數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題12

1、數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題12 第一試一、選擇題(每小題7分，共42分)1.某公路由上坡、平路、下坡三個(gè)等長的路段組成.已知一汽車在各路段上行駛的平均速度分別為v1、v2、v3.則這部汽車在整段路面上的平均速度為( ).(A) (B) (C) (D) 2.已知小王、小李兩家相距16 km，小王騎自行車從家出發(fā)以12 km/h作勻速直線運(yùn)動(dòng)，小李騎助力車同時(shí)從家出發(fā)以24 km/h作勻速直線運(yùn)動(dòng)，20 min后，小王到達(dá)M地，小李到達(dá)N地.記M、N兩地的距離為dkm.則d的取值為( ).(A)4 (B)20(C)4，12，20，28 (D)4，283.有20個(gè)同學(xué)排成一行，若從左往右隔1人報(bào)數(shù)，小李

2、報(bào)8號;若從右往左隔2人報(bào)數(shù)，小陳報(bào)6號.那么，從小陳開始向小李逐人報(bào)數(shù)，小李報(bào)的號數(shù)為( ).(A)11 (B)12 (C)13 (D)144.若M=(|a+b|-|a|+|b|)(|a+b|-|a|-|b|)，則M的取值范圍為( ).(A)全體正數(shù)(B)全體非正數(shù)(C)全體負(fù)數(shù)(D)全體非負(fù)數(shù)5.在凸四邊形ABCD中，若AB大于其余三邊，BC小于其余三邊，則BAD、BCD的關(guān)系為( ).(A)BAD<BCD(B)BAD=BCD(C)BAD>BCD(D)不能確定6.已知ABC的三邊長為8、12、18，又知A1B1C1也有一邊長為12，且與ABC相似而不全等.則這樣的A1B1C1個(gè)

3、數(shù)為( ).(A)0 (B)1 (C)2 (D)3二、填空題(每小題7分，共28分)1.一個(gè)自行車輪胎，若安裝在前輪，則行駛5 000 km后報(bào)廢;若安裝在后輪，則行駛3 000 km后報(bào)廢.如果行駛一定路程后交換前、后輪胎，使一對新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么，最多可行駛 km.2.聯(lián)結(jié)矩形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)E，過E作AB的垂線交AB于F;聯(lián)結(jié)DF交AC于E1，過E1作AB的垂線交AB于F1;聯(lián)結(jié)DF1交AC于E2，過E2作AB的垂線交AB于F2，如此類推.則AF2 006/AB= .3.= .4.如圖，已知ABC的兩條中線AD、BE交于點(diǎn)G，可得到8個(gè)圖形:ABD、ACD、BAE、BC

4、E、GAB、GAE、GBD，四邊形CEGD.現(xiàn)從中任取兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形面積相等的概率為 . 第二試一、(20分)已知拋物線y=x2與動(dòng)直線y= (2t- 1)x-c有公共點(diǎn)(x1，y1)、(x2，y2)，且x21+x22=t2+2t-3.(1)求t的取值范圍;(2)求c的最小值，并求出c取最小值時(shí)t的取值.二、(25分)在等邊ABC內(nèi)部任取一點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)PA、PB、PC.求證:必存在PA、PB、PC中的兩條線段，其長度m、n滿足1.三、(25分)將編號為1，2，18的18名乒乓球運(yùn)動(dòng)員分配在9張球臺上進(jìn)行單打比賽，規(guī)定每張球臺上兩選手編號之和均為大于4的平方數(shù).請問這一規(guī)定能否實(shí)現(xiàn)?若規(guī)定

5、不能實(shí)現(xiàn)，請給出證明;若規(guī)定能夠?qū)崿F(xiàn)，請說明實(shí)現(xiàn)方案是否唯一.數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題12參考答案第一試 一、1.D.解法1:設(shè)整段公路長為3s，則三個(gè)不同路段的長度均為s.這部汽車在各路段上行駛時(shí)間分別為ti=s/vi(i=1，2，3)，2.D.運(yùn)動(dòng)20 min，小王走了4 km，小李走了8 km，M地在“以小王家為圓心、半徑為4 km”的圓上，N地在“以小李家為圓心、半徑為8 km”的圓上，如圖2所示.兩圓的最近距離為16-4-8=4 km，兩圓的最遠(yuǎn)距離為16+4+8=28 km.一般情況下，d的取值為4d28.3.A.解法1:由題知，小李在這個(gè)隊(duì)列中排在“從左往右”的第2×7+

