數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題(171)_圖文

1、 年第 期 設(shè) 則 點(diǎn) 記為 , 再把 : 三 點(diǎn) 放 回 原位 置 尸 仍 為 優(yōu)點(diǎn) 下 面證 明 點(diǎn) “ “ 因?yàn)?, 為紅點(diǎn) 所以 點(diǎn) , 必在弧冗 上任 一 從而 普 “ , 外 因 此 從點(diǎn) ' 出 發(fā)到 弧 位 到 置 紅 點(diǎn) 個(gè) 數(shù) 與 黃 點(diǎn) 個(gè) 數(shù) 之差 至 少 大 于 , 丨 , 點(diǎn) ; 八 時(shí) 至少大 于 從而 當(dāng) , 故 “ 仍 為優(yōu) 點(diǎn) 時(shí) 命 題成 立 個(gè) 點(diǎn) 中 若 黃 點(diǎn) 個(gè)數(shù) , 若“ 一 ° 另 一 方面 在 , 為 , 將 圓周 分成 一 段 將 , 個(gè) 紅色 , 點(diǎn) 放人 每 段 弧 中 每 段弧 中 至 多 兩 個(gè) 點(diǎn) 則 綜 , ,

2、 每 個(gè) 紅 點(diǎn) 均 不 可 能 為優(yōu) 點(diǎn) , 因 此 圓 周 上 黃 點(diǎn) 個(gè)數(shù) 的 最 大 值 為 又 , 則 圓 周 上 黃 點(diǎn)個(gè) 數(shù) 的 最 大值 為 四 在式 、 中 令 三 、 優(yōu)點(diǎn) 一 定為 紅 點(diǎn) 則 首 先 考 慮 簡 單情 形 當(dāng) 圓周上 分別有 、 令 、 、 、 、 、 個(gè)點(diǎn) 此 得 , 町 因此 , : 時(shí) 若 圓 周 上 至 少有 一 個(gè)優(yōu)點(diǎn) 則 圓 周 上 黃 點(diǎn) , 為 彳 禹函數(shù) 個(gè) 數(shù) 最 大值 分 別 為 到 一 、 、 、 、 、 、 由 設(shè) “ 般性 結(jié) 論 : 其中 個(gè) 點(diǎn) 將其 任 意 染成 紅 , , 盧 圓 周 上有 知 、 令 , , 則 黃

3、兩 色 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 黃點(diǎn) 個(gè) 數(shù) 不 大 于 時(shí) 才能 保 證 圓 周 上至 少 有 一 個(gè)優(yōu) 點(diǎn) 存 在 如 個(gè)黃 點(diǎn) , 接 下來 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法給 出 證 明 當(dāng) 三 個(gè)紅 點(diǎn) , 時(shí) 圓 周 上有 四 個(gè) 點(diǎn) , “ 廣 、 , 在 三 個(gè) 相 連 的 紅 點(diǎn) 中 取居 中 的 所 以 該 多 項(xiàng)式 的 系 數(shù) 均 為 那 個(gè) 易 知 其 為 優(yōu)點(diǎn) 故 , 時(shí) 命 題成 立 但當(dāng) 為 時(shí) , 假 設(shè)當(dāng) 灰 ' 時(shí) 命題 成立 即 圓 周 上 有 , 互 廣 為 ' 個(gè) 點(diǎn) 分別 染 成紅 黃兩 色 為確 保 圓 、 , 一 周 上 至少 有 當(dāng) 個(gè) 優(yōu) 點(diǎn)

4、則 黃 點(diǎn) 個(gè)數(shù) 不 超過 , 時(shí) 在 , , 個(gè)黃 點(diǎn) 中 任 取 一 個(gè) 記為 , , 在 、 兩旁 分 別 取 與 最近的 紅 , 放 “ 點(diǎn) 分 別 記為 將 此三 點(diǎn) 從 圓 周 上 拿走 個(gè) 點(diǎn) 且 滿足 , 所以 因此 , 則 在 圓周 上 只 剩 下 , 供 、 時(shí) 命題成 立 的 條 件 由 歸 納 假設(shè) 知 圓 周 上 至 少 存 在 一 故 個(gè)優(yōu) 中 等 數(shù) 學(xué) 數(shù) 學(xué) 奧 林 匹 克 問 題 時(shí) 開著 或 關(guān) 著 ( ; , 則 其下 一 層 對應(yīng)的 那扇 窗 開 : 關(guān)著 辦層娜 初 為線段 上 織 關(guān) 則 其下 , 一 在菱形 一 中 。 , : 層 對 應(yīng) 的 那

5、 扇 窗開 著 證 明 第 層唯 一 的 點(diǎn) 延長 , 與 與 的延長 線 那扇 窗 必開 著 上 期 問 題 解 答 交于點(diǎn) 聯(lián)結(jié) , 延長 交于點(diǎn) 的 若 面積 沉 試用 表 示 四 邊形 高挪 設(shè) : , , 滿足 、 證明 初 , 如 圖 、 與 內(nèi) 切于 點(diǎn) 在 點(diǎn) 上 , 力 直線 證明 : ; ; 分 別 與 切于 點(diǎn) 、 , 注意到 , 口 直線 于點(diǎn) 與 翻 : 交 ; 咖 , 平分 高 “ 乂 設(shè) , , 證明 : : 丨 : “ 高 扇窗 ( 幢 建筑 物 有 , 層 第 混有 , 又 , 則 ( 頂層有 扇 窗 開 著 遠(yuǎn) 處 望 去 所有 的 窗 戶 成倒 立 的 楊 輝 三角形 , 士 “ 士 ! 七 更 特別 的 是 若 同 層相 鄰 的 兩 扇 窗 同 , 故 原 不等 式 其中 “ , ”