數(shù)學選修2-3北師大版1.4 簡單的計數(shù)問題 知能優(yōu)化訓練

1、1(2010年高考北京卷)8名學生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為()AAABACCAA DAC解析：選A.本題采用插空法.8名學生的排列方法有A種，隔開了9個空位，在9個空位中排列2位老師，方法數(shù)為A，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總的排法種數(shù)是AA.1233122312.將1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都沒有重復數(shù)字，如圖是一種填法，則不同的填寫方法共有()A6種 B12種C24種 D48種答案：B3有6個座位連成一排，安排3個人就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法共有的種數(shù)為()AAA BCACCA DAA解析：選A.三個人占去3個位置共有A種，將3個余下空

2、位分為2,1兩組插在3個人相應(yīng)的四個空位置上共有A種，故共有AA種4將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有_種(用數(shù)字作答)解析：選出兩人看成整體，再全排列，有CA36種方案答案：36一、選擇題1某人射擊8槍命中4槍，這4槍恰有3槍連中的不同種數(shù)有()A720 B480C224 D20解析：選D.把連中三槍看作一個元素(捆綁)，另一中的槍看作一個元素，這兩個元素在其余4個元素組成的5個空中插空共有CA20種2某城市的汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數(shù)字組成，其中4個數(shù)字互不相同的牌照號碼共有()A(C)2A個 BAA個C(C)2104個 DA104個解析：選

3、A.英文字母可以相同，故有(C)2種選法，而數(shù)字有09共10個，不允許重復，故有A種排法，由分步乘法計數(shù)原理，滿足要求的牌照號碼共有(C)2A種，故選A.33名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學校為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士，不同的分配方法共有()A90種 B180種C270種 D540種解析：選D.先考慮把6名護士分成三組，分配到學校去，即先從6人中選2人到甲學校有C種方法，再從余下4人中選2人到乙學校有C種方法，剩下2人到丙學校，有C方法，由分步乘法計數(shù)原理，6名護士分配到3所學校有C·C·C種方法，分好護士后，第二步，把3名醫(yī)生分到各校，每校1人，有A種方法，根據(jù)

4、分步乘法計數(shù)原理，不同的分配方法有C·C·C·A540種故選D.4.如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有()A20個 B30個C40個 D50個解析：選C.滿足條件的有兩類：第一類，與正八邊形有兩條公共邊的三角形有m18個；第二類，與正八邊形有一條公共邊的三角形有m28×432個，所以滿足條件的三角形共有8324個5(2010年高考重慶卷)某單位擬安排6位員工在今年6月14日至16日(端午節(jié)假期)值班，每天安排2人，每人值班1天若6位員工中的甲不值14日，乙不值16日，則不同的安排方案共有()A30種 B36種C4

5、2種 D48種解析：選C.依據(jù)甲、乙二人是否同組，分兩類：第一類：甲、乙同組，則只能排在15日，有C6種排法第二類：甲、乙不同組，有CC(A1)36種排法。根據(jù)加法原理，共有63642種不同的安排方案6(2010年高考湖北卷)現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是()A152 B126C90 D54解析：選B.依題意得，這四項工作中必有一項工作有2人參與，就司機這項工作的實際參與人數(shù)進行分類：第一類，司機這項工作的實際參

6、與人數(shù)恰有1人，滿足題意的方法有C·C·C·C108種；第二類，司機這項工作的實際參與人數(shù)恰有2人，滿足題意的方法有C·A18種因此，滿足題意的方法有10818126種二、填空題7(2010年高考江西卷)將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴世博會的三個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有_種(用數(shù)字作答)解析：分配方案有·A90(種)答案：908甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析：當每個臺階上各站1人時有AC種站法，當兩個人站在同一個臺階上

7、時有CCC種站法，因此不同的站法有ACCCC210126336種答案：3369某校高二年級共有6個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級中且每班安排2名學生，則不同的安排方案種數(shù)為_解析：先對轉(zhuǎn)入的4名學生進行分組，注意平均分組的要求，再安排到不同的班級，進行排列計算分兩步完成，第一步：四個學生平均分成兩組有C種方法；第二步：對每一種分組方法有A種安排方式，則共有CA90種不同的安排方案答案：90三、解答題10將4個編號為1、2、3、4的小球放入4個編號為1、2、3、4的盒子中(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？(3)每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒

8、子的編號相同，有多少種放法？(4)把4個不同的小球換成20個相同的小球，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不少于它的編號數(shù)，有多少種放法？解：(1)每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個，將小球一個一個地放入盒子，共有4×4×4×444256種放法(2)為全排列問題，共有A24種方法(3)1個球的編號與盒子編號相同的選法有C種，當1個球與1個盒子的編號相同時，用局部列舉法可知其余3個球的投入方法有2種，故共有C·28(種)(4)(隔板法)先將編號為1、2、3、4的4個盒子分別放入0、1、2、3個球，再把剩下的14個球分成四組，即這14個球中間13個空當中放入三塊隔板，共

9、有C286種，如|即編號為1、2、3、4的盒子分別放入2、5、3、4個球11由數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成：(1)多少個六位偶數(shù)？(2)多少個能被3整除的五位數(shù)？(3)多少個能被5整除的六位數(shù)？解：(1)法一：(直接法)要組成六位偶數(shù)，個位必須是偶數(shù)，可分為兩類：個位為0，有A個；個位為2或4，共有C·C·A個. 由分類加法計數(shù)原理，共有AC·C·A312個法二：間接法(排除法)先從0,2,4中任選一個排個位，有C種；再讓剩下5個數(shù)進一步作全排列，有A種. 共有C·A個，其中個位仍為偶數(shù)，首位為0的應(yīng)排除掉，故共有C·AC

10、83;A312個(2)可被3整除的五位數(shù)的5個數(shù)之和必被3整除，因此，可先挑出這樣的五個數(shù)：1,2,3,4,5和0,1,2,4,5，然后再排成五位數(shù)，共有AC·C216個(3)可被5整除的六位數(shù)，個位數(shù)為0或5，可分為兩類來做：個位為0，有A個；個位為5，有C·A96個由分類加法計數(shù)原理，共有AC·A216個12如圖所示，某市(A)有四個鄰縣(B、C、D、E)，現(xiàn)備有5種顏色，問有多少種不同的涂色方式，使每相鄰兩塊不同色，且每塊只涂同一種顏色？解：法一：把問題分成三類：第一類，用5種顏色涂，共有A120種涂法；第二類，用4種顏色涂，選色的方法有C種，再選1種顏色涂A有C種方法，剩余的4塊涂3種顏色，有且僅有一組不相鄰區(qū)域涂同一種顏色，選1組不相鄰區(qū)域的方法有2種，在余下的三種顏色中選一種顏色涂這不相鄰區(qū)域有C種方法，最后剩下兩種顏色涂2個區(qū)域有A種，由分步乘法計數(shù)原理，共有C·C·2·C·A240種；第三類，用3種顏色涂，選色方法有C種，涂A時，有C種，涂B、D時有C種，涂C、E時只有一種，由分步乘法計數(shù)原理共有C·C·C60種由分類加法計數(shù)原理，共