6、1=15位，小陳在這個(gè)隊(duì)列中排在“從右往左”的第3×5+1=16位，即“從左往右”的第20-16+1=5位.如圖.所以，從小陳開始向小李逐人報(bào)數(shù)，小李報(bào)的號數(shù)為15-5+1=11.解法2:由題知，小李在這個(gè)隊(duì)列中排在圖4“從左往右”的第2×8-1=15位，小陳在這個(gè)隊(duì)列中排在“從右往左”的第3×6-2=16位.如圖4.所以，從小陳開始向小李逐人報(bào)數(shù)，小李報(bào)的號數(shù)為(15+16)-20=11.4.B.解法1:M=(|a+b|-|a|+|b|)·(|a+b|-|a|-|b|)=(|a+b|-|a|)2-|b|2=(a+b)2-2|a(a+b)|+a2-b2=

7、a2+2ab+b2-2|a(a+b)|+a2-b2=2a(a+b)-2|a(a+b)|0.5.D.如圖，取一個(gè) ABCD，使CBD為等腰直角三角形，作CBD的外接圓O，以D為圓心、DC為半徑畫弧交AB延長線于E，聯(lián)結(jié)DE交O于C1，交BC于C2.在線段C1E內(nèi)取點(diǎn)C3，聯(lián)結(jié)BC1、BC3.則在四邊形ABCiD(i=1，2，3)中，AB大于其余三邊，BCi小于其余三邊，有BAD<BC2D，BAD=BC1D，BAD>BC3D.6.C.設(shè)AB=8，BC=12，AC=18.由兩三角形相似而不全等可設(shè)AB/A1B1=BC/B1C1=AC/A1C1=q1，即 8/A1B1=12/B1C1=18

8、/A1C1=q1.由B1C112知，只能A1B1= 12或A1C1=12.當(dāng)A1B1=12時(shí)，q=2/3，得A1B1C1三邊長分別為12，18，27;當(dāng)A1C1=12時(shí)，q=3/2，得A1B1C1三邊長分別為16/3，8，12 .此外，再?zèng)]有第三種情況.所以，這樣的A1B1C1共有2個(gè).說明:ABC與A1B1C1有兩條邊、三個(gè)角共五個(gè)元素相等，但不全等.二、1.3 750.設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為k，則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km的磨損量為k/5 000，安裝在后輪的輪胎每行駛1 km的磨損量為k/3 000.又設(shè)一對新輪胎交換位置前走了xkm，交換位置后走了ykm.分別以一個(gè)輪胎的總

9、磨損量為等量關(guān)系列方程，有.兩式相加得x+y=3 750 (km).2.1/2 008.如圖.由中位線定理得AF= AB，EF=AD. 又由AE1F1在AEF，AE1DEE1F，有AF1/F1F=AE1/E1E=AD/EF=2，即 =2/3.故AF1=AF= AB.如此類推，有AF= AB，AF1= AB，AF2=AB，AF2 006=AB.3.5 050/10 101.注意到.4.2/7.從8個(gè)圖形中任取2個(gè)圖形有8×7/2=28種取法，其中面積相等的有三種情況:(1)面積為 SABC的三角形有4個(gè)(ABD、ACD、BAE、BCE)，得面積相等的圖形4×3/2=6對;(2

