第四節(jié)隱函數(shù)502ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo) 相關(guān)變化率 31xy 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由由)(xfy 表示的函數(shù)表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)稱為顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)可確定顯函數(shù),sin xxy ),1ln(2xy 若由方程若由方程0),( yxF可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,函數(shù)為隱函數(shù)函數(shù)為隱函數(shù) .則稱此則稱此例如例如,稱為隱函數(shù)的顯化稱為隱函數(shù)的顯化 .03275 xxyy可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的

2、函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化但此隱函數(shù)不能顯化 .隱函數(shù)求導(dǎo)方法隱函數(shù)求導(dǎo)方法: 0),( yxF0),(dd yxFx兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)含導(dǎo)數(shù) 的方程的方程)y)(xyy 時刻注意時刻注意.的的函函數(shù)數(shù)是是 x問題問題: : 隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)? ?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo). .例例1. 求由方程求由方程03275 xxyy)(xyy 在在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).0dd xxy解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo) )32(dd75xxyy

3、x得得xydydydd5xydyyddd)2( 1621x025211dd46 yxxy因因 x = 0 時時 y = 0 , 故故210ddxxy0確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)(把把 y 看成看成 x 的函數(shù)的函數(shù))xyydd54xydd21621x0例例2. 求橢圓求橢圓191622yx在點在點)3,2(23處的切線方程處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)8xyy920y2323 xyyx169 2323 xy43故切線方程為故切線方程為323y43)2( x即即03843 yx觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 解解 142)1(311

4、1)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對對 x142)1(3111 xxxyy例例3.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)例例4. 求求)0(sin xxyx的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 解解: 兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù) , 化為隱式化為隱式xxylnsinln 兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)yy 1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx xxxexylnsinsin 先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), , 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)

5、方法求出導(dǎo)數(shù). .-對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: : 1) 對冪指函數(shù)對冪指函數(shù))()(xgxfy 可用取對數(shù)求導(dǎo)法可用取對數(shù)求導(dǎo)法 :)(ln)(lnxfxgy yy1)(ln)( xfxg )( )(1)(xfxfxg )0)( xf2) 有些顯函數(shù)多個函數(shù)相乘用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方 便 .例如例如,兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù)兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo) yy.,1cos2yxxxy 求求 21ln y)ln(coslnln2121xxx 21221cossin121xxxxx.tancos2211121xxxxxxxy又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21ln

6、y對對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)? ?t 參參數(shù)數(shù)方方程程)()(1txx )()(2tyy ,)()(存存在在的的

7、反反函函數(shù)數(shù)假假設(shè)設(shè)xtttxx 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) . )()()(xyyxtytyy 函數(shù)函數(shù)就是參數(shù)方程所確定的就是參數(shù)方程所確定的那那么么且且存存在在設(shè)設(shè)定定理理,0)(,)(, )(.1 txtytx)()(txtyxdyd.tdxdtdydxdyd 或或還還有有存存在在進進一一步步假假設(shè)設(shè),)(),(tytx .)()()()()(322txtxtytxtyxdyd .證證,)(0 tx,)()(存存在在的的反反函函數(shù)數(shù)xtttxx ,)(1txxdtd 且且:根根據(jù)據(jù)復(fù)復(fù)合合求求導(dǎo)導(dǎo)法法得得xdtdtdydxdyd)()(txty1.)()(txtyxdtdtxtytddxdy

8、d )()(22)()()()()()(txtxtxtytxty 12.)()()()()(3txtxtytxty ,進一步進一步例例5. 已知擺線已知擺線)sin(ttax 解解: xydd)cos1(tay dtdxdtdy/)cos1(sintata .2cot2sin22cos2sin22tttt22ddxydxdydxddxtd)2(cotdtdxdttd)2(cot )cos1(22/csc2tat .的一階和二階導(dǎo)數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)關(guān)于關(guān)于求求xy )()(dd22ttxy ,)()(tt xydd?例例6. 設(shè)設(shè))(tfx , 且且,0)( tf求求.dd22xy ddxy)(

9、tft )(tf , t dd22xy1)(tf 知知解解:)()(tftfty 練習練習: P111 題題8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意 : 三、相關(guān)變化率)(, )(tyytxx 為兩可導(dǎo)函數(shù)為兩可導(dǎo)函數(shù)yx ,之間有聯(lián)系之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式找出相關(guān)變量的關(guān)系式對對 t 求導(dǎo)求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率tytyt 0lim)(.導(dǎo)數(shù)就是變化率導(dǎo)數(shù)就是變化率例例7

10、. 一氣球從離開觀察員一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升處離地面鉛直上升,其速率為其速率為,minm140當氣球高度為當氣球高度為 500 m 時時, 觀察員觀察員視線的仰角增加率是多少視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升 t 分后其高度為分后其高度為h , 仰角為仰角為 ,那么那么 tan500h兩邊對兩邊對 t 求導(dǎo)求導(dǎo) 2sectdd thdd5001 知知,minm140dd th h = 500m 時時,1tan 22tan1sec ,2sec2 tdd 140500121 14. 0 )minrad/(思考題思考題: 當氣球升至當氣球升至500

11、 m 時停住時停住 , 有一觀測者以有一觀測者以100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點走來的速率向氣球出發(fā)點走來,當距離為當距離為500 m 時時, 仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500對對 t 求導(dǎo)求導(dǎo) 2sectdd txxdd5002 知知,minm100dd tx.ddt x500,m500 x求求試求當容器內(nèi)水試求當容器內(nèi)水Rhxhr例例8. 有一底半徑為有一底半徑為 R cm , 高為高為 h cm 的圓錐容器的圓錐容器 ,今以今以 自頂部向容器內(nèi)注水自頂部向容器內(nèi)注水 ,scm253位等于錐高的一半時水面上升的速度位等于錐高的一半時水面上升的速度.解解

12、: 設(shè)時刻設(shè)時刻 t 容器內(nèi)水面高度為容器內(nèi)水面高度為 x ,水的水的VhR231 )(231xhr xrh)(33322xhhhR兩邊對兩邊對 t 求導(dǎo)求導(dǎo)tVdd22hR2)(xh,ddtx 而而,)(25222xhRh ,2時時當當hx hxhRr故故 txdd) scm(25dd3 tV) scm(100dd2Rtx 體積為體積為 V , 那那么么R內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)直接對方程兩邊求導(dǎo)2. 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法參數(shù)方程求導(dǎo)法4. 相

13、關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題列出依賴于列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式的相關(guān)變量關(guān)系式對對 t 求導(dǎo)求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求高階導(dǎo)數(shù)時求高階導(dǎo)數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式1. 設(shè))(xyy 由方程由方程eyxey確定確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得0yxyyey再求導(dǎo)再求導(dǎo), 得得2yey yxey)(02 y當當0 x時時, 1y故由故由 得得ey1)0(再代入再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y , 求01sin232ytettxy.dd0txy解：解： txddyetydd0ddtxy2. 設(shè)設(shè)方程組兩邊同時對方程組兩邊同時對 t 求導(dǎo)求導(dǎo),