shí)數(shù)，即，（n=1,2,3）時(shí)，位