藥學(xué)高數(shù)泰勒公式ppt課件

1、 第七節(jié)第七節(jié) 泰勒公式泰勒公式 一、泰勒公式一、泰勒公式 二、函數(shù)的麥克勞林公式二、函數(shù)的麥克勞林公式 在討論函數(shù)的微分時(shí)，在討論函數(shù)的微分時(shí)，f (x) f (x0) + f (x0)(x-x0)，當(dāng)當(dāng) xx0 時(shí)，其誤差是比時(shí)，其誤差是比 x-x0 高階無(wú)窮小。高階無(wú)窮小。 令令 R1(x)= f (x) f (x0) + f (x0)(x-x0) ，并假設(shè)，并假設(shè) f (x) 在在 x =x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，易得的某個(gè)鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，易得 R1(x0)=0 , R1(x0)=0 , R1(x) = f (x) 。當(dāng)。當(dāng) xx0 時(shí)，將時(shí)，將無(wú)窮小無(wú)窮小R1(x) 與與

2、(x-x0)2 相比較，利用柯西中值定理，有相比較，利用柯西中值定理，有 ( 1 在在 x 與與 x0 之間之間)11012220000( )()( )()()()R xR xR xxxxxxx1110( )2()Rx11101000( )()2()2()RR xxxx11( )2R( )2f 其中其中 在在 x0 與與 1 之間，從而也在之間，從而也在 x0 與與 x 之間。之間。于是于是故故 此式稱為函數(shù)此式稱為函數(shù) f (x) 的一階泰勒公式的一階泰勒公式 , R1(x) 稱為一階稱為一階泰勒公式的余項(xiàng)，當(dāng)泰勒公式的余項(xiàng)，當(dāng) xx0 時(shí)，它是比時(shí)，它是比 x-x0高階無(wú)窮小高階無(wú)窮小 如

3、果在一階泰勒公式中，如果在一階泰勒公式中， 將在將在 x0 與與 x 之間用之間用 x0替代，則有近似公式替代，則有近似公式 令令20000( )( )()()()()2ff xf xfxxxxx210( )( )()2fR xxx200000()( )()()()()2fxf xf xfxxxxx2020000()( )( ) ()()()() 2fxR xf xf xfxxxxx可用上述類似推理，得出可用上述類似推理，得出 （ 在在 x0 與與 x之間）之間） 此式稱為函數(shù)此式稱為函數(shù) f (x) 的二階泰勒公式，的二階泰勒公式， R2(x) 稱為二稱為二階階泰勒公式的余項(xiàng)，當(dāng)泰勒公式的余

4、項(xiàng)，當(dāng) xx0 時(shí)，它是比時(shí)，它是比 (x-x0)2 高階的高階的無(wú)無(wú)窮小。窮小。320( )( )()fR xxx23000000()( )( )()()()()()2fxff xf xfxxxxxxx 定理定理2-9 泰勒泰勒 ( Taylor) 中值定理中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 在在含有含有 x0 的某個(gè)區(qū)間的某個(gè)區(qū)間 (a , b) 內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到 (n+1) 階的導(dǎo)階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意數(shù)，則對(duì)任意 x(a , b) ，有，有其中其中 （ 在在 x0 與與 x之間）之間） 此式稱為函數(shù)此式稱為函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處的處的 n 階泰勒公式，或階泰勒公式，或

5、按按（ x-x0 ）的冪展開的泰勒公式，簡(jiǎn)稱）的冪展開的泰勒公式，簡(jiǎn)稱 n 階泰勒公式。階泰勒公式。Rn(x) 稱為稱為 n 階泰勒公式的余項(xiàng)，當(dāng)階泰勒公式的余項(xiàng)，當(dāng) xx0 時(shí)，它是時(shí)，它是比比 (x-x0)n 高階的無(wú)窮小。高階的無(wú)窮小。200000( )00()( )()()()()2()()( )nnnfxf xf xfxxxxxfxxxR xn(1)(1)0( )( )()1)nnnfR xxxn 二、函數(shù)的麥克勞林公式二、函數(shù)的麥克勞林公式 在泰勒公式中，如果取在泰勒公式中，如果取 x0 =0 時(shí)，那么時(shí)，那么 在在 0與與 x 之之間，因此可令間，因此可令 = x (0 0）(

6、)( )( )( )nxfxfxfxe( )(0)(0)(0)(0)1nffff(1)()nxfxe212!nxxxexn 211(01)2!(1)!nxnxxxe xexnn 11( )(01)(1)(1)xxnnneeR xxxnn 如果取如果取 x=1，則得無(wú)理數(shù)，則得無(wú)理數(shù) e 的近似式為的近似式為其誤差為其誤差為當(dāng)當(dāng) n=10 時(shí)，可算出時(shí)，可算出 e 2.718281，其誤差不超過，其誤差不超過10-6 。 例例2-62 求求 f (x)=sin x 的的 n 階麥克勞林公式。階麥克勞林公式。 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?111 12!en 3(1)(1)neRnn ( )cossin()2fxxx(0)1,( )cos()sin(2)22ffxxx(0)0,( )cos(2)sin(3)22ffxxx (4)(0)1,( )cos(3)sin(4)22ffxxx 又 f (0)=0，知它們順次循環(huán)地取四個(gè)數(shù): 0 , 1 , 0, -1,于是按麥克勞林公式得令n=2m）其中如果取 m=1，則得近似公式 sin x x這時(shí)誤差為(4)( )(0)0,( )sin()2nffxxn352112