變化率與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、專題 018：變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（學(xué)生學(xué)案）（生）考點要求：1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程2考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計算，尤其是簡單的函數(shù)求導(dǎo)3本講復(fù)習(xí)時，應(yīng)充分利用具體實際情景，理解導(dǎo)數(shù)的意義及幾何意義，應(yīng)能靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行某些函數(shù)求導(dǎo) .知識結(jié)構(gòu)：1函數(shù) y f(x)從 x1 到 x2 的平均變化率函數(shù) y f(x)從 x1到 x2的平均變化率為 f x2 f x1.x2 x1若 x x2 x1， y f(x2) f(x1)，則平均變化率可表示為2 函數(shù) y f(x)在 xx0 處的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)的概念：從函數(shù) y=f(x)在 x=x0 處的瞬時變化率是:y.x

2、limf (x0x)f (x0 )limfx0xx 0xf (x0 ) 或 y |x x ，即我們稱它為函數(shù)yf (x) 在 xx0 出的導(dǎo)數(shù)，記作0f ( x0 ) limf (x0x)f ( x0 )0xx說明：（ 1）導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在 x=x0 處的瞬時變化率（ 2） xxx0 ，當(dāng) x0 時， xx0 ，所以 f ( x0 ) limf (x)f ( x0 )xx0x 0(2)幾何意義函數(shù) f(x)在點 x0 處的導(dǎo)數(shù) f (x0)的幾何意義是在曲線y f(x)上點 (x0，f(x0 )處切線的斜率相應(yīng)地，切線方程為y f(x0) f (x0)( x x0)3 函數(shù) f(x)

3、的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù) f ( x ) lim0f (xx) f ( x) 為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有時也記作 y .xx4 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式若 f(x) c，則 f (x) 0；若 f(x) x( R )，則 f(x)x 1；若 f(x) sin x，則 f (x) cos x；若 f(x) cos x，則 f (x) sin x；若 f(x) ax(a0，且 a 1)，則 f (x) axln_ a；若 f(x) ex，則 f (x) ex；若 f(x) log ax(a0，且 a 1)，則 f (x) 1 ； xln a1若 f(x) ln x，則 f (x) x.5 導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則

4、(1) f(x) g(x) f( x) g (x)；(2) f(x) g(x) f (x)g(x) f(x)g (x)；f xf x g x f x g x(g(x) 0)(3) g x g x 2*6 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù) y f(g( x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y f(u)， ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 yx yu ux.7.一個區(qū)別0， y0曲線 y f(x)“ 在 ”點 P(x0， y0)處的切線與 “ 過 ”點 P(x) 的切線的區(qū)別：曲線 y f(x)在點 P(x0，y0)處的切線是指 P 為切點，若切線斜率存在時，切線斜率為0k f (x )，是唯一的一條切線；曲線 y f(x)過點

5、 P(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過P 點，點 P 可以是切點， 也可以不是切點， 而且這樣的直線可能有多條8/兩種法則(1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則*(2) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則9.三個防范1利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆2要正確理解直線與曲線相切和直線與曲線只有一個交點的區(qū)別*3 正確分解復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，做到不重不漏基礎(chǔ)自測：1下列求導(dǎo)過程中 1 12； (x) 1； (logax) ln x1； (ax) (eln ax) (exln a) exln aln a axln axx2xln axln a其中正確的個數(shù)是 ()A1 B2 C3 D

6、 42函數(shù) f(x) (x 2a)(x a)2 的導(dǎo)數(shù)為 ()A 2(x2 a2 )B 2(x2 a2)C 3(x2 a2)D 3(x2 a2)3 (2011 湖南 )曲線 ysin x處的切線的斜率為 ()1在點 M ，0sin xcos x241122A 2 B.2C 2 D. 24 (2011 江西 )若 f(x) x2 2x 4ln x，則 f (x) 0 的解集為 () A (0， )B ( 1,0) (2， )C (2， )D ( 1,0)5如圖，函數(shù) f(x)的圖象是折線段ABC，其中 A， B， C 的坐標(biāo)分別為 (0,4)， (2,0)， (6,4) ，則 f(f(0) _；

