拉格朗日插值法和孫子定理

1、拉格朗日插值法和孫子定理【教學(xué)目標(biāo)】1 掌握拉格朗日插值法和孫子定理。2熟練運(yùn)用拉格朗日插值法和孫子定理解決實際問題。3親歷拉格朗日插值法的探索過程，體驗分析歸納得出孫子定理，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的探 究、交流能力?！窘虒W(xué)重難點】重點：理解拉格朗日插值法的建立過程，孫子定理額推導(dǎo)過程。難點：建立拉格朗日插值公式和推導(dǎo)孫子定理?！窘虒W(xué)過程】一、直接引入師：今天這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)。拉格朗日插值法和孫子定理，這節(jié)課的主要的內(nèi)容有拉 格朗日插值法和孫子定理的概念，并且我們要掌握這些知識的具體應(yīng)用，能熟練解決相關(guān)問 題。二、講授新課(1) 教師引導(dǎo)學(xué)生在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上了解拉格朗日插值法和孫子定理的內(nèi)容，形成初步

2、感 知。(2) 首先，我們來學(xué)習(xí)拉格朗日插值公式，它的具體內(nèi)容是：一般地，設(shè)a,b,c兩兩不同，那么滿足f aj=e, f b=f,f cj=g的一個多項式f x可由下面的公式給出：f x=e|_p x f _q x gx , L (xbxc)t fxaYxc) “ t fxaYxb)p x,q x,r x.* (a-b)(a-c)''(b-a)(b-c)*(c-a)(c-b)通常我們把公式和叫做拉格朗日插值公式 它是如何在題目中應(yīng)用的呢？我們通過一道例題來具體說明。例：已知函數(shù) f X；=X3-X2 丄x 1 且存在 Xo 0, j i，使 f Xo；=Xo.證明：yn 1

3、-Xn12 4ynXn2解析：因為y1 Xn勺二f yn - f X yn -Xnyn Xn由拉格朗日插值定理知：總存在，,xn, yn使得yn1 -Xn1二f'yn Xn由于匚三l：Xn, yn 1 =2f' x =3x -2x當(dāng) X 0，2，X max=f'O 冷故得證匕1 : 1yn Xn2根據(jù)例題的解題方法，讓學(xué)生自己動手練習(xí)。2練習(xí)：已知函數(shù)fx=x2 -，al nxxO ， f x的導(dǎo)數(shù)是f' x ，任意兩個不等正數(shù)n,x2x證若 a 蘭4, f '(xif '(X2% x?解：要證明f O )-f '(X? j”Xi -X?

4、，只要證明由拉格朗日定理得，總存在x<x2使f''(©卜1故只要證明(釘>1，即證明(©)=2+芻-魯>2+芻-芻:>14.8，則 g'- 362 4 -3>4：-4g' ： ：i： 0故當(dāng)a蘭4時，f'(為)一 f'(X? ) >|為一冷(3) 接著，我們再來看下孫子定理內(nèi)容，它的具體內(nèi)容是:設(shè)a,b,c為兩兩互素的正整數(shù)，e,f,g為任意整數(shù)，則同余方程組lx 三e mod ax 三 f mod bx 三g（mode j僅有一解： x三ebeq - facg - gabq mod abe

5、 , 其中CqC 3分別為滿足同余式：beq 三 1 moda , ace?三 1 modb ,abQ 三 1 mod e 的整數(shù).它是如何在題目中應(yīng)用的呢？我們通過一道例題來具體說明。例：每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，問至少有多少人？ 解析：由于9, 7, 5互素，故可用孫子定理.解 1 75c,=35& 三1 mod9得 G 三8mod9解 295c?=45q 三 1 mod 7得 c?三5mod7解 397c3=63c3 三 1 mod5得e3 三2mod5于是選取 g=2,c2 =3,5 =11得 x 三67 5 8+2 9 5 5+3 9 7 2 三3

6、03 mod305 是同余方程的解，所以至少有303人。根據(jù)例題的解題方法，讓學(xué)生自己動手練習(xí)。練習(xí)：被3除余2,被7除余1，被11除余2,求同余方程的解.解：由于3,7,11互素，故可用孫子定理.解 1 7 11g =77& 三1 mod3 得 G 三 2 mod2解 2 3 11c, =33e2 三 1 mod7 得 e2 三 3 mod7解 3 3 7q =2© =1 mod11 得 e3 =10 mod11于是選取g=2,q =3,C3 =11得x 三 2 7 11 2+1 3 11 3+2 3 7 10=727 三24（mod231 ）是同余方程的解.三、課堂總結(jié)（1）這節(jié)課我們主要講了拉格朗日插值法和孫子定理。（2）它們在解題中具體