第四節(jié)隱函數(shù)502ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo) 相關(guān)變化率 31xy 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由由)(xfy 表示的函數(shù)表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)稱為顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)可確定顯函數(shù),sin xxy ),1ln(2xy 若由方程若由方程0),( yxF可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,函數(shù)為隱函數(shù)函數(shù)為隱函數(shù) .則稱此則稱此例如例如,稱為隱函數(shù)的顯化稱為隱函數(shù)的顯化 .03275 xxyy可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的

2、函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化但此隱函數(shù)不能顯化 .隱函數(shù)求導(dǎo)方法隱函數(shù)求導(dǎo)方法: 0),( yxF0),(dd yxFx兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)含導(dǎo)數(shù) 的方程的方程)y)(xyy 時(shí)刻注意時(shí)刻注意.的的函函數(shù)數(shù)是是 x問(wèn)題問(wèn)題: : 隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)? ?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo). .例例1. 求由方程求由方程03275 xxyy)(xyy 在在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).0dd xxy解解: 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo) )32(dd75xxyy

3、x得得xydydydd5xydyyddd)2( 1621x025211dd46 yxxy因因 x = 0 時(shí)時(shí) y = 0 , 故故210ddxxy0確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)(把把 y 看成看成 x 的函數(shù)的函數(shù))xyydd54xydd21621x0例例2. 求橢圓求橢圓191622yx在點(diǎn)在點(diǎn))3,2(23處的切線方程處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對(duì)橢圓方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)8xyy920y2323 xyyx169 2323 xy43故切線方程為故切線方程為323y43)2( x即即03843 yx觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 解解 142)1(311

4、1)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) x142)1(3111 xxxyy例例3.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)例例4. 求求)0(sin xxyx的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 解解: 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù) , 化為隱式化為隱式xxylnsinln 兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)yy 1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx xxxexylnsinsin 先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), , 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)

5、方法求出導(dǎo)數(shù). .-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: : 1) 對(duì)冪指函數(shù)對(duì)冪指函數(shù))()(xgxfy 可用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法可用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 :)(ln)(lnxfxgy yy1)(ln)( xfxg )( )(1)(xfxfxg )0)( xf2) 有些顯函數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方 便 .例如例如,兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo) yy.,1cos2yxxxy 求求 21ln y)ln(coslnln2121xxx 21221cossin121xxxxx.tancos2211121xxxxxxxy又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21ln

6、y對(duì)對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: : 消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)? ?t 參參數(shù)數(shù)方方程程)()(1txx )()(2tyy ,)()(存存在在的的

7、反反函函數(shù)數(shù)假假設(shè)設(shè)xtttxx 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) . )()()(xyyxtytyy 函數(shù)函數(shù)就是參數(shù)方程所確定的就是參數(shù)方程所確定的那那么么且且存存在在設(shè)設(shè)定定理理,0)(,)(, )(.1 txtytx)()(txtyxdyd.tdxdtdydxdyd 或或還還有有存存在在進(jìn)進(jìn)一一步步假假設(shè)設(shè),)(),(tytx .)()()()()(322txtxtytxtyxdyd .證證,)(0 tx,)()(存存在在的的反反函函數(shù)數(shù)xtttxx ,)(1txxdtd 且且:根根據(jù)據(jù)復(fù)復(fù)合合求求導(dǎo)導(dǎo)法法得得xdtdtdydxdyd)()(txty1.)()(txtyxdtdtxtytddxdy

8、d )()(22)()()()()()(txtxtxtytxty 12.)()()()()(3txtxtytxty ,進(jìn)一步進(jìn)一步例例5. 已知擺線已知擺線)sin(ttax 解解: xydd)cos1(tay dtdxdtdy/)cos1(sintata .2cot2sin22cos2sin22tttt22ddxydxdydxddxtd)2(cotdtdxdttd)2(cot )cos1(22/csc2tat .的一階和二階導(dǎo)數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)關(guān)于關(guān)于求求xy )()(dd22ttxy ,)()(tt xydd?例例6. 設(shè)設(shè))(tfx , 且且,0)( tf求求.dd22xy ddxy)(

9、tft )(tf , t dd22xy1)(tf 知知解解:)()(tftfty 練習(xí)練習(xí): P111 題題8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意 : 三、相關(guān)變化率)(, )(tyytxx 為兩可導(dǎo)函數(shù)為兩可導(dǎo)函數(shù)yx ,之間有聯(lián)系之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問(wèn)題解法相關(guān)變化率問(wèn)題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì)對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率tytyt 0lim)(.導(dǎo)數(shù)就是變化率導(dǎo)數(shù)就是變化率例例7

10、. 一氣球從離開(kāi)觀察員一氣球從離開(kāi)觀察員500 m 處離地面鉛直上升處離地面鉛直上升,其速率為其速率為,minm140當(dāng)氣球高度為當(dāng)氣球高度為 500 m 時(shí)時(shí), 觀察員觀察員視線的仰角增加率是多少視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升 t 分后其高度為分后其高度為h , 仰角為仰角為 ,那么那么 tan500h兩邊對(duì)兩邊對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo) 2sectdd thdd5001 知知,minm140dd th h = 500m 時(shí)時(shí),1tan 22tan1sec ,2sec2 tdd 140500121 14. 0 )minrad/(思考題思考題: 當(dāng)氣球升至當(dāng)氣球升至500

11、 m 時(shí)停住時(shí)停住 , 有一觀測(cè)者以有一觀測(cè)者以100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來(lái)的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來(lái),當(dāng)距離為當(dāng)距離為500 m 時(shí)時(shí), 仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500對(duì)對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo) 2sectdd txxdd5002 知知,minm100dd tx.ddt x500,m500 x求求試求當(dāng)容器內(nèi)水試求當(dāng)容器內(nèi)水Rhxhr例例8. 有一底半徑為有一底半徑為 R cm , 高為高為 h cm 的圓錐容器的圓錐容器 ,今以今以 自頂部向容器內(nèi)注水自頂部向容器內(nèi)注水 ,scm253位等于錐高的一半時(shí)水面上升的速度位等于錐高的一半時(shí)水面上升的速度.解解

12、: 設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻 t 容器內(nèi)水面高度為容器內(nèi)水面高度為 x ,水的水的VhR231 )(231xhr xrh)(33322xhhhR兩邊對(duì)兩邊對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)tVdd22hR2)(xh,ddtx 而而,)(25222xhRh ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)hx hxhRr故故 txdd) scm(25dd3 tV) scm(100dd2Rtx 體積為體積為 V , 那那么么R內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)2. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法參數(shù)方程求導(dǎo)法4. 相

13、關(guān)變化率問(wèn)題相關(guān)變化率問(wèn)題列出依賴于列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式的相關(guān)變量關(guān)系式對(duì)對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)求高階導(dǎo)數(shù)時(shí),從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式1. 設(shè))(xyy 由方程由方程eyxey確定確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得0yxyyey再求導(dǎo)再求導(dǎo), 得得2yey yxey)(02 y當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), 1y故由故由 得得ey1)0(再代入再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y , 求01sin232ytettxy.dd0txy解：解： txddyetydd0ddtxy2. 設(shè)設(shè)方程組兩邊同時(shí)對(duì)方程組兩邊同時(shí)對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo),