曲面及其方程1

1、第三節(jié) 曲面及其方程教學目的掌握曲面方程、旋轉曲面、柱面、二次曲面方程概念，了解空間常用二次曲面的標準方程，會用“截痕法”畫出其簡圖教學重點曲面方程、旋轉曲面、柱面、二次曲面方程教學難點空間想象能力和曲面圖形的描繪教學過程一、問題的提出 在日常生活中，我們經常遇到各種曲面，例如反光鏡的鏡面、管道的外表面以及錐面等等。那這些曲面相應的方程是什么呢，怎樣才能準確地畫出準確的圖形呢？二、曲面方程的概念（一）曲面方程的基本概念在一般情況下，如果曲面與三元方程 （1）有下述關系：（1） 曲面上任一點的坐標都滿足方程（1）；（2） 不在曲面上的點的坐標都不滿足方程（1）那么方程（1）就叫做曲面的方程，而曲

2、面就叫做方程（1）的圖形。象在平面解析幾何中把平面曲線當作動點軌跡一樣，在空間解析幾何中，我們常把曲面看作一個動點按照某個規(guī)律運動而成的軌跡。（二）建立幾個常見的曲面方程例1 若球心在點，半徑為，求該球面方程。解：設是球面上任一點，那么又 故 （2）這就是球面上的點的坐標所滿足的方程，而不在球面上的點的坐標都不滿足該方程，所以該方程就是以為球心，為半徑的球面方程。如果球心在原點，那么，從而球面方程為將（2）式展開得所以，球面方程具有下列兩個特點：（1） 它是之間的二次方程，且方程中缺項；（2） 的系數(shù)相同且不為零。（三）曲面研究的兩個基本問題以上表明作為點的幾何軌跡的曲面可以用它的點的坐標間的

3、方程來表示，反之，變量間的方程通常表示一個曲面。因此在空間解析幾何中關于曲面的研究，有下面兩個基本問題。（1） 已知一曲面作為點的幾何軌跡時，建立曲面方程。（2） 已知坐標間的一個方程時，研究這方程所表示的曲面形狀。例2 方程表示怎樣的曲面？解：配方，得所以所給方程為球面，球心為，半徑為。三、旋轉曲面（一）旋轉曲面的定義一條平面曲線繞該平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面。旋轉曲線和定直線依次叫做旋轉曲面的母線和軸。（二）旋轉曲面的方程設在坐標面上有一條已知曲線，它的方程為，曲線繞軸旋轉一周，得到一個以軸為軸的旋轉曲面設為曲線上一點，則有 （3）當曲線繞軸旋轉時，點隨繞到另一點，這時，且點到軸

4、的距離為 將，代入（3）式，便得到 （4）這就是所求的旋轉曲面的方程。由此可知，在曲線的方程中將改成便得曲線繞軸旋轉所成的旋轉曲面的方程。同理，曲線繞軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為 （5） 例3 直線繞另一條與相交的直線旋轉一周，所得旋轉曲面叫做圓錐面。兩直線的交點叫做圓錐面的頂點，兩直線的夾角（）叫做圓錐面的半頂角。試建立頂點在原點，旋轉軸為軸，半頂角為的圓錐面的方程（圖6-24）。解：在坐標面上直線的方程為，因為旋轉軸為軸，所以只要將方程中的改成，便得到這圓錐面的方程或 其中。例4 將坐標面上的雙曲線分別繞軸和軸旋轉一周，求所生成的旋轉曲面的方程。解：繞軸旋轉所生成的旋轉曲面叫做旋轉單葉雙曲

5、面，它的方程為繞軸旋轉所生成的旋轉曲面叫做旋轉雙葉雙曲面，它的方程為四、柱面（一） 柱面的定義設直線平行于某定直線并沿定曲線移動形成的軌跡。定曲線叫做柱面的準線，直線叫做柱面的母線。我們只討論準線在坐標面上，而母線垂直于該坐標面的柱面。這種柱面方程有什么特點呢？ （二）柱面的分類一般地，如果方程中缺，即，它表示準線在坐標面上，母線平行于軸的柱面。方程分別表示母線平行于軸和軸的柱面方程。例如，方程，方程中缺，所以它表示母線平行于軸的柱面，它的準線是面上的拋物線，該柱面叫做拋物柱面例如，方程表示母線平行于軸的柱面，其準線是面上的直線，所以它是過軸的平面五、二次曲面（一）定義我們把三元二次方程所表示

6、的曲面稱為二次曲面。（二）舉例（1） 橢圓錐面 截痕法：通過綜合截痕的變化來了解曲面形狀的方法。以垂直于軸的平面截此曲面，當時得一點；當時，得平面上的橢圓當變化時，上式表示一族長短軸比例不變的橢圓，當從大到小變?yōu)?時，這族曲線從大到小并縮為一點。伸縮變形的方法：把空間圖形伸縮變形形成新的曲面。曲面沿軸方向伸縮倍，曲面的點變?yōu)辄c，其中，因為點在曲面上，所以有，故。O例如將圓錐面的圖形沿軸方向伸縮倍，則圓錐面即變成橢圓錐面。（2） 橢球面 把面上的橢圓繞軸旋轉，所得的曲面方程為，該曲面稱為旋轉橢球面。再把旋轉橢球面沿軸方向伸縮便得橢球面。（3）雙曲面 單葉雙曲面 雙葉雙曲面 把面上的雙曲線繞軸旋轉，得旋轉單葉雙曲面，把此旋轉曲面沿軸方向伸縮倍，即得單葉雙曲面，類似的方法可得雙葉雙曲面。 （4）拋物面 橢圓拋物面 雙曲拋物面（馬鞍面）把面上的的拋物線繞軸旋轉，得旋轉拋物面，把此旋轉曲面沿軸方向伸縮，即得橢圓拋物面。我們用截痕法來討論雙曲拋物面的形狀。用平面截此曲面，得截痕為平面上的拋物線此拋物線開口向下，其頂點坐標為。當變化時，的形狀不變，只是