第十章1二元函數(shù)的極限ppt課件

1、 多元微積分的概念、理論、方法是一元微多元微積分的概念、理論、方法是一元微積分中相應(yīng)概念、理論、方法的推廣和發(fā)展，積分中相應(yīng)概念、理論、方法的推廣和發(fā)展，它們既有相似之處概念及處理問(wèn)題的思想方它們既有相似之處概念及處理問(wèn)題的思想方法又有許多本質(zhì)的不同，要善于進(jìn)行比較，法又有許多本質(zhì)的不同，要善于進(jìn)行比較，既要認(rèn)識(shí)到它們的共同點(diǎn)和相互聯(lián)系，更要注既要認(rèn)識(shí)到它們的共同點(diǎn)和相互聯(lián)系，更要注意它們的區(qū)別，研究新情況和新問(wèn)題，深刻理意它們的區(qū)別，研究新情況和新問(wèn)題，深刻理解，融會(huì)貫通。解，融會(huì)貫通。 多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分 在上冊(cè)中，我們討論的是一元函數(shù)微積分，但實(shí)際問(wèn)題中常會(huì)遇到依賴于兩個(gè)以上自

2、變量的函數(shù)多元函數(shù)，從而提出了多元微積分問(wèn)題。 重點(diǎn)重點(diǎn) 多元函數(shù)基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，多元函數(shù)基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)，偏導(dǎo)數(shù)的幾何復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)，偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，多元函數(shù)極值。應(yīng)用，多元函數(shù)極值。難點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，多元函數(shù)極值。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，多元函數(shù)極值。 函數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到函數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到 二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但 從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類推，從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類推，因此這里基本上只討論二元函數(shù)。因此這里基本上只討論二元函數(shù)。 函數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到函

3、數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到 二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但 從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類推，從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類推，因此這里基本上只討論二元函數(shù)。因此這里基本上只討論二元函數(shù)。第四篇第四篇 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法了解多元函數(shù)基本概念，會(huì)表示定義域，了解多元函數(shù)基本概念，會(huì)表示定義域，會(huì)求二重極限、連續(xù)會(huì)求二重極限、連續(xù)深刻理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，能熟練求出一深刻理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，能熟練求出一階和高階偏導(dǎo)數(shù)階和高階偏導(dǎo)數(shù)掌握全微分概念掌握全微分概念會(huì)求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，掌握隱函數(shù)的求會(huì)求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法導(dǎo)方法會(huì)求曲線的切

4、線、法平面，曲面的切平會(huì)求曲線的切線、法平面，曲面的切平面和法線面和法線會(huì)求多元函數(shù)極值會(huì)求多元函數(shù)極值基本要求基本要求（1二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義 設(shè)設(shè)D是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)DyxP ),(，變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. . 一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念第一節(jié)第一節(jié) 二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限第十章第十章 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元

5、及三元以上函數(shù)當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多多 元元 函函 數(shù)數(shù) 中中 同同 樣樣 有有 定定 義義 域域 、 值值 域域 、 自自 變變 量量 、因因 變變 量量 等等 概概 念念 .例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD （2） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，對(duì)于任意，對(duì)于任意取定的取定的DyxP ),(，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為),

6、(yxfz ，這樣，以，這樣，以x為橫坐標(biāo)、為橫坐標(biāo)、y為縱坐為縱坐標(biāo)、標(biāo)、z為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)),(zyxM，當(dāng)當(dāng)x取遍取遍D上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這個(gè)點(diǎn)集稱，這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形為二元函數(shù)的圖形.（如右圖）（如右圖）二元函數(shù)的圖形通二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面常是一張曲面.（1鄰域鄰域 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)， 是某是某一正數(shù)，與點(diǎn)一正數(shù)，與點(diǎn)),(000yxP距離小于距離小于 的點(diǎn)的點(diǎn)),(yxP的全體，稱為點(diǎn)的全體，稱為點(diǎn)0P的的 鄰域

7、，記為鄰域，記為),(0 PU， ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P二、二元函數(shù)的極限二、二元函數(shù)的極限定 義定 義 1 1 設(shè) 函 數(shù)設(shè) 函 數(shù)),(yxfz 的 定 義 域 為的 定 義 域 為),(,000yxPD是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)正數(shù) ，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) ，使得對(duì)于適合不等式，使得對(duì)于適合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切點(diǎn)，都有點(diǎn)，都有 |),(|Ayxf成立，則稱成立，則稱 A A 為函數(shù)為函數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)0 xx ，0yy 時(shí)的極限，時(shí)的極限，記為記為 A

8、yxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）.（1定義中定義中 的方式可能是多種多樣的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從四面八方以可能有所謂極限存在是指當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點(diǎn)時(shí)，函數(shù)都趨的任何方式和任何路徑趨于定點(diǎn)時(shí)，函數(shù)都趨于同一常數(shù)。于同一常數(shù)。這是產(chǎn)生本質(zhì)差異的根本原這是產(chǎn)生本質(zhì)差異的根本原因。因。0PP （2二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)

9、類似二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號(hào)性、夾逼準(zhǔn)則、無(wú)窮小、如局部有界性、局部保號(hào)性、夾逼準(zhǔn)則、無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小代換等，建議自行復(fù)習(xí)，寫(xiě)出有關(guān)結(jié)論等價(jià)無(wú)窮小代換等，建議自行復(fù)習(xí)，寫(xiě)出有關(guān)結(jié)論以鞏固和加深理解。以鞏固和加深理解。說(shuō)明：說(shuō)明：例例3 3 求極求極限限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limyxu2 uuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyx例例4

10、 4 證明證明 不存不存在在 26300limyxyxyx 證證取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxP，若若極極限限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找找兩兩種種不不同同趨趨近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但兩兩者者不不相相等等，此此時(shí)時(shí)也也可可斷斷言言),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)),(000yxP處處極極限

11、限不不存存在在 定義定義 2 2 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, PD是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ，總 存 在 正 數(shù)總 存 在 正 數(shù) ， 使 得 對(duì) 于 適 合 不 等 式， 使 得 對(duì) 于 適 合 不 等 式 |00PP的 一 切 點(diǎn)的 一 切 點(diǎn)DP ， 都 有， 都 有 |)(|APf成立，則稱成立，則稱 A A 為為n元函數(shù)元函數(shù))(Pf當(dāng)當(dāng)0PP 時(shí)的極限，記為時(shí)的極限，記為 APfPP )(lim0. .n元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限利用點(diǎn)函數(shù)的形式有利用點(diǎn)函數(shù)的形式有 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義

12、域?yàn)辄c(diǎn)集0, PD是其聚點(diǎn)且是其聚點(diǎn)且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù))(Pf在點(diǎn)在點(diǎn)0P處連續(xù)處連續(xù). . 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)，如如果果)(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn).例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性解解取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 , 0 ,2 當(dāng)當(dāng)

13、 時(shí)時(shí) 220yx 2)0 , 0(),(fyxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1最大值和最小值定理最大值和最小值定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連

14、續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次（2介值定理介值定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是

15、連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處處連連續(xù)續(xù)，于于是是點(diǎn)點(diǎn)在在的的定定義義域域的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，則則是是數(shù)數(shù)，且且是是初初等等函函時(shí)時(shí)，如如果果一一般般地地，求求多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念（注意趨近方式的任意性）（注意趨近方式的任意性）多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié) 若點(diǎn)若點(diǎn)),(yx沿著無(wú)數(shù)多條平面曲線趨向于沿著無(wú)數(shù)多

16、條平面曲線趨向于點(diǎn)點(diǎn)),(00yx時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)),(yxf都趨向于都趨向于 A，能否，能否斷定斷定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考題思考題不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因?yàn)槿羧≡驗(yàn)槿羧?2yx 244262)(),(yyyyyyf .41思考題解答思考題解答練練 習(xí)習(xí) 題題一一、 填填空空題題: : 1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,則則),(tytxf= =_ _ _

17、_ _. . 2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,則則 )3, 2(f_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; ), 1(xyf_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,則則 )(xf_ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、 若若22),(yxxyyxf , ,則則 ),(yxf_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .函函數(shù)數(shù))1ln(4222yxyxz 的的定定義義域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、函數(shù)、函數(shù)yxz 的定義域是的定義域是_. . 7 7、函數(shù)、函數(shù)xyzarcsin 的定義域是的定義域是_. . 8 8、函數(shù)、函數(shù)xyxyz2222 的間斷點(diǎn)是的間斷點(diǎn)是_. .二二、 求求下下列列各各極極限限: :1 1、 xyxyy