第十章級數(shù)-ppt課件

1、一、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)一、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)(1)(1)當周期為當周期為 2的奇函數(shù)的奇函數(shù))(xf展開成傅里葉級數(shù)展開成傅里葉級數(shù)時時, ,它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann定理定理 一般說來一般說來,一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正弦項弦項,又含有余弦項又含有余弦項.但是但是,也有一些函數(shù)的傅里葉也有一些函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項.(2)(2)當周期為當周期為 2的偶函數(shù)的偶函數(shù))(xf展開成傅里葉級

2、展開成傅里葉級數(shù)時數(shù)時, ,它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann證明證明,)()1(是奇函數(shù)是奇函數(shù)設(shè)設(shè)xf nxdxxfancos)(10 ), 3 , 2 , 1 , 0( n奇函數(shù)奇函數(shù) 0sin)(2nxdxxf), 3 , 2 , 1( n同理可證同理可證(2)定義定義 如果如果)(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù), ,傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)nxbnnsin1 稱為稱為正弦級數(shù)正弦級數(shù). .如果如果)(xf為偶函數(shù)為偶函數(shù), , 傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)nxaanncos210 稱為稱為余弦級數(shù)余弦級數(shù). . nxdxxfbns

3、in)(1偶函數(shù)偶函數(shù)定理證畢定理證畢.例例 1 1 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 2的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在), 上的表達式為上的表達式為xxf )(,將將)(xf展開成展開成傅氏級數(shù)傅氏級數(shù).解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,), 2, 1, 0()12(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點 kkx2)0()0( ff收收斂斂于于2)( , 0 ),()12(xfkxx處處收收斂斂于于在在連連續(xù)續(xù)點點 2 2 3 3xy0,2)()12(為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù)是以是以時時 xfkx和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象), 2 , 1 , 0(, 0 nan 0sin)(2nx

4、dxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n)3sin312sin21(sin2)( xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;( xx)5sin514sin413sin312sin21(sin2xxxxxy xy 觀觀察察兩兩函函數(shù)數(shù)圖圖形形例例 2 2 將將周周期期函函數(shù)數(shù)tEtusin)( 展展開開成成傅傅氏氏級級數(shù)數(shù), ,其其中中E是是正正常常數(shù)數(shù). .解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件, 在整個在整個數(shù)軸上連續(xù)數(shù)軸上連續(xù).,)( 為為偶偶函函數(shù)數(shù)tu, 0 nb 00)(

5、2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E), 2 , 1( n 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdttE 0)1sin()1sin(dttntnE 12, 02,1)2(42knknkE當當當當), 2 , 1( k 01)1cos(1)1cos(ntnntnE)1( n 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE, 0 )6cos3514cos1512cos3121(4)( tttEtu)( t.142cos21212 nnnxE二、函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)二、函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)非周期函數(shù)的周期性開拓非周期函數(shù)的周期性開拓

6、).(2, 0)(xFxf函數(shù)函數(shù)為周期的為周期的延拓成以延拓成以上上定義在定義在設(shè)設(shè) ,0)(0)()( xxgxxfxF令令),()2(xFxF 且且則有如下兩種情況則有如下兩種情況. 偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF則則xy0 的傅氏正弦級數(shù)的傅氏正弦級數(shù))(xf 1sin)(nnnxbxf)0( x偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxF則則的傅氏余弦級數(shù)的傅氏余弦級數(shù))(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 例例 3 3 將將函函數(shù)數(shù))0(1)( xxxf分分別別展展開開成成正正弦

7、弦級級數(shù)數(shù)和和余余弦弦級級數(shù)數(shù). .解解 (1)(1)求正弦級數(shù)求正弦級數(shù). .,)(進行奇延拓進行奇延拓對對xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn當當當當3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(2xxxxxy 1 xy(2)(2)求余弦級數(shù)求余弦級數(shù). .,)(進進行行偶偶延延拓拓對對xf 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn , 5 , 3 ,

8、 14, 6 , 4 , 202nnn當當當當5cos513cos31(cos412122 xxxx)0( x1 xy)7cos715cos513cos31(cos412222xxxxy 三、小結(jié)三、小結(jié)1、基本內(nèi)容、基本內(nèi)容:奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù);正弦級數(shù)與余正弦級數(shù)與余弦級數(shù)弦級數(shù);非周期函數(shù)的周期性延拓非周期函數(shù)的周期性延拓;2、需澄清的幾個問題、需澄清的幾個問題.(誤認為以下三情況正確誤認為以下三情況正確)a.只有周期函數(shù)才能展成傅氏級數(shù)只有周期函數(shù)才能展成傅氏級數(shù);2, 0.的的傅傅氏氏級級數(shù)數(shù)唯唯一一展展成成周周期期為為上上在在 b).(,.xfc級數(shù)處

9、處收斂于級數(shù)處處收斂于值點時值點時上連續(xù)且只有有限個極上連續(xù)且只有有限個極在在 思考題思考題.,)()(,)(定定義義的的函函數(shù)數(shù)上上成成為為才才能能使使應(yīng)應(yīng)如如何何選選擇擇上上定定義義的的函函數(shù)數(shù)是是在在設(shè)設(shè) BAtftFBAbaxf思考題解答思考題解答,)(bBAaBA 應(yīng)應(yīng)使使.2,2abBabA 即即一、一、 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 2的周期函數(shù)的周期函數(shù), ,它在它在), 上的表上的表達式為達式為 xxxxxf2,222,2,2)(. .二、二、 將函數(shù)將函數(shù))0(2)(2 xxxf分別展開成正弦級數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)和余弦級數(shù) . .練習題練習題三、三、 將以將以 2為周期的函數(shù)為周期的函數(shù)2)(xxf 在在),( 內(nèi)展開成內(nèi)展開成傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù), ,并求級數(shù)并求級數(shù) 01121)1(nnn的和的和 . .四、四、 證明證明: :當當 x0時時, , 1222624cosnxxnnx. .一、一、nxnnnxfn