10、)面積為SABC的三角形有2個(gè)(GAE、GBD)，得面積相等的圖形1對;(3)面積為 SABC的圖形有2個(gè)(GAB、四邊形CEGD)，得面積相等的圖形1對.共計(jì)面積相等的圖形有8對.從而，取到兩個(gè)圖形面積相等的概率為8/28=2/7.第二試一、聯(lián)立y=x2與y=(2t-1)x-c，消去y得二次方程x2-(2t-1)x+c=0有實(shí)數(shù)根x1、x2.由韋達(dá)定理得x1+x2=2t-1，x1x2=c.故c=x1x2= (x1+x2)2-(x21+x22)=(2t-1)2-(t2+2t-3)= (3t2-6t+4).把式代入方程得x2-(2t-1)x+ (3t2-6t+4)=0.(1)t的取值應(yīng)滿足t2+

11、2t-3=x21+x220，且使方程有實(shí)數(shù)根，即= -2t2+8t-70.解方程得t-3或t1.解方程得2- /2t2+ /2.所以，t的取值范圍為2- /2t2+ /2.(2)由式知c=(t-1)2+ .但由式知t不能取到1.因而，比較自變量兩端點(diǎn)的函數(shù)值，所以，當(dāng)t=2- /2時(shí)，cmin=.二、如圖，將PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得P1CBPAB.聯(lián)結(jié)PP1.則P1C=PA，等腰BP1P為等邊三角形，有P1P=BP1=PB.故以PA、PB、PC為邊可組成P1PC.記P1PC的三邊為a、b、c，不妨設(shè)abc.由0>a-(b+c)=()a-()b-c=(a-b)+ (b-c

12、)可見，相加的兩項(xiàng)當(dāng)中，必有一項(xiàng)為負(fù)數(shù).(1)若(a-b)<0，則<b/a1.取a=n，b=m，命題成立.(2)若b-c<0，則<c/b1.取b=n，c=m，命題成立.綜上得，必存在PA、PB、PC中的兩條線段，其長度m、n滿足<m/n1.三、解法1:因?yàn)榫幪栕畲蟮膬蓴?shù)之和為18+17=35<36，所以，同一張球臺上兩選手編號之和只能取三個(gè)平方數(shù):25，16，9.現(xiàn)設(shè)同一張球臺上兩選手編號和為25、16、9的分別有x個(gè)、y個(gè)、z個(gè)(x、y、z均為非負(fù)整數(shù)).依題意有25x+16y+9z=1+2+18，x+y+z=9，x0，y0，z0，即 16x+7y+9(x

13、+y+z)=171，x+y+z=9，x0，y0，z0，得 16x+7y=90，x0，y0，z0.又由0x90/16<6知，x只能取非負(fù)整數(shù)0，1，2，3，4，5.逐一代入檢驗(yàn)，可得方程唯一的非負(fù)整數(shù)解x=3，y=6，z=0.下面討論9張球臺上的選手對陣情況.(1)由x=3，知平方數(shù)為25只能有3個(gè)，而編號不小于16的3個(gè)選手18，17，16對應(yīng)的平方數(shù)又只能為25，故“兩選手編號和為25”的只能是:18與7對陣，17與8對陣，16與9對陣.(2)由y=6，知去掉18，17，16，9，8，7后剩下的12個(gè)選手對應(yīng)的平方數(shù)能且只能為16，有:1與15對陣，2與14對陣，3與13對陣，4與12

14、對陣，5與11對陣，6與10對陣.故規(guī)定能夠?qū)崿F(xiàn)，且實(shí)現(xiàn)方案是唯一的.9張球臺上選手對陣情況為:(18，7)，(17，8)，(16，9)，(15，1)，(14，2)， (13，3)，(12，4)，(11，5)，(10，6).解法2:因?yàn)榫幪栕畲蟮膬蓴?shù)之和為18+17=35<36，所以，同一張球臺上兩選手編號之和只能取三個(gè)平方數(shù):25，16，9.(1)編號不小于16的3個(gè)選手對應(yīng)的平方數(shù)能且只能為25，有:18與7對陣，17與8對陣，16與9對陣.(2)去掉18，17，16，9，8，7后剩下的12個(gè)選手中:因?yàn)?不能與8組成平方數(shù)9，所以，1只能與15對陣;因?yàn)?不能與7組成平方數(shù)9，所以，2只能與14對陣.(