7、limf 1 x f 1 _(用數(shù)字作答 )x 0x6已知 f ( x)x3x 2 f (1), 則 f ( 2)。7若曲線 yx4 的一條切線 l 與直線 x4 y 8 0 垂直，則 l 的方程為 _。例題選講：例 1：利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x) x3 在 x x0 處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線f(x) x3 在 x x0 處切線與曲線f(x) x3 的交點例 2：求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：x x5 sin xx2x； (4)y11；(1)yx2； (2) y (x 1)(x 2)(x 3)； (3)y sin2 1 2cos41 x1 x* 例 3：求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）(1)y (2x

8、 3)5； (2)yln(2 x 5)例 4.已知曲線y=1x34.33（ 1）求曲線在x=2 處的切線方程；（ 2）求曲線過點（2，4）的切線方程.例 5 如果曲線yx3x10 的某一切線與直線y4x3 平行，求切點坐標(biāo)與切線方程鞏固作業(yè)：A 組：一、選擇題：1函數(shù) y(2x21)2 的導(dǎo)數(shù)是（）( A) 16x34x2 (B) 4x38x (C ) 16x38x (D ) 16x34x2已知函數(shù)f ( x)在x1處的導(dǎo)數(shù)為 3, 則f ( x) 的解析式可（）( A) f (x)( x 1)23( x1) (B)f ( x)2(x1)(C ) f (x)y2(x1) 2(D )f (x)x

9、1(2,4)3 曲線4xx2上兩點A(4, 0),B點 P 處的切線恰好平行于 弦 AB ，則點P 的坐標(biāo)為， 若曲線上一（）( A) (1,3) (B) (3,3) (C) (6,12) (D) (2,4)4若函數(shù) f (x)x2bxc 的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)f ( x) 的圖象是（）yyyyOxOxOxOx( A)( B)(C )( D )二、填空題：5已知曲線 yf (x) 在 x2 處的切線的傾斜角為3，則 f ( 2)_， f ( 2)_46已知 y1sin x, x(,) , 則當(dāng) y 2 時, x_ 。cos x7一物體做直線運(yùn)動的方程為s1tt 2 ， s的單位是 m,

10、 t 的單位是 s ，該物體在3 秒末的瞬時速度是 _。8設(shè) f (x) 是可導(dǎo)函數(shù)，且limf ( x02 x)f ( x0 )x2,則 f ( x0 ) 。x 09在函數(shù) yx38x的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標(biāo)為整數(shù)的點的個數(shù)是。410設(shè) f （ x）在 x=1 處連續(xù)，且 f （ 1） =0, limf ( x) =2, 則 f (1)_ 。x 1x1三、解答題： 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：nxcosxxx； (4) y (2（ 5） y=tanx(1)yxe； (2) y；(3) y e lnx1) ( x 1)11sinx12 （ 1）設(shè)函數(shù) f (x)(3x2x1)(2x3) ，求 f (x), f (1) ；（ 2）設(shè)函數(shù) f ( x)x32x2x5 ，若 f(x )0 ，求 x的值13 已知曲線方程為yx2，求曲線在點A (2,4) 處的切線方程。14 已知曲線方程為yx2，求過 B (3,5) 點且與曲線相切的直線方程。15偶函數(shù) f （ x）=ax4+bx3+cx2 +dx+e 的圖象過點P（ 0，1），且在 x=1 處的切線方程為y=x-2 ，求 y=f （ x）的解析式16 求函數(shù)yx4x2 圖象上的點到直線yx4的距離的最小值及相應(yīng)點的坐標(biāo).17已知直線l1 為曲線 yx 2x2 在點 (0,2) 處的切